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早稲田大学文化構想学部【国語】|2019年入試の傾向と対策と効率的な勉強法について

2018.11.05

<この記事は2018年11月5日(月)に更新されました> 早稲田大学文化構想学部 このブログでは、早稲田大学文化構想学部の国語に関する入試対策(出題傾向と勉強法)をご紹介していきます。 基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説! 全体概

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  • <この記事は2018年11月5日(月)に更新されました>

    早稲田大学文化構想学部

    このブログでは、早稲田大学文化構想学部の国語に関する入試対策(出題傾向と勉強法)をご紹介していきます。
    基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説!

    [toc]

    全体概観

    英語は例年文学部と同じ傾向になっています。
    しかし、国語は文学部と違って独自形式の入試問題になっていますので注意してください。
    文学部とは違って、古文漢文が大問1つで出題されていません。
    現古漢融合問題として出題されます。

    そのため、古文漢文が苦手な受験生でも受験しやすく人気が高くなっています。

    ただ問1,の現代文は文化構想だけで出題の特殊形式の問題です。
    過去問を行って何度も慣れておく必要があります。

    評論文2問、現古文漢文融合問題1問となっています。大問1は2問分ほどの文章量がありますので、実質現代文3問分の量を読んでいく必要があります。
    時間には余裕がありませんので、時間配分には十分気をつけてください。

    また、英語4技能試験についても、2019年は高倍率が予想されます。その場合、差が出てくるのは国語となってくるでしょう。
    特殊形式の問題が多いため、この学部は対策をするかしないかで入試の合否が大きく変わってきます。本記事を読んで万全な対策で入試に臨んでいただきたいです。

    配点

    一般入試型

    外国語:75/200点 時間90分
    国語(現代文/古典):75/200点 時間90分
    世界史or日本史:50/200点 60分

    英語4技能テスト利用型

    外国語:-
    国語(現代文/古典):75/125点 時間90分
    世界史or日本史:50/125点

    *英語については基準スコアを満たしているものについては、国語と歴史科目のみで採点を行う。

    評論文[文化構想特殊形式]

    評論文2題を読んで設問を解いていきます。

    2つあるうちの文章のどちらかが文語文となっています。

    そのため文語文に読み慣れていない学生は、本文の内容自体を理解できないまたは読み進めるのが遅くなるという自体になってしまいます。

    その場合、まずは過去問を音読して読み慣れるのが合格への第一歩となります。
    文章が読みづらいという場合は近代文語文でないという文章から読み進めるというのもオススメです。

    芸術、文化論の文章が出題される傾向が高いので、この分野での背景知識、単語の理解は必要不可欠です。
    設問は例年7問ほどで、どちらか一方の文章を単独で聞いている設問は少ないです。

    ですから、2つの文章の関係をいかに早く読み取っていくかがこの問題を読み解くことが大事になってきます。

    また本学部のような文語文は早稲田政治経済学部にも出題されているので、政経の過去問も受けてみてください。
    ▷政治経済学部の過去問対策はこちらから

    その他、上智大学経済学部でも出題が確認されています。早稲田大学だけで対策を行って文章量が足りないと感じたのであれば、読んでみるのもありでしょう。ただ、問題の傾向は早稲田とは異なるため注意が必要です。

    評論文[通常]

    早稲田大学標準の評論文です。
    大問1同様、芸術関連の文章が出題されることも多いですが、早稲田特有の現代をテーマにした社会学系の文章が出題されることもあります。

    第一問と比べて読みやすいため特にこの問題に対しての対策は必要ないです。

    注意すべき問題としては、選択肢を並び替えて脱文を挿入する問題や単純な脱文挿入問題があります。
    こうした問題に対処するためには、日頃から文章の論理構造を綿密に見ていく必要があります。

    早稲田合格に必要な論理構造とは?

