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早稲田大学法学部に合格するための偏差値30からの英語の参考書

2019.09.26

早稲田大学法学部に合格するための英語参考書 当塾で使用している早稲田大学法学部に合格へ必要な参考書の一部を紹介します。 闇雲に行って情報量に圧倒されてしまうのではなく、1つ1つ目的意識を持って勉強していきましょう。 参考書だけでの独学での合格はかなり難しく、初学者の場合は指導なしでやってしまうと下手

偏差値30から慶應義塾大学法学部に合格するための参考書

2019.09.22

慶應義塾大学法学部に合格するための参考書 当塾で使用している慶應義塾大学法学部に合格へ必要な参考書を紹介します。もちろん、当塾の場合は一人一人個別にカリキュラムを作成するため下記のようなカリキュラムは一例となります。参考書は何をやるかよりも、どのような目的で使用するかというが大事です。闇雲に行って情

早稲田大学理工学部 数学|対策,勉強法, 過去問,入試頻出分野,合格する考え方とは?

2019.09.05

早稲田大学理工学部の数学への対策、勉強法の伝授 理工学部の数学は原則すべて記述式解答で、結果だけでなくそれに至るまでの過程を書く記述力が求められます。全て解き切るのは時間的に厳しいので、部分的にでも確実に答えられる問題を探して解いていくことが大切になります。 全体概観:配点120点 時間120分 例

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  • 早稲田大学理工学部の数学への対策、勉強法の伝授

    理工学部の数学は原則すべて記述式解答で、結果だけでなくそれに至るまでの過程を書く記述力が求められます。全て解き切るのは時間的に厳しいので、部分的にでも確実に答えられる問題を探して解いていくことが大切になります。

    [toc]

    全体概観:配点120点 時間120分

    例年大問は5題です。部分的に答えのみでもよい小問があることもありますが、原則全て記述式になっています。

    問題形式

    大問は5題で、それぞれ小問に分かれています。前の小問の結果をふまえて次の小問を解くことが多く、小問同士を結びつける論理力が必要となっています。

    微積は毎年のように出題され、場合の数・確率、数列は隔年で出されています。
    また近年整数の出題も増えているので注意が必要です。
    2016、2017と2年連続で複素平面と空間図形からの出題があったのにも注目してください。
    簡単な年は典型問題が並びますが、難しい年になるとなかなか骨のある問題が並びます

    頻出分野

    <微積>2017年度の大問2は簡単でしたが、2016年度の大問5は2016年度のセットのなかでは一番難しく、絶対取るべきかどうかというのは判断しにくいです。
    しかし、誘導が丁寧なので難しくても(2)くらいまでは解き、半答は取りたいところです。
    難しそうだからといって避けずに、解けるところまで粘ってみましょう。

    <場合の数・確率>数列と隔年で出題されていますが、さほど難しくないですし、特徴があるわけではないので、神経質になって対策する必要はありません。n絡みの確率は漸化式、Σ、反復試行など多岐に渡りますから柔軟に対応できるようにしておくと本番も落ち着いて試験に挑めると思います。

    <立体>2016、2017と二年連続で立体図形が出題されていて、来年度以降も大問で出る可能性は十分にあります。
    空間は苦手にしている人が多く、差がつきやすいため難関大では好まれます。
    空間は座標で押すorベクトルで攻めるの2つが大まかな方針ですから適宜図形的考察を加えたり、適切な断面で平面に落とし込んだりして、誘導をうまく汲み取って解答していきましょう。

    <複素平面>こちらも課程が変わった年から連続して出題され、対策が必要不可欠な分野でしょう。難関大では複素平面の人気が高く、ほとんどの大学で出題されています。そのため他大学を受けるにおいても複素平面の学習はプラスに働くこと間違いなしでしょう。

    早稲田理工学部の数学を攻略するための日頃の勉強法

    典型問題を確実に解くことのできる練習を!

    易の年、難の年があるものの、大問5つのなかで見たことあるな〜という問題が2つくらいはあります。
    難の年は実質簡単な問題が解けるかどうかで数学で差がつくので、巷に出回っている問題集の典型的なレベルは確実に解けるようにしておきましょう。
    過去問演習する際、簡単な年なら3完2半、難しい年なら2完3半を最低ラインに据えると良いでしょう。

    自分なりの作戦を!

    大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
    問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、落ち着いて計算を進めましょう。
    検算は必ず行い、計算ミスは確実に防ぎましょう。
    簡単な問題は15分程度で終わらせて、少し難し目の問題に傾斜的に時間を掛けるなど臨機応変に対応しましょう。
    問題が始まったらまず全体を俯瞰して自分なりの作戦を立ててから解き始めると、大きな失敗は免れますし、良い流れに乗れるのでオススメです!

