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早稲田大学基幹・先進・創造理工学部【数学】本番で圧勝の徹底対策シリーズ

早稲田大学基幹・先進・創造理工学部

入試難易度:ico_grade6_3h3.5

理工学部の数学は原則すべて記述式解答で、結果だけでなくそれに至るまでの過程を書く記述力が求められます。全て解き切るのは時間的に厳しいので、部分的にでも確実に答えられる問題を探して解いていくことが大切になります。


全体概観:配点120点 時間120分

例年大問は5題です。部分的に答えのみでもよい小問があることもありますが、原則全て記述式になっています。

問題形式・頻出分野

大問は5題で、それぞれ小問に分かれています。前の小問の結果をふまえて次の小問を解くことが多く、小問同士を結びつける論理力が必要となっています。

微積は毎年のように出題され、場合の数・確率、数列は隔年で出されています。
また近年整数の出題も増えているので注意が必要です。
2016、2017と2年連続で複素平面と空間図形からの出題があったのにも注目すべきです。
簡単な年は典型問題が並びますが、難しい年になるとなかなか骨のある問題が並びます

日頃からどのように対策をしていくか

典型問題を確実に解くことのできる練習を!

易の年、難の年があるものの、大問5つのなかで見たことあるな〜という問題が2つくらいはあります。
難の年は実質簡単な問題が解けるかどうかで数学で差がつくので、巷に出回っている問題集の典型的なレベルは確実に解けるようにしておきましょう。
過去問演習する際、簡単な年なら3完2半、難しい年なら2完3半を最低ラインに据えると良いでしょう。

頻出分野は取りこぼしのないように!

<微積>2017年度の大問2は簡単でしたが、2016年度の大問5は2016年度のセットのなかでは一番難しく、絶対取るべきかどうかというのは判断しにくいです。
しかし、誘導が丁寧なので難しくても(2)くらいまでは解き、半答は取りたいところです。
難しそうだからといって避けずに、解けるところまで粘ってみましょう。

<場合の数・確率>数列と隔年で出題されていますが、さほど難しくないですし、特徴があるわけではないので、神経質になって対策する必要はありません。
n絡みの確率は漸化式、Σ、反復試行など多岐に渡りますから柔軟に対応できるようにしておくと本番も落ち着いて試験に挑めると思います。
個人的には京大の過去問をやると面白いと思います。

<立体>2016、2017と二年連続で立体図形が出題されていて、来年度以降も大問で出る可能性は十分にあります。
空間は苦手にしている人が多く、差がつきやすいため難関大では好まれます。
空間は座標で押すorベクトルで攻めるの2つが大まかな方針ですから適宜図形的考察を加えたり、適切な断面で平面に落とし込んだりして、誘導をうまく汲み取って解答していきましょう。

<複素平面>これも課程が変わった年から連続して出題され、対策が必要不可欠な分野でしょう。難関大では複素平面の人気が高く、ほとんどの大学で出題されています。そのため他大学を受けるにおいても複素平面の学習はプラスに働くこと間違いなしでしょう。

自分なりの作戦を!

大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、落ち着いて計算を進めましょう。
検算は必ず行い、計算ミスは確実に防ぎましょう。
簡単な問題は15分程度で終わらせて、少し難し目の問題に傾斜的に時間を掛けるなど臨機応変に対応しましょう。
問題が始まったらまず全体を俯瞰して自分なりの作戦を立ててから解き始めると、大きな失敗は免れますし、良い流れに乗れるのでオススメです!

記述力をつける

ただ解くのではなく、途中式や導出過程、細かい条件まで含めた解答を作りましょう。
基本的な問題演習をしているうちから実際の入試を意識して解答を作ることで、記述力を早いうちから身につけることができます。
特に証明問題や場合分けを要する問題では記述力が重要となります。
証明問題で論理の飛躍があったり、場合分けを書き間違うとそれだけで減点されてしまいます。
自己採点の際も、解答と照らし合わせながら細かいミスがないかどうかまで確認しましょう。
また、図示問題に限らず関数や平面・立体図形が登場する問題もあるので、自分で分かりやすい図を描くことが大事になります。

計算力をつける

大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、迅速かつ正確な計算力が必要となります。積分計算などはかなり時間を要することが多いため、繰り返し練習することで計算力を身につけましょう。