    私は英語でも現代文でも「論理構造、論理構造」と何度も言っていて当塾の塾生には論理構造を取れるまで徹底的に解説しています。

    そもそも多くの受験生は、文章を読む際に、論理構造を意識していない、またはその意味自体わからない人が多いのです。

    この理解and実践ができていないと早稲田への確実な合格が難しいです。

    ですので、ここでは論理構造を簡単に説明いたします。

    評論文には主張がある

    前提条件として、評論文には筆者の主張があるという考え方は理解されていますか。

    現代文ができない受験生は、文章から筆者の主張を把握するよりも文章自体の意味を理解することに重点をおきがちになってしまいます。

    芸術論や国家論などの外面的なテーマ、そもそもの言葉がわからないなどそうした外面的な要素に左右されて、本文で筆者時代が何を言っているのかがさっぱり理解できてないという状態です。

    これが理解できてないと論理構造どころの話ではなくなってしまうので、まずは評論文には筆者の主張があるということを理解できるようにしましょう。

    筆者の主張が理解できた後は、その主張が”どのように”されているのかを理解することが必要なのです。どのように”というのは主張の理由+具体例を使って説明がなされます。

    この”どのように”が、図解できるレベルまで理解できるのが早稲田に圧勝で合格するための水準になります。

    当塾ではこのレベル感まで生徒を見ていくから早慶に圧勝できる実力をつけることができています。

    現代文古文漢文融合問題

    現代文古文漢文融合問題です。古文漢文共に早稲田大学標準レベル。
    古文は現代文部分から内容を推測することができるため、他の学部に比べると取り組みやすい傾向になっています。
    ただ、もちろん普通の古文ができないことには解くこともできません。主語の把握、助動詞の使い分けなど基本的なことには習熟してください。

    漢文は独立した問題になっているので注意してください。必要な知識としては、返り点や漢詩の知識など基本的なものになっています。
    出題形式に騙されずに、確固たる知識をつけて望むようにしてください。

    過去問の問題傾向

    編集中

    過去問から抜粋して問題の解説

    編集中

    科目別対策

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    eigo

    英語対策はこちら

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    syakai

    日本史対策はこちら

    世界史対策はこちら

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    kokugo

    国語対策はこちら 

    [/su_column][/su_row]

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早稲田大学文学部【国語】|2019年入試の傾向と対策と効率的な勉強法について

2018.10.29

国語が難問ぞろいの早稲田大学にて文学部の国語はひときわ難度が高くなっています。現代文の難度は早稲田標準レベルまたは少し上くらいだが、古文漢文が他の学部に比べてレベルが高いのが特徴です。

評論文2問、古文、漢文という構成です。
早稲田大学には珍しく古文漢文融合問題が出題されることはなく、漢文だけで大問が構成されています。
国語の配点は高いので基本的な問題で点数を落とすことのないことが望まれます。

早稲田大学国際教養学部に合格するための参考書(英語)

2018.10.23

当塾(HIRO ACAEMIA)で使用している早稲田大学国際教養学部に合格へ必要な参考書を紹介します。
もちろん、当塾の場合は一人一人個別にカリキュラムを作成するため下記のようなカリキュラムは一例となります。参考書は何をやるかよりも、どのような目的で使用するかというが大事です。闇雲に行って情報量に圧倒されてしまうのではなく、1つ1つ目的意識を持って勉強していきましょう。

早稲田大学スポーツ科学部[国語]|2019年入試の傾向と対策と効率的な勉強法について

2018.10.21

現代文2問と古文漢文融合問題の3問から構成されています。国語が難しい早稲田大学の中でも標準的な問題が出題されます。年によってはスポーツと近代の関係を細かく問われるためこのあたりの関係性についても確認しておくとよいでしょう。
漢文は、出題数としては1,2問ですが、合格するためには正解が必要不可欠となります。

2018年度| 早稲田大学理工学部解答速報

2018.02.15

<この記事は2018年2月17日に更新されました> 2018年度|早稲田大学理工学部解答速報 英語 下記リンクをクリックしていただくとPDF形式でご覧いただけます。 2018年_早稲田大学理工学部過去問 数学 2018年_早稲田大学理工学部解答速報 下記リンクをクリックしていただくとPD

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  • <この記事は2018年2月17日に更新されました>

