偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

  • 資料請求
  • カウンセリング
  • お電話
new

2016年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問3

2019.09.20

方針の立て方 (1) 基本的な問題であるため特筆事項なし. (2) 前問ではの考察をしたので,本問ではについて考察すれば必要十分だと判断する.そしてそれは前問と同じように処理すればよい. 後は2つの考察結果を連立して考えれば,解答が得られる. 解答例 (1) ア: イ: ウ: エ: オ: (2) 解

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)
    基本的な問題であるため特筆事項なし.

    (2)
    前問では1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}の考察をしたので,本問では\log_n{\sqrt x}<\frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)について考察すれば必要十分だと判断する.そしてそれは前問と同じように処理すればよい.
    後は2つの考察結果を連立して考えれば,解答が得られる.

    解答例

    (1)
    ア:4
    イ:\frac{1}{2}
    ウ:-2
    エ:0
    オ:4
    (2)\left(n,x\right)=\left(2,17\right)

    解説

    (1)
    1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}=1+\frac{\log_n{\left(n^2\right)}}{\log_n{\sqrt x}}=1+\frac{2}{\frac{1}{2}\log_n{x}}=1+\frac{4}{t}……(答)
    \log_n{\sqrt x}=\frac{1}{2}\log_n{x}=\frac{1}{2}t……(答)
    よって,
    1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}\Leftrightarrow1+\frac{4}{t}<\frac{1}{2}t\Leftrightarrow \begin{cases} t>0 \\ 0<t^2-2t+8=\left(t-4\right)\left(t+2\right) \end{cases}または\begin{cases} t<0 \\ 0>t^2-2t+8=\left(t-4\right)\left(t+2\right) \end{cases}\Leftrightarrow t>4,-2<t<0
    よって,-2<t<4……(答)

    (2)
    底の条件より,n\geqq2x\geqq2である.
    \frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\log_n{3}}{\log_n{\sqrt n}}\right)=\frac{1}{2}\left(1+2\log_n{3}\right)
    \therefore\log_n{\sqrt x}<\frac{1}{2}\left(1+\log_{\sqrt n}{3}\right)\Leftrightarrow\log_n{x}<1+2\log_n{3}\Leftrightarrow\log_n{\frac{x}{9}}<1
    \therefore x<9n
    また,1+\log_{\sqrt x}{\left(n^2\right)}<\log_n{\sqrt x}が成り立つには,前問の結果より,
    -2<t<4\Leftrightarrow-2<\log_n{x}<4\Leftrightarrow n^{-2}<x<1または4^n<x
    が成り立てば必要十分.ここで,x\geqq2より,4^n<xのみ可.
    \begin{cases} x<9n \\ 4^n<x \end{cases}\Leftrightarrow4^n<x<9n
    を満たすのは,n\geqq2の範囲ではn=2のみであり,そのときx=17のみ可.
    \therefore\left(n,x\right)=\left(2,17\right)……(答)

new

2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問3

2019.09.20

方針の立て方 (1) (サ)については特筆事項なし. (シ)との関係を問われているため,の形を具体的に書き下してみると方針を得やすい.すると,が必要だと分かるため,部分積分の際にの項を微分すればよいと分かる. (2)前問で漸化式を求めたので,漸化式を利用することを考える.本解答のような漸化式を用いて

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)
    (サ)については特筆事項なし.
    (シ)a_na_{n-2}の関係を問われているため,a_{n-2}の形を具体的に書き下してみると方針を得やすい.すると,\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}dxが必要だと分かるため,部分積分の際に\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}の項を微分すればよいと分かる.

    (2)前問で漸化式を求めたので,漸化式を利用することを考える.本解答のような漸化式を用いてa_0a_1まで下げる解法は頻出のためおさえておこう.

    (3)極限値が1と与えられているため,\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}-1\right|}で考える.(※\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{a_{n-1}}}=1を直接示す方針でも間違いではないが,はさみうちの原理が使いにくくなる.)変形をしていくと\frac{a_n}{a_{n-1}}の評価が必要になる.一項差のため,まずは前問(2)の結果を使おうと試みるが,前問は積(二項の掛け算)の形であるため使えない.そこで,(1)の(シ)の結果なら,分数の形を作り出せると考え,\frac{a_n}{a_{n-1}}\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}\frac{a_n}{a_{n-2}}に変形することを考える.