実際の問題に慣れる

問題演習に慣れてきたら、実際に過去問に取り組みましょう。この際、本番通りの時間で解くことが大切です。数学ではどの分野が何問目に出るかが分からないので、時間を測って問題演習をし、自分が解きやすいと思った問題から解き始めることが重要です。また、先述の通り大問1問あたりにかけられる時間は24分と限られているので、あまり1つの大問を完答することにこだわりすぎるとかえって点数が下がってしまいます。大問前半の比較的問題を確実に解答することで、得点を伸ばしていきましょう。ただし、時間内に解けなかった問題もその後に問題演習として解くことも大事です。時間内に解けなかった問題は必然的に苦手な問題であるため、苦手をつぶす意味でも解けなかった問題の復習をしましょう。

圧勝している人はこう考える!

実際に問題を見て、問題を解くことができる人はどのように考えているのかを確認してください。できない人は上記の法則を利用することができていません。実際に過去問を用意して考えてみましょう。2016年度 理工学部 数学 大問Ⅱからの出題です。

正四角錐と、それに内接する球という立体図形の問題です。

(1)立体図形のままだと分かりにくいので、断面図を描きましょう。(図1:全体図、図2:断面図)

立体図断面図

 

このような断面図にすると、内接する球の半径は、二等辺三角形△PMNに内接する円の半径と同じであることがわかります(Nは線分CDの中点)。ここで、直線と円の接点において、接点と円の中心を結ぶ線分は直線に垂直になります。よって、球の半径をrとすると、△PMNの面積は

 \frac{1}{2} \times 2a \times r + \frac{1}{2} \times b \times r = \big(a+b\big) \times r

で表されます。また、△PMNはMNを底辺とする二等辺三角形であるので、MNを底辺とした時、高さは

\sqrt{a ^{2}+ b^{2}}

になります。よって、△PMNの面積は

\frac{1}{2} \times 2a \times \sqrt{a ^{2}+ b^{2}} = a \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}

のようになります。この二通りで表された△PMNの面積は等しいので、

\big(a+b\big) r = a \sqrt{b^{2} - a^{2}}

の式が成り立ちます。よって、球の半径は

r = \frac{{a \sqrt{b^{2} - a^{2}} }}{a+b}

で表されます。

(2)球の表面積は、半径をrとすると4 \pi r^{2}で表されます。また、正四角錐PABCDの表面積は、△PAB+△PBC+△PCD+△PDA+正方形ABCDの面積で表わされるので、

 \big( \frac{1}{2} \times 2a \times b\big) \times 4 +2a\times 2a =4ab +4a^{2}

のようになります。よって、求める式は

 \frac{4 \pi r^{2}}{4ab+4a^{2}} = \frac{4 \pi}{4a(b+a)} \times \frac{a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{3} } \\ = \frac{\pi a^{2} \big(b-a\big) }{ a\big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi \big( \frac{b}{a}-1 \big) }{ \big(1+ \frac{b}{a} \big) ^{2} }\\= \frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }

のようになります。

(3)(2)の式が最大値をとるとき、 f(x)=\frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }とすると、

f^{'}(x)=\frac{\pi(3-x)}{(x+1)^{3}}

のようになります。このとき、f^{'}(x)=0のときのxの値はx=3となります。よって、このときの正四角錐PABCDの体積は

\frac{8 \sqrt{2} }{3} a^{3}

のようになります。

2017年の入試について

今年は昨年に比べ、質量共に難化。
大問②は確実に取りたい計算問題だが、複素平面ということで敬遠されやすい大問①、見た目がキツそうな大問③大問④、早大理工で珍しい多項式の大問⑤は受験生にとって苦戦したのではないでしょうか?
しかし、誘導が丁寧な大問①④⑤は部分点は取りやすかったと思われる。また近年頻出になりつつある空間は苦手な人が多い分、今年は大問③の出来が合否に直結したでしょう。


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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

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自身の勉強時の体験や社会人になってからの経験を元にいかにして、”考える”ことができる人材を作ることができるのかを日々考えています。また一方で、どんな学力の受験生に対しても独自カリキュラムを提供し、勉強が圧倒的にできるようになっていくという塾を経営しています。