    2018年度|早稲田大学理工学部解答速報

    英語

    下記リンクをクリックしていただくとPDF形式でご覧いただけます。

    2018年_早稲田大学理工学部過去問

    数学

    2018年_早稲田大学理工学部解答速報

    下記リンクをクリックしていただくとPDF形式でご覧いただけます。

    英語、数学のみの速報になります。

    解答速報という性質上、間違いがある可能性が十分にございます。ご了承下さい。

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    [su_box title=“早稲田大学理工学部 科目別対策” radius=“1”]▶英語対策  ▶数学対策  ▶物理対策  ▶化学対策 ▶生物対策 [/su_box]

2018年度 足切りなしで最難関慶應法入試で受かるには!?【成績別】ポイント解説

2018.01.29

<この記事は2018年1月29日に更新されました> このブログ記事では2018年度の慶應大学法学部の入試で圧勝するために入試までに、どのような対策をしたら良いのかのポイントをお伝えしていきます。 センター入試が終わって、意外とどのように勉強を今後どのように行うべきかをわかってない人も多く

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  • <この記事は2018年1月29日に更新されました>

    このブログ記事では2018年度の慶應大学法学部の入試で圧勝するために入試までに、どのような対策をしたら良いのかのポイントをお伝えしていきます。

    センター入試が終わって、意外とどのように勉強を今後どのように行うべきかをわかってない人も多く、混乱している人も多いため、今回の記事でお伝えいたします。

    [toc]

    入試基礎情報

    受験日:2018年2月16日

    偏差値: 河合塾 70 駿台   66 東進  65

    各科目点数配分

    英語 200点,歴史 100点,小論文100点

    ※慶應法学部は1次選考が存在し、1次選考で一定の点数を取らないと採点がされません。すなわち、足切りとなってしまいます。

    過去5年の入試データ

    ここでは過去5年間の入試データを記述しています。

    法律学科

     募集人数  受験者数  合格者数  倍率  合格最低点
     2017年  230 1,931  352  5.5  263
     2016年  230  1,796  328  5.3  242
     2015年  230 1,832 353 5.2  232
     2014年  230  1,827 374 4.9  197
     2013年  230 1,998 340  5.9  246

    政治学科

     募集人数  受験者数  合格者数  倍率  合格最低点
     2017年  230 1,563  324  4.8  266
     2016年  230  1,654  313  5.3  249
     2015年 230  1,569  321  4.9  238
     2014年  230  1,659  478  5.0  203
     2013年  230  1,718  446  5.6  248

    入試データからわかるポイントとは

    慶應法を受験する上で一番怖いのが、1次選考で足切りに合わないかどうかでしょう。 足切りの点数については公表されていません。 ですが、英語と歴史であわせて、200点~210点取ることができていれば、足切りされることはないといえるでしょう。 逆にこの点数以上を取れていな合格ラインには乗ることができません。 小論文では差がつきにくいことが予想されるためです。

    問題のレベルとしては、小論以外は全問マークシートではありますが、英語の難度が非常に高いです。 近年レベルが下がってはいますが、それでも難しいです。 難しさの原因としては、まず時間の短さがあげられるでしょう。 早慶レベルであれば通常90~100分は英語の入試時間があるのが普通ですが、、 慶應法学部は80分とセンター試験と同じ点数です。 短期間で長文を処理する高い情報処理能力を必要としていくでしょう。 慶應文学部、慶應SFCを受ける学生とは真逆の対策が必要になってくるといえます。

    速読をして理解して、速く解く力をどのように身に着けたらよいのか。入試までになんとか対策をしたいなどありましたら、お気軽に当塾にご連絡下さい。こちらからカウンセリングができます。

    また、歴史科目は、難易度は年度により異なりますが、そこまで高くはありません。得意な人であれば80~90点程度は取ることが可能です。 世界史、日本史は文化史が出た場合に点差が開きやすいので、現役生は特に気をつけて下さいどのように文化史を効率的に勉強をしたら良いのか。などご質問があれば、下記よりお問い合わせください。こちらからカウンセリングができます。

    小論文についても、書き方がわからなくても、現代文の読解ができているのであれば、十分に合格することが可能です。

    [su_box title=“慶應義塾大学法学部 科目別対策” radius=“1”]▶英語対策  ▶論述力対策  ▶日本史対策  ▶世界史対策 [/su_box]