    (4)\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt n}a_nのままでは解法が思い浮かばないため,一先ず変形して\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{n\left(a_n\right)^2}}とする.二項の掛け算の形が出てきているため,(2)の結果を使うという方針が立つ.(※(2)の結果をここまで使っていないので,(2)の結果を使うのではと疑うことでも方針が立つ.)

    解答例

    (1)
    サ:\frac{\pi}{4}
    シ:\frac{n}{n+1}
    (2)
    ス:\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}
    (3)
    \left|\frac{a_n}{a_{n-1}}-1\right|=\left|\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}}\right|=\left|\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}}\right|
    ここで,0\leqq x\leqq1の範囲で,0\leqq1-x^2\leqq1であるから,0\leqq\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}\leqq\left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}\leqq1であり,積分区間0\leqq x\leqq1で,等号は常に成立しないことから,
    \int_{0}^{1}0dx<\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}dx<\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}dx<\int_{0}^{1}1dx\Leftrightarrow0<a_n<a_{n-1}<1
    が成立する.(1)の(シ)の結果と合わせると,
    \frac{\left|a_n-a_{n-1}\right|}{\left|a_{n-1}\right|}=\frac{a_{n-1}-a_n}{a_{n-1}}<\frac{a_{n-1}-a_{n+1}}{a_{n-1}}=1-\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=1-\frac{n+1}{n+2}=\frac{1}{n+2}
    よって,
    \lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}-1\right|}<\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n+2}}=0
    であり,はさみうちの原理より,
    \lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}-1\right|}=0
    これは,数列\left\{\frac{a_n}{a_{n-1}}\right\}が1に収束することに他ならない.
    証明終了.
    (4)
    セ:\sqrt{\frac{\pi}{2}}

    解説

    (1)
    a_1(サについて)
    a_1=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx
    これは,下図斜線部に示した四分円の面積を表す.

    a_1=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}……(答)
    a_n(シについて)
    a_n=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}dx=\int_{0}^{1}{\left(x\right)^\prime\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}}dx=\left[x\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}\right]_0^1-\int_{0}^{1}{x\cdot\frac{n}{2}\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}\cdot\left(-2x\right)}dx=n\int_{0}^{1}{x^2\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}}dx
    \therefore\int_{0}^{1}{x^2\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}}dx=\frac{a_n}{n}
    一方で,
    a_n=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}dx=\int_{0}^{1}{\left(1-x^2\right)\cdot\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}}dx=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}dx-\int_{0}^{1}{x^2\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}}dx=a_{n-2}-\frac{a_n}{n}
    \therefore a_n=\frac{n}{n+1}a_{n-2}……(答)

    (2)
    前問の結果より,
    a_na_{n-1}=\frac{n}{n+1}a_{n-2}\cdot\frac{n-1}{n}a_{n-3}=\frac{n-1}{n+1}a_{n-2}a_{n-3}
    (ⅰ)nが偶数のとき,
    a_na_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\frac{n-5}{n-3}\cdot\cdots\cdots\cdot\frac{3}{5}a_2a_1=\frac{3}{n+1}a_2a_1
    ここで,
    a_2=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)dx=\left[x-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\frac{2}{3}
    a_1=\frac{\pi}{4}
    より,
    a_na_{n-1}=\frac{3}{n+1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}
    (ⅱ)nが奇数のとき,
    a_na_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\frac{n-5}{n-3}\cdot\cdots\cdots\cdot\frac{2}{4}a_1a_0=\frac{2}{n+1}a_1a_0
    ここで,
    a_1=\frac{\pi}{4}
    a_0=\int_{0}^{1}1dx=\left[x\right]_0^1=1
    より,
    a_na_{n-1}=\frac{2}{n+1}\cdot\frac{\pi}{4}\cdot1=\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}
    以上,(ⅰ)と(ⅱ)より,
    a_na_{n-1}=\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}……(答)

    (4)
    前問の結果より,
    a_n=\frac{\pi}{a_{n-1}\cdot2\left(n+1\right)}\Leftrightarrow\left(a_n\right)^2=\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}
    である.これより,
    \lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt n}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{n\left(a_n\right)^2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{n\cdot\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{\frac{\pi}{2}\cdot\frac{n}{n+1}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}……(答)

new

2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問5

2019.09.20

方針の立て方 (1) どれも典型問題であるため特筆事項なし. (2) (マ)については,曲線の長さを公式を使って表した後に,極座標に置換すればよい. (ミ)についても,素直に計算をし,素直に等式を立てれば解答が得られる. (ム)について.対称性があるため,上半分だけを求めればよいことに気付くと計算が

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)
    どれも典型問題であるため特筆事項なし.

