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早稲田大学社会科学部【数学】|本番で圧勝の徹底対策シリーズ

早稲田大学社会科学部

入試難易度:ico_grade6_4  3.0

社会科学部の数学は全問記述式です。問題レベルは標準的です。


全体概観:配点40点 時間60分

例年大問は3問で、すべて記述式になっています。

出題範囲・頻出分野

出題範囲は数学ⅠAⅡB(確率分布と統計的推測を除く)となっています。
頻出分野は微積分、数列、ベクトル、図形と方程式です。また融合問題が出されることもあります。社会科学部の特徴としては前問の結果を次の問題に使うことが多いので、正確に答えを出すことが求められます。
難易度については基本~標準レベルの問題で基礎が身についていればそこまで難しくないです。しかし、試験時間のわりに問題が多いので計算力と判断力が求められます。

対策

早稲田社会科学部数学の問題を解いていくにあたって、どのように考えていくのが良いのかをお伝えしていきます。

基礎問題の演習

数学力を身につけることが大事となりますが、そのためには基本的な問題が解けるようになることが重要です。教科書の公式は確実に自分のものにしてください。そして、教科書にある例題や章末問題は確実に解けるようにトレーニングをしておきましょう。それが終わったなら標準的な受験参考書で解法などを身に着けていきましょう。基本~標準レベルの問題をたくさん解くことが大切です。

頻出分野の対策

上で述べた頻出分野については特に力を入れて準備をしましょう。とくに問題集などで演習するときは別解などもよく目を通しておきましょう。それによって答案作成のショートカットの手法も身に着けることができます。

記述式の対策

記述式の問題は結果のみだけでなく途中過程も求められます。そのため式の羅列だけでなく論理性のある答案を作ることが求められます。そのため答案を作成したら、先生などに見てもらうことはかなり有効です。記述力はすぐに身につくものではないため、日ごろの勉強から意識することが大切になってきます。

問題例

2015年度 社会科学部 大問3

syagaku

(1)

\sum_{k=1}^{n} \frac{\big(k+1\big) \big(k+2\big)}{3^{k-1}}a_{k}= \frac{1}{4} \big(2n+1\big) \big(2n+3\big) ・・・➀
まずはa_{n}の一般項を求めるために以下のように➀を変形します。
=\frac{(n+1)(n+2)}{3^{n-1}}a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\big(k+1\big) \big(k+2\big)}{3^{k-1}}a_{k}-\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\big(k+1\big) \big(k+2\big)}{3^{k-1}}a_{k}
=-\frac{1}{4}(2n+1)(2n+3)-(-\frac{1}{4}) \big\{2(n-1)+1\big\} \big\{2(n-1)+3\big\}
=-(2n+1)・・・➁
(ただしn≧2のとき)
上の括弧書きで書いたところは絶対に記述の時は忘れないようにしましょう。これよりa_{n}
a_{n}=-\frac{(2n+1)3^{n-1}}{(n+1)(n+2)}
次にn=1のときを調べます。実際に➁にn=1を代入すると、
a_{1}=-\frac{5}{8}となります。よって答えは

a_{1}=-\frac{5}{8}
a_{n}=-\frac{(2n+1)3^{n-1}}{(n+1)(n+2)}(n≧2のとき)
となります。

(2)(i)部分分数分解を使った基本的な数列の和を出す問題です。この方法は教科書レベルなので落とせません。またもし(1)が解けなくてもこの問題は解ける問題なので、問題の見極めが重用です。部分分数分解を行って計算すると
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})=\frac{n}{2(n+1)}
となります。

(3)a_{1},a_{n}が違うので\sum_{k=1}^{n}a_{k}を初項とその他に分けます。これは問題文にn≧2のときと書いてありますが、これがヒントになっています。
Q=\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+\sum_{k=2}^{n}a_{k}=-\frac{5}{8}+\sum_{k=2}^{n}-\frac{(2k+1)3^{k-1}}{(k+1)(k+2)}
上式の二項目を(2)(i)の結果を用いて変形すると、
Q=-\frac{5}{8}+\sum_{k=2}^{n}(\frac{3^{k-1}}{k+1}-\frac{3^{k}}{k+2})
前問の結果を上手に使えるかが早く解けるためのポイントの一つになります。
Σの部分を具体的に書きだすと、初項と末項以外は打ち消しあうので、
Q=-\frac{5}{8}+\frac{3^{1}}{3}-\frac{3^{n}}{n+2}
\therefore Q=\frac{3}{8}-\frac{3^{n}}{n+2}
となります。

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

自身の勉強時の体験や社会人になってからの経験を元にいかにして、”考える”ことができる人材を作ることができるのかを日々考えています。また一方で、どんな学力の受験生に対しても独自カリキュラムを提供し、勉強が圧倒的にできるようになっていくという塾を経営しています。