    今後の入試までの勉強法

    センターが終わってどのように勉強をしたら良いのか困っている人がおおいかと思います。偏差値別にまたは心理状況も踏まえて、センター試験が上手くいったかどうかも考慮して今後の指針を記述いたします。 *ここにおいてのセンター試験が上手くいったかどうかというのは、MARCHクラス(偏差値60程度の大学)をセンター利用で取れたかどうかということになります。

    偏差値70以上の人でセンターが上手くいった人

    偏差値70以上でセンター試験が上手くいった人は心理状況としてはかなり良好でしょう。ですが、油断は禁物です。偏差値70を過去に取ったからと言って、合格できるかどうかは別問題です。最後まで気を抜かないように気をつけて下さい。
    慶應法学部は学部特殊性の強い問題が多いので、問題形式に慣れておくのが良いでしょう。
    具体的には、英語のインタビュー問題、歴史の自分がミスを起こしやすいときの状態をまとめて、見直すなどが良いでしょう。

    偏差値70以上の人で悔しくもセンターがうまくいかなかった人

    過去に偏差値70以上でもセンターが上手くいかなかった人はいるでしょう。それはしょうがないです。当塾でも、センター試験の練習や模試では9割取れていたのに、本番では緊張して・・・という人もいます。センターがだめだった=入試に落ちたという意味ではないので、今回センター試験でミスを引き起こした原因を徹底的に分析してみましょう。 そのミスの原因から学ぶことができるのであれば、センター利用で失敗したことは大きな問題ではありません。

    具体的に慶應の法学部の入試までにしておくことは、英語の論拠をもう一度全て探す練習、歴史の再度解き直しを行ってみて下さい。
    特に慶應法学部の英語の根拠はわかりづらくなっていますので、自分で自身が持てるようになるまで何度も行ってみて下さい。
    新しいことを行うよりはこれまでの復習をして、センター試験本番でできなかったことがないかどうかを確認していきましょう。

    偏差値65近辺の人でセンターが上手くいった人

    このレベルの人でセンターが上手くいった人が一番危ないです。案外できる!と調子に乗ってしまい、結果第一志望に落ちてしまう・・と言うのはよくある話です。 第一志望に確実に受かるためにスべきことは、自分の穴をなくすことです。 偏差値65近辺で70を超えられなかったということは、どこかしらにご自身の成績の穴があるはずです。その穴を徹底的に潰さない限りは、慶應法に合格することはできないでしょう。期間は短いですが、穴を潰すことはもちろん可能です。 特に歴史科目でつまずいているのであれば、お気軽にご連絡いただければと思います。対策は可能です。こちらからお気軽にご連絡下さい。

    偏差値65近辺の人で悔しくもセンターがうまくいかなかった人

    この近辺の人はセンターでMARCHを取る気で試験を受けていたため、取れなかったとなると、かなり悔しいでしょう。。ですが、諦めないで下さい。ここで諦めてしまっては個々までの努力がもったいないです。 これから、すべきこととしては、センターでできなかった理由の追求と、穴を潰していくことです。センターで失敗してしまったということは、偏差値65というがたまたまでてしまったレベルの偏差値であるかもしれません。これからの、ご自身の分野別の穴を埋めつつ、知識で未定着の部分がないかどうかを確認して下さい。 大丈夫です。諦めずに最後まで勉強を続けていれば、センター試験で失敗したとしても必ず成果は出ます。頑張りましょう!

    偏差値60近辺の人でセンターが上手くいった人

    この偏差値近辺の人でセンター利用が上手くいった人はこれまでの実力以上のことが出来た!ということでひとまずおめでとうございます!と言いたいところです。ですが、まだ第一志望の合格確定ではありませんので、焦ってはいけません。

    この偏差値近辺の人は、まだまだ行っていないことが多くあると想定して良いでしょう。特に、予想以上に成績が取れたためにこれから慶應に志望を変えたという人もいないとも限りません。 その場合は、英語、歴史の論述が手薄になっているかと思います。それぞれ書き方などがあります。闇雲に行ってしまうのは良くないでしょう。0からどのように勉強をしたら良いのかご不明な受験生、お気軽にカウンセリングをご希望いただければと思います。 こちらからカウンセリングをすることができます。