    記述力をつける

    ただ解くのではなく、途中式や導出過程、細かい条件まで含めた解答を作りましょう。
    基本的な問題演習をしているうちから実際の入試を意識して解答を作ることで、記述力を早いうちから身につけることができます。
    特に証明問題や場合分けを要する問題では記述力が重要となります。

    証明問題で論理の飛躍があったり、場合分けを書き間違うとそれだけで減点されてしまいます。
    自己採点の際も、解答と照らし合わせながら細かいミスがないかどうかまで確認しましょう。
    また、図示問題に限らず関数や平面・立体図形が登場する問題もあるので、自分で分かりやすい図を描くことが大事になります。

    計算力をつける

    大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
    問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、迅速かつ正確な計算力が必要となります。
    積分計算などはかなり時間を要することが多いため、繰り返し練習することで計算力を身につけましょう。

    実際の問題に慣れる

    問題演習に慣れてきたら、実際に過去問に取り組みましょう。この際、本番通りの時間で解くことが大切です。数学ではどの分野が何問目に出るかが分からないので、時間を測って問題演習をし、自分が解きやすいと思った問題から解き始めることが重要です。

    また、先述の通り大問1問あたりにかけられる時間は24分と限られているので、あまり1つの大問を完答することにこだわりすぎるとかえって点数が下がってしまいます。
    大問前半の比較的問題を確実に解答することで、得点を伸ばしていきましょう。

    ただし、時間内に解けなかった問題もその後に問題演習として解くことも大事です。時間内に解けなかった問題は必然的に苦手な問題であるため、苦手をつぶす意味でも解けなかった問題の復習をしましょう。

    過去問解説(随時更新)

    年度 難易度
    2019年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5
    2018年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5
    2017年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5
    2016年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5
    2015年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5

    圧勝している人はこう考える!

    実際に問題を見て、問題を解くことができる人はどのように考えているのかを確認してください。できない人は上記の法則を利用することができていません。実際に過去問を用意して考えてみましょう。2016年度 理工学部 数学 大問Ⅱからの出題です。

    正四角錐と、それに内接する球という立体図形の問題です。

    (1)立体図形のままだと分かりにくいので、断面図を描きましょう。(図1:全体図、図2:断面図)

    立体図断面図

     

    このような断面図にすると、内接する球の半径は、二等辺三角形△PMNに内接する円の半径と同じであることがわかります(Nは線分CDの中点)。ここで、直線と円の接点において、接点と円の中心を結ぶ線分は直線に垂直になります。よって、球の半径をrとすると、△PMNの面積は

     \frac{1}{2} \times 2a \times r + \frac{1}{2} \times b \times r = \big(a+b\big) \times r

    で表されます。また、△PMNはMNを底辺とする二等辺三角形であるので、MNを底辺とした時、高さは

    \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}

    になります。よって、△PMNの面積は

    \frac{1}{2} \times 2a \times \sqrt{a ^{2}+ b^{2}} = a \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}

    のようになります。この二通りで表された△PMNの面積は等しいので、

    \big(a+b\big) r = a \sqrt{b^{2} - a^{2}}

    の式が成り立ちます。よって、球の半径は

    r = \frac{{a \sqrt{b^{2} - a^{2}} }}{a+b}

    で表されます。

    (2)球の表面積は、半径をrとすると4 \pi r^{2}で表されます。また、正四角錐PABCDの表面積は、△PAB+△PBC+△PCD+△PDA+正方形ABCDの面積で表わされるので、

     \big( \frac{1}{2} \times 2a \times b\big) \times 4 +2a\times 2a =4ab +4a^{2}

    のようになります。よって、求める式は

     \frac{4 \pi r^{2}}{4ab+4a^{2}} = \frac{4 \pi}{4a(b+a)} \times \frac{a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{3} } \\ = \frac{\pi a^{2} \big(b-a\big) }{ a\big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi \big( \frac{b}{a}-1 \big) }{ \big(1+ \frac{b}{a} \big) ^{2} }\\= \frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }

    のようになります。

    (3)(2)の式が最大値をとるとき、 f(x)=\frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }とすると、

    f^{'}(x)=\frac{\pi(3-x)}{(x+1)^{3}}

    のようになります。このとき、f^{'}(x)=0のときのxの値はx=3となります。よって、このときの正四角錐PABCDの体積は

    \frac{8 \sqrt{2} }{3} a^{3}

    のようになります。

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    また、早稲田大学理工学部に合格するためにどのよう勉強をしたらよいのかを指示する学習カウンセリングも承っています。学習状況を伺った上で、残りの期間でどう受かるかを提案いたしますので、ぜひお気軽にお電話いただければと思います。

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慶應義塾理工数学対策,勉強法, 過去問,入試頻出分野,合格する考え方とは?

2019.08.30

慶應義塾大学理工学部|数学対策,勉強法を伝授 このブログでは、慶應大学理工学部の数学に関する入試対策(出題傾向と勉強法)をご紹介していきます。基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説! 慶應理工の数学の全体概観 理工学部の数学は基本事項の使い方が大

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  • 慶應義塾大学理工学部|数学対策,勉強法を伝授

    このブログでは、慶應大学理工学部の数学に関する入試対策(出題傾向と勉強法)をご紹介していきます。基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説!