    (2)
    (マ)については,曲線の長さを公式\int\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dxを使って表した後に,極座標に置換すればよい.
    (ミ)についても,素直に計算をし,素直に等式を立てれば解答が得られる.
    (ム)について.対称性があるため,上半分だけを求めればよいことに気付くと計算が楽になる.この問題に限らず,対称性に気付くことは重要である.そして,曲線の分かれ目となる点\mathrm{B}の左側と右側で分けて面積を求めると考える.第1象限側は円弧であるため,面積の導出については特筆事項なし.左側については,最初は素直にxy座標で面積を定積分で表し,それを極座標変換する.極座標の問題で分からないときには一先ずxy座標で表し,それを極座標変換するという順序で解くと,何をやっているのかが分かりやすい.

    解答例

    (1)
    フ:\frac{v}{v^2-1}
    ヘ:0
    ホ:\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}
    (2)
    マ:\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}
    ミ:\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}
    ム:\frac{1}{2}\left(\pi+e^\pi-3\right)

    解説

    (1)
    〇半径(フについて)
    \mathrm{Q} \left(X,Y\right)とおくと,\mathrm{OQ}=\sqrt{X^2+Y^2},\mathrm{AQ}=\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}と書ける.
    \therefore\mathrm{OQ}\colon\mathrm{AQ}=\sqrt{X^2+Y^2}\colon\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}=1\colon v
    \therefore\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}=v\sqrt{X^2+Y^2}
    両辺正のため,2乗しても同値性は崩れず,
    \left(X-1\right)^2+Y^2=v^2\left(X^2+Y^2\right)\Longleftrightarrow\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)^2+Y^2=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2
    よって,求める半径は\frac{v}{v^2-1}……(答)

    〇点\mathrm{B}の座標(ヘとホについて)
    \mathrm{B}x座標をx=tと置くと,接点の座標は\left(t,\sqrt{-t^2-\frac{2}{v^2-1}t+\frac{1}{v^2-1}}\right)となる.
    よって,接線は,
    \left(t+\frac{1}{v^2-1}\right)\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)+Y\sqrt{-t^2-\frac{2}{v^2-1}t+\frac{1}{v^2-1}}=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2
    これが点\left(1,0\right)を通るので,
    \left(t+\frac{1}{v^2-1}\right)\left(1+\frac{1}{v^2-1}\right)=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2\Leftrightarrow t=0
    よって,点\mathrm{B}の座標は,
    \left(0,\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}\right)……(答)