    偏差値60近辺の人で悔しくもセンターがうまくいかなかった人

    このレベルでセンターがうまくいかなかった人は、早慶を目指すために浪人を考え始めているかもしれません。もちろん、それも一つの選択肢としてはありえますが、まずするべきこととしては、今年の受験を“真剣に頑張る”ということです。浪人をするにしてもどこも受からないで浪人をするのと、どこかに受かって浪人をするのでは、天と地の差があります。 ですから、まずは今年の受験で頑張ってみましょう。 その上で浪人をするというのであれば、当塾で0から基礎で学ぶという選択肢もありえるでしょう。お気軽にカウンセリングいただければと思います。

    2018年度慶應義塾大学法学部解答速報はこちら

    2018年度の解答速報を作成しています。受験日当日から次の日には作成いたします。

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    また、慶應義塾大学法学部に合格するためにどのよう勉強をしたらよいのかを指示する学習カウンセリングも承っています。学習状況を伺った上で、残りの期間でどう受かるかを提案いたしますので、ぜひお気軽にお電話いただければと思います。

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早稲田大学政治経済学部【数学】| 本番で圧勝の徹底対策シリーズ

2017.04.01

早稲田大学政治経済学部 入試難易度:  2.5 早稲田大学政治経済部の数学は全分野からまんべんなく出題されています。出題形式も空所補充、記述式など様々です。 難易度は標準的ですが、証明問題や図示せよとった問題も出題され、正確かつ手際よく問題を解いていくことが必要です。 また本学部は社会科目との選択な

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  • 早稲田大学政治経済学部

    入試難易度:ico_grade6_2h  2.5

    早稲田大学政治経済部の数学は全分野からまんべんなく出題されています。出題形式も空所補充、記述式など様々です。
    難易度は標準的ですが、証明問題や図示せよとった問題も出題され、正確かつ手際よく問題を解いていくことが必要です。
    また本学部は社会科目との選択なため、理系の受験者も多く、数学選択者の数学力は他の文系数学の受験より高く、高得点勝負になります。

    [toc]

    全体概観:配点70 点

    alarm-clock時間60分

    教科書レベルの基礎知識は必ず身につけておきましょう。
    これをベースに理解力・応用力が試されます。
    その上でそれらを総合的に考える力が求められます。そのため、系統的な基本的な知識の習得が必要です。
    早稲田大学全般で言えるこ とですが、解答時間があまりないので、ある程度のところで見切りをつけて違う問題を解いていき時間を無駄に使うことのないようにしましょう。

    出題概要

    数学I、II、A、Bにすべての範囲からまんべんなく出題されます。数列、ベクトル、整数問題、確率が頻出問題にとなっています。

    対策1:証明問題の対策はどうすればよいのか?

    まずは教科書に載っているような公式の証明などをやってみましょう。証明問題の答案作成は時間をかけなければ身につきません。
    また証明の際には筋の通った答案が書けなければなりません。そのため証明問題を解いたら先生などに見てもらって添削してもらいましょう。
    論理の穴をなくすには同値性、必要十分性に気を配ると論理的欠陥は少なくなっていくと思います。
    また自分で自明だと思っていることは必ずしも普遍的心真理とは限らないので、記述は丁寧めに書いていきましょう。

    対策2:応用問題はどう対策すればいいのか?

    まず応用問題を解くにしても基本が大切です。そのため教科書の節末、章末問題は理解した上で解く必要があります。標準的な問題をたくさん解いて解法に慣れましょう。いわゆる応用問題もほとんどの場合、基本的な知識の組み合わせでしかありません。また応用問題と言っても必ずしも合否に関わるとは限りません。
    1問だけ難問で他の問題が超基本だったら、その1題で差が付きますが、それだと試験として機能しないので、多くは基本、標準、応用とバランスよく配置されます。本番では基本、標準は正確に処理しておきましょう。
    そのうえで応用問題にも喰らいついて得点を伸ばしていけると良いですね。
    理系の生徒をはじめ、数学が得意な生徒は全ての問題に正解できるようにしたいところでしょう。

    対策3:時間内に解ききるにはどう対策すればいいのか?