    [toc]

    慶應理工の数学の全体概観

    理工学部の数学は基本事項の使い方が大切になってきます。教科書に載っている基本事項を十分に活用できるようになる必要があります。
    それに合わせて、いろいろな問題演習を通じて、柔軟な思考力を養う必要もあります。

    数学は才能が要るという人がいますが、才能やセンスの有無が問題になるのは大学や数学オリンピックのメダルくらいで、受験数学において才能は関係なく、しっかりと基礎を固め、演習量を積めば、誰でも解けるようになります。

    基礎を固め、標準問題が解けるようになったからといって、数学の学びを止めず、様々な大学の過去問を解いてみたりと、意欲的に学習するようにしてください。

    出題される大問は5題です。回答の大部分はマークシートで、一部記述式です。記述式の設問では、証明問題が毎年出題されます。全て解き切るのは時間的に厳しいので、問題を解くのに必要な処理量や計算力、難易度を見極める力も重要です。

    慶應理工の数学の出題範囲・頻出分野

    理工学部の数学は、数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学Ⅲ・数学A・数学Bからの出題で、数学Aからは「場合の数と確率」・「整数の性質」・「図形の性質」、数学Bからは「数列・「ベクトル」が出題範囲となっています。

    頻出分野は微積分で、例年2題以上出題されており、計算量が多いのが特徴です。

    また、微積分以外では、数列・確率・ベクトル・三角関数など数Ⅰ・数A・数Bなどからもまんべんなく出題され、いくつかの単元にわたる融合問題の出題も見られます。

    全体的に数学Ⅲの分野が頻出であり、また空間図形・確率漸化式など試験範囲が出せれているので、全分野の学習について念入りな学習が必要です。

    慶應理工の数学の頻出分野の対策方法について

    ▶微積

    微積は占める比重も大きいので、真っ先に固めたい分野です。
    小問集合ないでも大問でも出題され、難易度はバラバラですが、手がつけられないような難問は出題されないので確実に解きたい分野です。

    最初の敷居は高いですが、パターンが決まっているので一度得意にしてしまえば得点源にしやすいです。

    また2014年度の大問5のように知っていれば、すぐに解くことができる問題も出題されます。

    「x軸、y軸で切り取られる線分の長さが常に1」といわれたら…「アステロイドじゃないか?!」とひらめけるようになれるとよいでしょう。

    このように微積には色々と背景があったり、有名な問題が多いので一通り当たって知識を蓄えておくと有利に働くことが多いです。普段問題を解きっぱなしにするのではなく、深く考察したり、背景を調べてみたりすると数学の勉強が楽しくなると思います。

    ▶場合の数・確率
    慶應では理工、薬、医において、場合の数・確率の出題が盛んです。
    特にn絡み、漸化式の出題が毎年のようになされています。
    高校ではしっかりと扱わないからか苦手意識を持っている人も多いのですが、一度コツを掴んでしまえばスラスラできるようになります。

    具体的にどう考えればいいのかはここでは扱いませんが、理工の場合は医の問題の難易度に慣れておくと本番完答できるでしょう。 また東大の過去問を解くのもおすすめです。

    ▶空間
    2014〜2017と4年連続で空間、立体の問題が大問で出ています。
    ほとんどが四面体絡みで難易度はそこまで高くないものの計算が大変な年もあり、試験場で思ったとおり進まない人も少なくありません。
    立体は「適切な断面で切って、平面で考える」というのが定石なのですが、本学は誘導が丁寧に与えられているため、そこの思考過程は問題ではありません。
    なので基本的に誘導に乗るだけですが、ベクトルと空間座標の基礎は理解しておく必要があります。
    そして計算が大変でも焦らず、地道に計算するクセを普段からつけておくと本番自身を持って解けます。
    空間と書いてあるだけで飛ばす空間アレルギーの方がたまにいますが、本学のレベルなら落とせないので、まずは図を書き、丁寧に考えてみましょう。

    慶應理工の数学を攻略するための日頃の勉強法

    慶應の理工学部に圧勝で合格するためにどのように日頃勉強をしていったら良いのかを勉強をする際のポイントを記載していきます。

    基礎力の強化

    数学力を身につけることが大事となりますが、そのためには基本的な問題が解けるようになることが重要です。
    1つ1つの分野、特に頻出範囲である微分・積分は重点的に学習しましょう。
    また、理工学部の数学の問題は計算量が多く、早く正確に解くことが求められます。
    マークシート方式では考え方が正しくても、計算ミスなどで正しい結果が出ない場合は得点ができないので、要領よくミスがないように正解を出せるように日ごろから計算するときも意識する必要があります。

    自身の計算ミスの癖を理解する

    慶應義塾大学理工学部の数学は、計算量が多いため、計算ミスをする可能性があります。
    上記したとおり、日頃から計算ミスをしない工夫をすることは当然ですが、自身がどういう部分で計算ミスが起こるのかを確認しておく必要があるでしょう。

    実際の問題に慣れる

    問題演習に慣れてきたら、実際に過去問に取り組みましょう。この際、本番通りの時間で解くことが大切です。
    数学ではどの分野が何問目に出るかが分からないので、時間を測って問題演習をし、自分が解きやすいと思った問題から解き始めることが重要です。
    大問前半の比較的易しい問題を確実に解答することで、得点を伸ばしていきましょう。
    ただし、時間内に解けなかった問題もその後に問題演習として解くことも大事です。
    時間内に解けなかった問題は必然的に苦手な問題であるため、苦手をつぶす意味でも解けなかった問題の復習をしましょう。
    また理工学部の問題は空所補充の問題が多いので過去問や模擬試験を通じて形式になれることも大切です。

    慶應理工学部の数学過去問解説(随時更新)

    年度 難易度
    2019年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5
    2018年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5
    2017年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5
    2016年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5
    2015年 大問1
    大問2
    大問3
    大問4
    大問5

    慶應理工学部の数学で圧勝する人はこう考える!