    (2)
    〇最短経路の長さ(マについて)
    曲線C_1の方程式をy=g\left(x\right)とすると,最短経路の長さは,
    \mathrm{AB}+\int_{x_{\theta_1}}^{x_{\theta_0}}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx
    となる.ただし,x_{\theta_1}は点\mathrm{R}x座標であり,x_{\theta_0}は点\mathrm{B}x座標である.
    ここで,直角座標から極座標へ変換すると,
    \begin{cases} x=r\cos{\theta}=f\left(\theta\right)\cos{\theta} \\ y=r\sin{\theta}=f\left(\theta\right)\sin{\theta} \end{cases}
    となり,
    \begin{cases} \frac{dx}{d\theta}=f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta} \\ \frac{dy}{d\theta}=f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta} \end{cases}
    \therefore\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dx}=\frac{f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}}{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}}
    よって,最短経路の長さは,\frac{dx}{d\theta}<0より,積分区間が入れ替わることに注意すれば,
    \mathrm{AB}+\int_{x_{\theta_1}}^{x_{\theta_0}}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx=\mathrm{AB}+\int_{\theta_1}^{\theta_0}\sqrt{1+\left(\frac{f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}}{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}}\right)^2}\left\{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}\right\}d\theta=\mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\sin{\theta}-f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}\right)^2+\left(f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}\right)^2}d\theta=\mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}d\theta
    \alpha(ミについて)
    (1)の結果を考えれば,\theta_0=\frac{\pi}{2}であり,\mathrm{AB}=\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}\right)^2}=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}である.
    f\left(\theta\right)=\beta e^{\alpha\left(\theta-\theta_0\right)}=\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}より,vf\left(\theta_1\right)=v\beta e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}である.
    更にf^\prime\left(\theta\right)=\alpha\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}
    \mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}d\theta=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}\sqrt{\left\{\alpha\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right\}^2+\left\{\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right\}^2}d\theta\bigm=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}{\sqrt{1+\alpha^2}\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}}d\theta=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\sqrt{1+\alpha^2}\beta\left[\frac{1}{\alpha}e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}\bigm=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}-\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}+\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}
    これとvf\left(\theta_1\right)=v\beta e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}が等しくなるので,
    \begin{cases} \frac{v}{\sqrt{v^2-1}}-\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}=0 \\ \frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}=v\beta \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha=\frac{1}{\sqrt{v^2-1}} \\ \beta=\frac{1}{\sqrt{v^2-1}} \end{cases}……(答)
    〇領域の面積(ムについて)
    v=\sqrt2のとき,\alpha=\beta=1となる.
    以下では,領域の上半分の面積を考える.最終的な答えはその2倍となる.
    まず第1象限の図形について.これは(1)の議論から\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)^2+Y^2=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2\Leftrightarrow\left(X+1\right)^2+Y^2=2を満たす図形,つまり,中心\left(-1,0\right),半径\sqrt2の円の内部.中心を点\mathrm{D}とすると,\angle\mathrm{ADB}=\frac{\pi}{4}となる.よって,第1象限の図形の面積は,
    \frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt2\right)^2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt2\cos{\frac{\pi}{4}}\cdot\sqrt2\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}
    次に第2象限の図形について.
    x=f\left(\theta\right)\cos{\theta}=e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}であるから,\theta=\piのとき,x=-e^\frac{\pi}{2}
    よって,第2象限の図形の面積は,
    \int_{-e^\frac{\pi}{2}}^{0}ydx=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{f\left(\theta\right)\sin{\theta}}\frac{dx}{d\theta}d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}}\cdot e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\left(\cos{\theta}-\sin{\theta}\right)d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}\left(\sin{\theta}\cos{\theta}-{\mathrm{sin}}^2\theta\right)d\theta\bigm=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}\left(\frac{\sin{2\theta}}{2}-\frac{1-\cos{2\theta}}{2}\right)d\theta=-\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}d\theta+\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)}d\theta
    ここで,\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}d\theta=\left[\frac{1}{2}e^{2\theta-\pi}\right]_\pi^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left(1-e^\pi\right)であり,
    \left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime=2e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}+2e^{2\theta-\pi}\cos{2\theta}\Leftrightarrow e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime
    であるから,
    \int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)}d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}\left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime}d\theta=\left[\frac{1}{2}e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right]_\pi^{\frac{\pi}{2}}=0
    \therefore\int_{-e^\frac{\pi}{2}}^{0}ydx=-\frac{1}{4}\left(1-e^\pi\right)
    よって,上半分の面積は,
    \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\left(1-e^\pi\right)=\frac{1}{4}\left(\pi+e^\pi-3\right)
    よって,求める面積は,
    2\cdot\frac{1}{4}\left(\pi+e^\pi-3\right)=\frac{1}{2}\left(\pi+e^\pi-3\right)……(答)

new

2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問4

2019.09.20

方針の立て方 (1) (ソ)について.角の情報を引き出す必要があるため,内積で攻める必要があると判断する. (タ)と(チ)について.答えの形式から,との係数を文字で置くことから始める.すると,求める文字は2つのため,点に関する情報が2つ必要になるから,問題文から点に関する情報を2つ集める. (ツ)に

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)
    (ソ)について.角の情報を引き出す必要があるため,内積で攻める必要があると判断する.
    (タ)と(チ)について.答えの形式から,\vec{\mathrm{OA}}\vec{\mathrm{OB}}の係数を文字で置くことから始める.すると,求める文字は2つのため,点\mathrm{C}に関する情報が2つ必要になるから,問題文から点\mathrm{C}に関する情報を2つ集める.
    (ツ)について.\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}のままでは埒が明かないため,一先ず変形を試みる.前問の結果を用いれば変形の仕方も容易に思いつく.

    (2)
    s,t,uの3文字からs,tの等式を導くため,一先ずuを消去することを考える.その後は,s,tの等式を立てるため,\vec{\mathrm{OA}}\vec{\mathrm{OB}}\vec{\mathrm{OC}}を消去する必要があるが,これにはベクトルの大きさで考えれば良いから,その方針で解く.