    60分という時間に割りに問題が多いので、①解答のまとめ方や、②計算力の向上が求められます。
    ①については、実際に過去問を解いたりしてこうやればいいんだというのを身体でつかみましょう。
    ②については普段から計算の訓練をして、計算過程を疎かにせず、正確な計算を心がけましょう。

    また試験が始まったら、全体を俯瞰し、解ける問題から確実にとっていきましょう。1つ完答すると安心しますし、自分のペースがつかめると思うのでまずは1完を目指しましょう。本番はいつも通りの力を発揮できるように焦らず、問題文をよく読んで落ち着いて挑みましょう。

    実際の問題を見てみましょう!

    ▶2014年大問3(1)、(2)

    (1)は教科書の例題として載っているレベルの問題です。そのためここは絶対に落とせません。

    (2)(i)も基本的な問題ですが、ここでは計算が楽になる方法を紹介します

    (解)与えられている放物線 C_{1}, C_{2} を以下のように変形します。

     a_{1} x^{2}+ b_{1}x-y=0, a_{2} x^{2}+ b_{2}x-y=0

    そして、以下のような式を立てます。(この考え方を束と言います。普段は円で使うことが多いですがこの場合も適用できます。)

     a_{1} x^{2}+ b_{1}x-y- k\big( a_{2} x^{2}+ b_{2}x-y\big) =0~~~~(1)

    束の考え方よりこの図形は C_{1}, C_{2} のグラフの交点を通る。

    今回、直線が通るということより k= \frac{a _{1} }{ a_{2} } である。

    (今回考えるのは直線なので、xの二次の係数が0になるようにkを選びます。)

    この結果を(1)に代入すると、

     a_{1} x^{2}+ b_{1}x-y- \frac{a _{1} }{ a_{2} }\big( a_{2} x^{2}+ b_{2}x-y\big) =0

     a_{1} x^{2}+ b_{1}x-y- \frac{a _{1} }{ a_{2} } a_{2}x^{2}- \frac{a _{1} }{ a_{2} }b_{2}x+\frac{a _{1} }{ a_{2} }y=0

    b_{1}x-y- \frac{a _{1} }{ a_{2} }b_{2}x+\frac{a _{1} }{ a_{2} }y=0

     \frac{a _{2} - a_{1} }{ a_{2} } y= \big( b_{1}- \frac{a _{1}b_{2} }{ a_{2}} \big) x

     \frac{a _{2} - a_{1} }{ a_{2} } y= \frac{a _{2} b_{1} -a _{1} b_{2}}{ a_{2} }x

    y= \frac{a _{2} b_{1} -a _{1} b_{2}}{ {a _{2} - a_{1} } }x

    m= \frac{a _{2} b_{1} -a _{1} b_{2}}{ {a _{2} - a_{1} } }

    今回の問題は(2)は答えのみなのですが、記述の練習も兼ねて答案作成してみましょう。書いてみたら、ぜひ先生に添削してもらいましょう。


    ▶2016年 大問4

    (2)(ⅱ)が最大の山場で、1つ飛ばしのa_k=a_{k+2}に気付けるかどうかが肝心です。計算はそこまで重くないので、丁寧に考えていきましょう。

    (1)長方形の内角は90°で、対角線ACは中心Oを通るので、長方形ABCDの面積をTとして、T=2(\frac{1}{2}・AB・BC)=2(\frac{1}{2}2cosx・2sinx)=2sin2x…(ア)

    0<x<\frac{\pi}{2}⇄0<2x<πより2x=\frac{\pi}{2}⇄x=\frac{\pi}{4}で最大値2をとる。…(イ)(ウ)

    (2)(ⅰ) |OA_k|=|OA_{k+1}|=1より△OA_k A_{k+1}は二等辺三角形である。よって∠OA_{k+1}A_k=\theta_kであるからa_k=1({\pi}-2\theta_k)=π-2\theta_k…(答)