    実際に問題を見て、問題を解くことができる人はどのように考えているのかを確認してください。
    できない人は上記の法則を利用することができていません。
    実際に過去問を用意して考えてみましょう。

    まず、初級編の2014年度の大問4に取り掛かってみましょう。

    空間で大事な知識をまずチェックして起きましょう!

    ■直線のパラメーター(媒介変数)表示

    \overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} は一次独立のベクトルとする。

    ※一次独立:簡単に言うと\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} が全く違う方向に向いているということです。

    平面上の点(x)は任意の実数s,tを持ってくると

    \overrightarrow{OX}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}・・・(*)

    と表せます。

    図1

    (*)をs=1としたときにXは

    \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}

    =s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{b}・・・(☆)

    でこれは図2のようにAを通りベクトル\overrightarrow{b} に平行な直線となります。

    図2

    逆にtがすべての実数を取るときに=s \overrightarrow{OX}の集合は直線l全体になります。

    (☆)には図2のAを原点として、OBの長さ( \mid \overrightarrow{b} \mid)を1とする数直線を設定したときの目盛りを表すというイメージがわきます。

    さて、

    としても当てはまりますから(☆)を空間に拡張すると


    図3

    と表せます。(図3)すごく当たり前なのですが、(a,b,c),(p,q,r)が分かっていてどれかの座標成分に決定的な情報があればtを求めることで、直線上の点が分かります。
    平面から空間へ次元が上がると難しく思うかもしれませんが、おこなうことはほとんど変わりません。
    本問はこれさえしっかりおさえておけば解けます。
    空間では図を書くことが肝心なので図をかきながら解いていくことにします。

    (解)

    ◯0 < t ≦ 1のとき

    なので、線分OA上にz=tを満たす点A’が存在する。\overrightarrow{OB} 上の点Xは実数pを用いてでz=3p=tより、\overrightarrow{OB} 上でz座標がtの点B’はと表せる。
    以上を踏まえると、f(t)は図5のようにかけるので、f(t)=\frac{1}{3}t^{2}・・・(ソ)

    図4

    図5

    ◯1<t<3のとき

    で線分OA上にz=tを満たす点が存在しなく、線分AB、AC、OCを共通にもつ。

    直線AB、AC上に点Y、Zは実数q,rを用いて

    ・・・(タ)

    1+2q=t、1+2r=tを満たすときq=r=\frac{t-1}{2}なのでこれを代入して

    ①、②を踏まえるとf(t)は図3のようにかけるので

    f(t)=(t-1+\frac{2}{3}t)\frac{3-t}{2}\frac{1}{2}=\frac{1}{12}(5t-3)(3-t)・・・(チ)

     図6

    以上から

    g(t)=\int_t^1 \frac{1}{3}z^{2} dz +\int_1^t+2 \frac{1}{12}(5z-3)(3-z)dz・・・③

    ■ここで各々積分を実行したくなりますが、それは得策ではありません。
    問題は、あとはg’(x)についてしかきいてませんから、③をそのまま微分すればよいです。

    g(t)=\int_t^1 \frac{1}{3}z^{2} dz +\int_1^t+2 \frac{1}{12}(5z-3)(3-z)dz・・・③

    g^{'}(t)=\frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{12}(5t+7)(1-t)

    =g^{'}(t)=-\frac{1}{12}(9t^{2}+2t-7)・・・(ツ)

    =g^{'}(t)=-\frac{1}{12}(t+1)(9t-7)

    なのでg(t)はt=\frac{7}{9}で最大値をとります。(図7)

    図7


    次は翌年2015年の大問4を取り上げてみます。

    20分を目安に取り組んでみてください。

    問題

    (解)

    (i)六面体OPPP-PPPPは立方体(図8)

    (ii)Pのz座標が正

    (iii)

    (iv)Pがzx平面にある(⇆P3のy座標は0)

    (iv)より とおける。(i)より|\overrightarrow{OP_{3}} |=|\overrightarrow{OP_{1}} |かつ\overrightarrow{OP_{1}}\bullet\overrightarrow{OP_{2}}=0

    a^{2}+b^{2}=45かつ2a+4b=0・・・①

    でaを消去するとb2=9で(ii)よりb=3

    ①に代入してaを求めると・・・(ソ)

    図8

    ◯Pについて

    とおくと、

     \overrightarrow{OP_{4}}\cdot \overrightarrow{OP_{1}}=0かつ \overrightarrow{OP_{4}}\cdot \overrightarrow{OP_{3}}=0かつ \overrightarrow{OP_{4}}=45

    ⇔2p + 5q + 4r = 0かつ-6p + 3r = 0かつp+ q+ r= 45

    ⇔q = -2pかつr = 2pかつp+ q+ r= 45

    q,rを消去してpについて解くとp= \pm \sqrt{5} だがr= \pm \sqrt{5} pなのでp= \sqrt{5}

    である。よって

    ・・・(タ)

    ◯Pについて

    ・・・(チ)

    ◯四角形OQQQと六角形Q1Q2Q3Q7Q4Q5について図示すると図9のようになります。

    (正方形をある面に投射すると平行四辺形になる。正方形は平行四辺形の中の1つ)

    図9

    平行四辺形OQ1Q2Q3=5・6=30・・・(ツ)