    (3)
    (ネ)~(ハ)について.前問でs,tを導入したこともあり,s,t中心で考えていくと上手くいくと考える.すると,\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|s,tで書き表せるため,s,tを動かしたときの最大値を考えればいいことが分かる.前問の結果を加味すれば線形計画法の考え方であると見抜ける.
    (ヒ)について.典型的な四面体の体積問題である.「垂線と面が直交する」と,「垂線と面を構成する2ベクトル(基底ベクトルという)が垂直」が同値であることを利用する.

    解答例

    (1)
    ソ:\frac{\pi}{3}
    タ:\frac{3}{2}
    チ:-\frac{1}{2}
    ツ:9
    (2)
    テ:3
    ト:0
    ナ:-3
    ニ:-3
    ヌ:0
    (3)
    ネ:\frac{3+\sqrt3}{2}
    ノ:\frac{1+\sqrt3}{2}
    ハ:-1-\sqrt3
    ヒ:\frac{3\sqrt6\left(2+\sqrt3\right)}{2}

    解説

    (1)
    \angle\mathrm{AOB}(ソについて)
    \mathrm{B}は図形S上の点のため,\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|=\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\cos{\angle\mathrm{AOB}}=\frac{1}{\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|}=\frac{1}{2}
    \therefore\angle\mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}……(答)
    \vec{\mathrm{OC}}(タとチについて)
    \vec{\mathrm{OC}}\mathrm{AB}上の点のため,\vec{\mathrm{OC}}=t\vec{\mathrm{OA}}+\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OB}}(tは実数)と表せる.
    \mathrm{C}は図形S上の点のため,\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=t\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=4t+6\left(1-t\right)=-2t+6
    \left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2=t^2\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(1-t\right)^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+2t\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=28t^2-60t+36
    \therefore28t^2-60t+36=\left(-2t+6\right)^2\Leftrightarrow t=0,\frac{3}{2}
    t=0では\vec{\mathrm{OC}}=\vec{\mathrm{OB}}となるため不適.よって,t=\frac{3}{2}
    \therefore\vec{\mathrm{OC}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\left(1-\frac{3}{2}\right)\vec{\mathrm{OB}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}……(答)
    \vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}(ツについて)
    前問の結果を変形すると,
    \vec{\mathrm{OB}}=3\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OC}}
    \therefore\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=\left(3\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OC}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OD}}=3\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-2\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=3\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\left(\because\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=3\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|(\because\mathrm{D}は図形S上の点)=3\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=3\left(-2t+6\right)=9……(答)

    (2)
    s+t+u=1である.
    \mathrm{Q}は図形S上の点のため,\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^2=\left(\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}\right)^2=\left(s\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+t\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+u\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\right)^2\bigm=\left(4s+t\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|+u\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|\right)^2=\left(4s+6t+3u\right)^2\bigm=\left(3+s+3t\right)^2\left(\because s+t+u=1\right)\bigm=s^2+9t^2+6st+6s+18t+9
    一方,
    \left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^2=\left(s\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\mathrm{OB}}+u\vec{\mathrm{OD}}\right)^2=s^2\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+t^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+u^2\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2+2st\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+2tu\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}+2us\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\bigm=4s^2+36t^2+u^2\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2+2st\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|+18tu+2us\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|=4s^2+36t^2+9u^2+12st+18tu+6us\bigm=7s^2+27t^2+6st-12s+9\left(\because s+t+u=1\right)
    \therefore s^2+9t^2+6st+6s+18t+9=7s^2+27t^2+6st-12s+9\Leftrightarrow s^2+3t^2-3s-3t=0……(答)

    (3)
    \vec{\mathrm{OE}}(ネ~ハについて)

    前問で求めたs,tの条件より,
    s^2+3t^2-3s-3t=0\Leftrightarrow\left(s-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(t-\frac{1}{2}\right)^2=3……①
    また,(2)での議論より,\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=3+s+3t
    ここで,s+3t=kとおくと,t=-\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}kであり,①の下でkが最大となるときを考えれば良い.
    左図のように,線形計画法の要領で解くと,kの最大値は3+2\sqrt3と分かり,このとき,s=\frac{3+\sqrt3}{2},t=1+32となる.
    s+t+u=1より,u=1-\frac{3+\sqrt3}{2}-\frac{1+\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3となる.
    \therefore\vec{\mathrm{OE}}=\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}……(答)