    \theta_k+\theta_{k+1}=\alphaで、a_kと同様に、

    a_{k+1}=1(\pi-2\theta_{k+1})=\pi-2(\alpha-\theta_k)…(答)

    a_k+a_{k+1}=2(\pi-\alpha)…(答)

    (ⅱ)(ⅰ)より、a_k+a_{k+1}=a_{k+1}+a_{k+2}(=2(π-α))⇄a_k=a_{k+2}…①である。

    ・n=2m+1のとき(m≧1)

    ①よりa_1=a_3=\ldots=a_{2m+1}

    a_2=a_4=\ldots=a_2m=a_{2m+2}

    A_{n+1}=A_1から、a_1=a_{2m+2}であるからすべての円弧が等しい。

    ∴nが奇数のとき、n角形A_1 A_2\ldots A_nが正n角形になることが示された。(q.e.d)

    (ⅲ)・n=2m(m≧2)のとき、①より

    a_1=a_3=\ldots=a_{2m+1}

    a_2=a_4=\ldots=a_{2m}

    であるから\theta_1=\theta_3=\ldots=\theta_{2m-1}\theta_1=\theta_3=\ldots=\theta_{n-1}が成り立つことが示された。(q.e.d)

    右図の斜線部の面積をS_1とすると、

    S_1=\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\sin(\pi-2\theta)+\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\sin\{\pi-2(\alpha-\theta)\}とかけ、S_n(\theta)S_1\frac{n}{2}倍であるから、S_n(\theta)=\frac{n}{2}\langle\frac{1}{2}\sin2\theta+\frac{1}{2}\sin\{2(\alpha-\theta)\}\rangle=\frac{n}{4}\langle\sin2\theta+\sin\{2(\alpha-\theta)\}\rangle…(答)

    (ⅳ)正n角形の内角の和は(n-2)πであるから、nα=(n-2)π⇄\alpha=\frac{n-2}{n}\pi…②

    S_n(\theta)=\frac{n}{4}\langle\sin2\theta+\sin\{2(\alpha-\theta)\}\rangle=\frac{n}{4}\cdot2\sin\{\frac{2\theta+(2\alpha-2\theta)}{2}\}\cdot\cos\{\frac{2\theta-(2\alpha-2\theta)}{2}\}=\frac{n}{2}\cdot\sin\alpha\cdot\cos(2\theta-\alpha)

    ②より、αはnの関数でθは含まないので、cos(2θ-α)のとりうる最大値を考えれば十分。

    0<2θ<πより-α<2θ<π-α

    よって、cos(2θ-α)は2θ-α=0⇄\theta=\frac{n-2}{2n}\piのとき、最大となり、その最大値は\frac{n}{2}\cdot\sin(\frac{n-2}{n}\pi)

    [解説]

    A

    (1)は問題ないでしょう。

    (2)のn角形は少し珍しかったかもしれません。多くの人は、正n角形が円に内接する問題に出会ったことがあると思いますが、本問は正多角形とは限りません。もしかしたら、正n角形として議論してしまった人もいるかもしれないので、まず定義を確認します。

    定義:全ての辺の長さが等しい(イ)かつ全ての内角の大きさが等しい(ロ)とき、その多角形を正多角形という。

    本問は、(ロ)のみ与えられていたので、正n角形とは限らないということですね。

    では(ロ)のみならどのような反例が存在するのか考えてみると右図のような1つ飛ばしで合同な図形が挙げられます。このとき、\theta_1+\theta_2=\alphaとなり、条件を満たします。

    では逆に(イ)のみならどうなるでしょうか?

    右図のようにハチャメチャなものもありえてしまいますね?