    平行四辺形OQ3Q7Q4=2\sqrt{5}\cdot6=12\sqrt{5}

    平行四辺形OQ1Q5Q4=5\sqrt{5}+2\cdot2\sqrt{5}=9\sqrt{5}より

    六角形Q1Q2Q3Q7Q4Q5=30+21\sqrt{5}・・・(テ)

    ◯立方体とz軸の交わりの線分の長さについて

    いまz軸は原点を通るxy平面に垂直な直線であり図9から平行四辺形Q6Q5Q4Q7が原点Oを含むから平面PPPPがz軸と交点を持つ。

    平面PPPP上の点Xは

    \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP_{4}}+t\overrightarrow{P_{4}P_{7}}+s\overrightarrow{P_{4}P_{5}}(t,sは任意の実数)

    =\overrightarrow{OP_{4}}+t\overrightarrow{OP_{3}}+s\overrightarrow{0P_{1}}

    z軸はx=0,y=0なのでs=\frac{2\sqrt{5}}{5},t=\frac{3\sqrt{5}}{5}で交点の座標はで線分の長さは\frac{9\sqrt{5}}{2}・・・(ト)

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早稲田大学教育学部【数学】|本番で圧勝の徹底対策シリーズ

2019.07.29

早稲田大学教育学部 全体概観: 理系数学なので当たり前なのですが、数学Ⅲの微分積分をテーマとした問題が、毎年出題されています。 その他の分野では、数列、漸化式、確率、場合の数、といった分野も頻出となっています。 難易度は、バラバラで難しい問題もあれば、簡単めの問題も出題されています。難易度の差はあり

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  • 早稲田大学教育学部

    [toc]
    全体概観:
    理系数学なので当たり前なのですが、数学Ⅲの微分積分をテーマとした問題が、毎年出題されています。
    その他の分野では、数列、漸化式、確率、場合の数、といった分野も頻出となっています。
    難易度は、バラバラで難しい問題もあれば、簡単めの問題も出題されています。難易度の差はありますが、制限時間120分というのを考えると決してやさしくはありません。

    圧勝している人はこう考える

    ここでは過去問を使って、早慶の入試で圧勝をしている人はどのように考えているのかを示していきます。

    (1)は簡単ですが、少し実験して考えてみましょう。

    実験

    ここくらいまで考えれば、状況がつかめてきますね!

    ・n秒後に外の囲い(■)が点灯すること。

    ・3囲いずつ点灯と消灯をくり返すこと。(周期が3)

    ここまでつかめば、こっちのものです。

    記述するにおいて、上のように”・”をたくさん書くのは面倒ですし、厳密な答案を書く上で少し工夫してみましょう。

    n=1で点灯した電球を原点(0,0)として、電球を座標平面上の格子点に載せてみます。

    解 電球を座標平面上の格子点にのせて、最初に点灯した電球を原点(0,0)にもってくる。

    (1)n+1秒後に初めて点灯した電球はn秒後に点灯した電球と隣接しているから|P_{n+1}-P_n|=1or\sqrt2である。

    (P_kはk秒後にはじめて点灯した電球)(n≧1)

    ∴n秒後に初めて点灯する電球の個数a_nは|x|=n-1かつ|y|=n-1かつ|x|≦n-1,|y|≦n-1を満たす格子点の個数に一対一に対応する。

    a_n=4{2(n-1)+1}-4=8(n-1)(n≧1)

    以上からまとめるとa_1=1,a_n=8(n-1)(n≧2)…(答)

    (2)消える電球を無視して考えると、n秒後についている電球の個数S_nは1辺が(2n-1)の正方形の面積と対応するから、S_n=(2n-1)^2…①

    ここから、周期3ごとに消灯する電球を引いて考える。

    (ⅰ)n=3k+1(k≧1)のとき、b_n=S_n-(a_2+a_5+\ldots+a_{3k-1})=S_n-\displaystyle\sum_{l=1}^k 8\{(3l-1)-1\}=S_n-8(\frac{3}{2}k(k+1)-2k)=S_n-4(3k^2-k)=(2n-1)^2-4\{(n-1)\frac{n-1}{3}-\frac{n-1}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}(n-1)(n-2)=\frac{8n^2-5}{3}…(答)(n=1のときも成立)

    (ⅱ)n=3k+2(k≧2)

    b_n=S_n-(a_3+a_6+\ldots+a_{3k})=S_n-\displaystyle\sum_{l=1}^k 8(3l-1)=S_n-8\{\frac{3}{2}k(k+1)-k\}=S_n-4(3k^2+k)=(2n-1)^2-4\{(n-2)\frac{n-2}{3}+\frac{n-2}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}(n-1)(n-2)=\frac{8n^2-5}{3}…(答)(n=2のときも成り立つ。)

    (ⅲ)n=3(k+1)(k≧1)

    b_n=S_n-(a_1+a_4+\ldots+a_{3k+1})=S_n-\{1+\displaystyle\sum_{l=1}^k  8(3k+1-1)\}=S_n-(1+8\sum_{l=1}^k 3k)=S_n-{1+12k(k+1)}=S_n-\{1+4(n-3)\frac{n}{3}\}=(2n-1)^2-\frac{4}{3}n(n-3)-1=4n^2-\frac{4}{3}n^2=\frac{8}{3}n^2…(答)

    (3)(2)より

    (ⅰ)(ⅱ)のとき、\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}-\frac{5}{n^2}=\frac{8}{3}

    (ⅲ)のとき、\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}

    なので、\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{8}{3}…(答)

    ■(3)を少し考えてみましょう。

    S_n=(2n-1)^2とは(2)の通り左図の斜線の面積でn^2は、左図でいう約第一象限分の面積ですから、\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=4です。

    b_n=S_n-T_n(消灯分の面積)なので、\frac{b_n}{n^2}=\frac{S_n}{n^2}-\frac{T_n}{n^2}

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}-\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}をXとすると、

    \frac{8}{3}=4-X \rightleftharpoons X=\frac{4}{3}

    \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{n^2}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}がわかります。

    原点に点がついたときは、点灯している面積のほうが断然大きくなりますが、nが十分大きくなると(消灯分の面積):(点灯分の面積)=1:2となっていくわけですね。

    一人ひとりの節電が地球を救います!Let’s省エネ!

    (問)nを2以上の自然数とし1からnまでの自然数の順列:a_1 a_2 \ldots a_nのうち条件(※)を満たす順列の個数をP_nとおく。

    条件(※):a_k<a_{k+1}を満たさないようなkが順列中にただ1つ存在する。

    以下の問いに答えよ。

    (1)P_3を求めよ。

    (2)P_4を求めよ。

    (3)P_{n+1}P_nを用いて表わせ。

    (4)P_nをnを用いて表わせ。   (2017早大教育1(2)改題)

    少し解きやすく改題してみました。早速やってみましょう。

    実験  P_nに適する順列を(  ),適さないものを{  }で表します。

    (表)

    あとは各々の補題(ⅰ)(ⅱ)を示して(3)を先に解いてしまいます。

    [(ⅰ)の証明]

    nを大きな数とする。P_nのある順列について、(a_1,a_2,\ldots,a_i,a_{i+1}\ldots,a_n)が(※)と条件を満たすとする。(a_i>a_{i+1})

    ここに(n+1)を挿入することを考える。

    (Ⅰ)a_1,a_2,\ldots,a_iについて、a_j(1≦j≦i)はすべてn以下なので、この↑のうち1つに(n+1)を挿入するとa_k<a_{k+i}を満たさないところがこの順列だけで1か所存在してしまい、a_i>a_{i+1}と合わせて2か所存在するので、(※)に反する。

    (Ⅱ)いま、a_i<n+1かつa_{i+1}<n+1なので(※)を満たす順列が作れる。

    (Ⅲ)(Ⅰ)と同様に不適。

    (Ⅳ)a_n<n+1であるから(※)を満たす順列が作れる。

    以上、(Ⅰ)〜(Ⅳ)から(ⅰ)は示される。

    [(ⅱ)の証明]

    いま、↑のnコに(n+1)を挿入すれば、a_l>a_{l+1}を満たすところが1ヶ所だけ存在する。(nコのうしろに挿入すると、{1,2,…n,n+1}となり(※)に不適)

    (1,2,3,…n)の元の並びから、(ⅰ)と(ⅱ)は互いに排反である。

    以上から、P_{n+1}=2P_n+n…(答(3))が導けました。

    (P_3=4,P_4=2・4+3=11)

    (4)さて、P_{n+1}=2P_n+n…①を解いてみましょう。

    ①⇄P_{n+1}+n=2(P_n+n-1)+2

    a_n=P_n+(n-1)とおく。a_{n+1}=2a_n+2 \rightleftharpoons a_{n+1}+2=2(a_n+2) \rightleftharpoons a_n+2=2^{n-2}(a_2+2)

    (a_2=P_2+1=2)よりa_n=2^n-2

    P_n=a_n-(n-1)=2^n-(n+1)…(答)となります。

    どうでしたか?実験の重要性をわかって頂けましたか?

    ただ覚えるだけの数学だけではなく、考えて数学を勉強していきましょうー!

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早稲田大学文学部の入試傾向と対策| 偏差値30から早慶本番で圧勝する勉強法

2019.06.18

この記事は2019年6月18日(火)に更新されました 早稲田大学文学部の入試傾向と対策 ▶特徴 文学部は早稲田の本キャンパスからは少し離れた通称文キャンに文化構想学部とともに位置する学部。男女比で女子が上回る早稲田では珍しい学部。2年次に心理学コース、英文学コース、美術史コースなどの1

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  • この記事は2019年6月18日(火)に更新されました

    早稲田大学文学部の入試傾向と対策

    ▶特徴

    文学部は早稲田の本キャンパスからは少し離れた通称文キャンに文化構想学部とともに位置する学部。男女比で女子が上回る早稲田では珍しい学部。2年次に心理学コース、英文学コース、美術史コースなどの17つのコースに分かれ、専門的な知識を学んでいく。

    [toc]

    入試動向

    一般入試

     募集人数  受験者数  合格者数  倍率  合格最低点
    2018年 390 8277 367 10.1 135.1
     2017年 390 7720 830 9.1 134.2
     2016年 440 7494 1090 6.8 129.26
     2015年 440 7154 1129 5.7 128.5
     2014年 440 7309 1161 6.1 127.696
     2013年 440 7332 1143 6.2 127.3

    英語4技能テスト利用型

     募集人数  受験者数  合格者数  倍率  合格最低点
    2018年 50 888 192 4.6 91
     2017年 50 350 182 1.9 60.5