    以上の考察から(イ)(ロ)が正n角形の必要十分条件であることがわかります。

    B

    (ⅱ)で導いたa_k=a_{k+2}を幾何的に考えてみます。

    まず、\angle OA_1A_2=\angle OA_2A_1=\theta_1となるように円周上に点A_1A_2を決めます。[ステップ1]

    次に、\angle A_1A_2A_3=\alpha_2となるように円周上に点A_3を定めます。[ステップ2]

    \theta_1+\theta_2=\alphaで、次は\theta_2+\theta_3=\alphaになるようにA_4を定めたいのですが、そうするには、0<α<πより、\theta_3=\theta_1しかありえません。[ステップ3]

    ∴帰納的に\theta_k=\theta_{k+2}となることが分かります。こうやって、順々に考えていくと、①の結果にも納得がいきますし、この発想をしっかりと厳密に記述すれば答案としても成り立ちます。

    C

    さて、Bから相似な三角形が1つ飛ばしに並んでいくことが分かりました。

    (Ⅰ)nが奇数のとき、A_2 A_3 \ldots A_nと定めていくと、△OA_1A_2\triangle{OA_nA_1}\equiv\triangle{OA_1A_2}となります。

    このとき、\theta_1+\theta_2=\alpha

    \theta_1+\theta_1=\frac{\alpha}{2}ですから、

    \theta_1=\theta_2=\frac{\alpha}{2}で、\triangle{OA_1A_2}\equiv\triangle{OA_2A_3}\ldots\equiv\triangle{OA_nA_1}となり、正n角形となるしかないことが分かります。

    (Ⅱ)nが奇数のとき\triangle{OA_nA_1}\equiv\triangle{OA_2A_3}となるので正n角形に限らないことも分かりますね。

    D

    S_n(\theta)=\frac{n}{4}\langle\sin2\theta+\sin\{2(\alpha-\theta)\}\rangle=\frac{n}{4}\cdot2\sin\{\frac{2\theta+(2\alpha-2\theta)}{2}\}\cdot\cos\{\frac{2\theta-(2\alpha-2\theta)}{2}\}と変形しましたが、和積公式を用いました。

    和積について少し述べておきます。

    加法定理より、

    \sin{(x+y)}=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}・・・(ハ)

    \sin{(x-y)}=\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}・・・(二)

    (ハ)+(二)より、{\sin{(x+y)}+\sin{(x-y)}}=2\sin{x}\cos{y}・・・(*)です。

    これは、x,yを別々に含んだ関数の和と積に、積を和にすることができるので、大変重宝します。本問では、\sin{2\theta}\sin{2(\alpha-\theta)}と変数\thetaを別々に含んでいるため、最大値の\thetaの挙動がわかりません。そういうときは、2つの\thetaの三角関数を1つの関数で表せば、終えることがわかりますね。

    今回は、\begin{cases}x+y=2\theta \\ x-y=2(\alpha - \theta )\end{cases}

    を連立して解くことで、

    x=\frac{2\theta+2(\alpha-\theta)}{2},y=\frac{2\theta+2(\alpha-\theta)}{2}

    が求まります。

    和積の公式は他にもありますが、加法定理からいずれも導くことができます。一度は自分の手で導いてみましょう。

    E

    さて、結局答えが2\theta=\alpha

    (正n角形)となりましたが、これは前もって予想することができます。(1)のとき、n=4を借りてかんがえてみます。

    A_{k},A_{k+1},A_{k+2}において、A_{k},A_{k+2}を固定してA_{k+1}の位置を考えればよいので、 |\overline{A_{k},A_{k+2}} |が円の半径になるn=4で簡単に考える。)

    いま、A_{1},A_{3}を図のように固定して、 |\overline{A_{1},A_{3}} |を底辺、A_{2}からA_{1}A_{3}に降ろした垂線の長さを(h)とすると、 |\overline{A_{1}A_{3}} |が定数なので、hが最大になるのは \widehat{A_{1}A_{3}} の中心になるときです。

    これを答案にしても最後の(ⅵ)は埋まります。このような予想ができるので(2)は(ⅱ)(ⅲ)が解けなくても、(ⅳ)が穴埋めなので、(ⅳ)は得点できます。こうやって答えを予想できることも多々あるので、普段から多角的に考えるようにしましょう。

    [総括]

    2016年度のセットの中で一番難しい問題を扱ったが、難易度は標準+αくらいだろう。(1)、(2)(ⅰ)くらいは最低限確保したい。論証も特にやっかいなところはないので、心配しなくともよい。
    予備校の評価が”難しい”とかかれているが、はったりである。
    30分程度で完答できればOK!

     

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