    受験科目と配点

    受験科目と配点は、英語75点、国語75点、地歴50点の合計200点となっています。

    2020年以降の入試について

    廃止事項として帰国生入試、センター受験方式がきまっています。

    その他については現時点で発表はありませんが、現行でも英語外部試験を使った入試はあるので、この傾向は続いていくと思われます。

    2019年度よりGTECとケンブリッジ英検が使うことのできる試験に入っています。現行では下記のようになっています。

    文学部生の学生生活について

    当塾の講師や学生講師、学生インタビューなどから得た貴重な大学での学生生活の情報をお伝えしていきます。

    授業数は少なめであるが、中国語、朝鮮語、ロシア語、イタリア語、スペイン語、フランス語、ドイツ語のうちから1つ言語を選択し、この外国語が必修で1年次では週に4時間ある。そのため、そこに力をいれていく必要がある。また、授業ではテストのかわりに多くのレポート提出がある。必修の授業が少なく、自由に好きな授業を選択できる。また、キャンパスは違うものの本キャンパスに近いためそこでの授業も受けやすい。また、文化構想学部とは、2年次でコースにわかれるまでは学ぶ内容に大きな差がなく、同じ授業をとることができる。他学部より授業数が少ないが、レポート提出が多くあるため計画的に進めていくことが大事。

    科目別対策

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早稲田大学文化構想学部の入試傾向と対策 | 偏差値30から早慶本番で圧勝する勉強法

2019.06.18

早稲田大学文化構想学部の入試傾向と対策 ▶特徴 文化構想学部は早稲田の本キャンパスからは少し離れた通称文キャンに文学部とともに位置する学部。また男臭い早稲田では珍しく男女比で女子が上回っている。 多元文化論系、複合文化論系、表象・メディア論系、文芸・ジャーナリズム論系、現代人間論系、社

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  • 早稲田大学文化構想学部の入試傾向と対策

    ▶特徴

    文化構想学部は早稲田の本キャンパスからは少し離れた通称文キャンに文学部とともに位置する学部。また男臭い早稲田では珍しく男女比で女子が上回っている。

    多元文化論系、複合文化論系、表象・メディア論系、文芸・ジャーナリズム論系、現代人間論系、社会構築論系という学科のようなもの、6つの論系にわかれている。
    好きな論系に2年次に進むには1年でよい成績をとるために頑張る必要があります。

    [toc]

    入試動向

     募集人数  受験者数  合格者数  倍率  合格最低点
    2018年 430 9129 763 12.0 136.5
     2017年 430 9835 886 11.1 135.5
     2016年 500 8596 1474 5.8 125.5
     2015年 500 7937 1446 5.1 124.5
     2014年 500 8351 1465 5.3 124.185
     2013年 500 8247 1442 5.4 125.2

    受験科目と配点

    配点は英語75点、国語75点、地歴50点の合計200点となっています。

    2020年以降の入試について

    廃止事項として帰国生入試、センター受験方式がきまっています。

    その他については現時点で発表はありませんが、現行でも英語外部試験を使った入試はあるので、この傾向は続いていくと思われます。

    2019年度よりGTECとケンブリッジ英検が使うことのできる試験に入っています。現行では下記のようになっています。

    文化構想学部生の学生生活について

    当塾の講師や学生講師、学生インタビューなどから得た貴重な大学での学生生活の情報をお伝えしていきます。

    授業数は少なめであるが、第二外国語が必修で1年次では週に4時間授業がある。そのため、そこに力をいれていく必要がある。また、テストのかわりに多くのレポート提出がある。必修の授業が少なく、自由に好きな授業を選択できる。

    また文学部とは論系にわかれるまでは大きな差がなく、同じ授業をとることができる。他学部より授業数が少ないが、レポート提出が多くあるため計画的に進めていくことが大事である。

    科目別対策

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早稲田大学社会科学部の入試傾向と対策 | 偏差値30から本番で圧勝するための徹底対策

2019.06.18

早稲田大学社会科学部の入試傾向と対策 ▶特徴 社会科学部は早稲田の本キャンパスに位置する学部で、広く社会について学ぶことができる。授業をとるときに自由度が高いため、前期、後期の授業のバランスなども自分で決定することができる。また問題が全問マークシートのため、またなんでもできるというコン

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  • 早稲田大学社会科学部の入試傾向と対策

    ▶特徴

    社会科学部は早稲田の本キャンパスに位置する学部で、広く社会について学ぶことができる。授業をとるときに自由度が高いため、前期、後期の授業のバランスなども自分で決定することができる。また問題が全問マークシートのため、またなんでもできるというコンセプトのためか、早稲田の中でもかなりの高倍率で入学するのが難しい学部の一つとなっている。

    [toc]

    入試動向

     募集人数  受験者数  合格者数  倍率  合格最低点
    2018年 450 11605 802 14.5 82.95
     2017年 450 11009 906 11.8 89.52
     2016年 450 10235 1001 9.3 77.1
     2015年 450 10307 1117 8.6 85.05
     2014年 450 10731 1127 9.5 83.15
     2013年 450 11605 1070 9.8 78.52

    受験科目と配点

    配点は、英語50点、国語40点、地歴・公民、数学40点の計130点となっています。

    2020年入試改革について

    現時点では科目が政治経済が使うことができなくなっているということ以外は判明していません。

    社会科学部生の学生生活について

    当塾の講師や学生講師、学生インタビューなどから得た貴重な大学での学生生活の情報をお伝えしていきます。

    社会科学部では学科がなく、2年次でゼミとよばれるものに配属され、そこから専門的な知識を身に着けていく。また、留学制度も充実しているので在学中に留学をすることも可能。

    早稲田大学社会科学部の科目別対策

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早稲田大学法学部の入試傾向と対策 | 偏差値30から本番で圧勝する勉強法

2019.06.18

この記事は2019年6月12日(水)に更新されました 早稲田大学法学部の入試傾向と対策 ▶特徴 早稲田大学法学部は早稲田の本キャンパスに位置する学部。名前の通り法を勉強するが、それ以外の科目、一般教養科目もとることができます。 また、学科に分かれていないため興味ある授業をとることができ

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  • この記事は2019年6月12日(水)に更新されました

    早稲田大学法学部の入試傾向と対策

    ▶特徴

    早稲田大学法学部は早稲田の本キャンパスに位置する学部。名前の通り法を勉強するが、それ以外の科目、一般教養科目もとることができます。
    また、学科に分かれていないため興味ある授業をとることができるようになっています。
    合格者は他の大学に比べても多くなっているが、司法試験を必ずしも全員が受けるわけでないことには注目しても良いでしょう。

    [toc]

    入試動向

     募集人数  受験者数  合格者数  倍率  合格最低点
    2018年 350 4625 692 6.1 91.745
     2017年 350 3895 825 4.7 88.995
     2016年 350 3908 870 4.5 88.995
     2015年 350 4162 902 4.3 88.995
     2014年 350 4400 921 4.7 89.245
     2013年 350 4406 884 4.8 89.995

    受験科目と配点

    受験科目と配点は英語60点、国語50点、地歴公民40点の合計150点となっています。

    2020年以降の入試について

    早稲田大学法学部については、現行の入試との変更はしないと宣言しています。
    共通テストに変わっても現在実施しているセンター試験と同様の得点率による合否判断を実施するとのことです。
    試験科目および各科目の得点の取扱いについては現在(2019年6月現在)検討の段階のため、結果がで次第公表します。

    共通テストを利用する数学の扱いについては、今後発表になります。

    英語4技能利用については、実施せず。

    早大法学部生の学生生活について

    当塾の講師や学生講師、学生インタビューなどから得た貴重な大学での学生生活の情報をお伝えしていきます。

    本キャンパスの中の8号館で主に授業を受ける。建物にはコンピュータールームや読書室など勉強に対する設備は充実している。また、文系の中でも授業やテストが大変な学部であり、テスト勉強を前々から始め真面目に勉強する人が多い。多くの生徒が法律サークルと呼ばれるものに在籍してそこでテスト対策や先輩から勉強を教えもらうことができる。

    科目別対策

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早稲田大学商学部の入試傾向と対策|偏差値30から早慶本番で圧勝する勉強法

2019.06.16

<本記事は2019年6月12日に更新しました> 早稲田大学商学部の入試傾向と対策 学科、専攻がないのが特徴の1つ。また、文系の学部であるものの理系レベルで数学を使う授業もあるのが特徴。文系科目で入った人は数学で困らないようにしましょう。 1つの学年が1000人以上在籍している大きな学部と

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  • <本記事は2019年6月12日に更新しました>

    早稲田大学商学部の入試傾向と対策

    [toc]

    学科、専攻がないのが特徴の1つ。また、文系の学部であるものの理系レベルで数学を使う授業もあるのが特徴。文系科目で入った人は数学で困らないようにしましょう。
    1つの学年が1000人以上在籍している大きな学部となっている。

    入試動向

    早稲田大学の商学部は早稲田大学の中でも問題も上位の学部(政経、早稲田法学部)と比べると極端に難しい!というレベルではありません。ですが、多くの受験生がそのように思っている分、倍率も高くなっています。1点のミスが合否をわける・・・と思ってください。

     募集人数  受験者数  合格者数  倍率  合格最低点
    2018年 455 12955 1028 12.6 130.55
     2017年 455 12993 1190 10.9 128.6
     2016年 455 12474 1280 9.4 128.4
     2015年 455 11494 1485 7.6 125.7
     2014年 455 11228 1419 7.9 126.75
     2013年 455 11633 1424 8.0 127.4

    受験科目と配点

    配点は英語80点、国語60点、地歴・公民、数学が60点の200点満点となっています。

    合格最低点は例年130点前後で推移しています。

    2020年入試改革について

    こちらに詳細を記載しています。

    https://hiroacademia.jpn.com/explanation04_post/wasedasyougaku/

    商学部生の学生生活について

    当塾の講師や学生講師、学生インタビューなどから得た貴重な大学での学生生活の情報をお伝えしていきます。

    早稲田の本キャンパスに位置し、主に最近工事が完了した11号館を国際教養学部と共に使用し、授業を受ける。同じ建物を共有しているが同じ授業を受けることはほぼない。商学部では学科がないため、自分の興味がある授業をとることができる。自由度が高いため、希望すれば全休(平日で授業がひとつもない日)をつくることも可能である。

    早稲田大学商学部の科目別対策

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