    〇四面体\mathrm{OCDE}(ヒについて)
    \vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}より,\triangle\mathrm{OCD}=\frac{1}{2}\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OD}=\frac{9}{2}
    \mathrm{E}から\triangle\mathrm{OCD}への垂線の足を点\mathrm{H}とする.すると,\vec{\mathrm{EH}}\bot\triangle\mathrm{OCD}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \\ \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \end{cases}
    ここで,\alpha,\betaを実数として\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OH}}-\vec{\mathrm{OE}}=\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}(つまり\vec{\mathrm{OH}}=\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}})とすると,(1)の結果より,\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=3であることに注意して,
    \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OC}}\cdot\left(\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}\right)=\alpha\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2+\beta\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OE}}\bigm=9\alpha-\vec{\mathrm{OC}}\cdot\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\left(\because\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+\left(1+\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\left(\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OB}}\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\left(\frac{3}{2}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|-\frac{1}{2}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2\right)\bigm=9\alpha+3\sqrt3
    \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OD}}\cdot\left(\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}\right)=\beta\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2-\vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{OE}}\bigm=9\beta-\vec{\mathrm{OD}}\cdot\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=9\beta-\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}+\left(1+\sqrt3\right)\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2\bigm=9\beta-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot9+\left(1+\sqrt3\right)\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2=9\beta+3\sqrt3
    \begin{cases} \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \\ \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 9\alpha+3\sqrt3=0 \\ 9\beta+3\sqrt3=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha=-\frac{\sqrt3}{3} \\ \beta=-\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}
    \therefore\vec{\mathrm{EH}}=-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}=-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}-\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=-\frac{3+2\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{3+2\sqrt3}{6}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{3+2\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}
    \therefore\left|\vec{\mathrm{EH}}\right|=\sqrt{\left(-\frac{3+2\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{3+2\sqrt3}{6}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{3+2\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}\right)^2}=\sqrt{2\left(3+2\sqrt3\right)^2}=3\sqrt2+2\sqrt6
    よって,四面体\mathrm{OCDE}の体積は,
    \frac{1}{3}\cdot\frac{9}{2}\cdot\left(3\sqrt2+2\sqrt6\right)=\frac{3\sqrt6\left(2+\sqrt3\right)}{2}……(答)

new

2017年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問4

2019.09.20

方針の立て方 (1) 特筆事項なし. (2) は上の点であること,前問での長さを求めていたことから,とおいて,ベクトルの問題に持ち込むと考える.他に「点は上の点である」という情報が残っているので,これを加味して考える. (3) 前問で点は上の点であることは考えているので,後は重心の情報を加味すればよ

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)
    特筆事項なし.

    (2)
    \mathrm{OM}\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime上の点であること,前問で\mathrm{O}\mathrm{O}^\primeの長さを求めていたことから,\vec{\mathrm{OM}}=k\vec{\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime}とおいて,ベクトルの問題に持ち込むと考える.他に「点\mathrm{M}\triangle\mathrm{PQR}上の点である」という情報が残っているので,これを加味して考える.

    (3)
    前問で点\mathrm{M}\triangle\mathrm{PQR}上の点であることは考えているので,後は重心の情報を加味すればよい.

    (4)
    前問とは違い,垂心の位置ベクトルを書き下すのは難しいため,別の方法で,垂心の情報を盛り込まねばならない.すると,垂直ならば内積が0という考え方が思いつく.

    解答例

    (1)\sqrt{a^2+b^2+c^2}
    (2)\frac{pqr}{pq+qr+rp}\sqrt{a^2+b^2+c^2}
    (3)
    \triangle\mathrm{PQR}の重心が点\mathrm{M}であるので,\vec{\mathrm{OM}}=\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OP}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OQ}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OR}}となる.
    よって,前問の議論(解説参照)で\begin{cases} x=\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3} \end{cases}となり,故に\begin{cases} p=3k \\ q=3k \\ r=3k \end{cases}
    \therefore p\colon q\colon r=1\colon1\colon1……(答)

    (4)
    (2)での議論より,\bigm\vec{\mathrm{OM}}=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OO}^\prime}=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{pqr}{pq+qr+rp}\vec{\mathrm{OC}}である.
    \mathrm{OM}\bot\mathrm{PQ},\mathrm{OM}⊥\mathrm{PR}より,
    \begin{cases} \vec{\mathrm{OM}}\cdot\vec{\mathrm{PQ}}=0 \\ \vec{\mathrm{OM}}\cdot\vec{\mathrm{PR}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{OM}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)=0 \\ \vec{\mathrm{OM}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OR}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} qb^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}-pa^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}=0 \\ rc^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}-pa^2\frac{pqr}{pq+qr+rp}=0 \end{cases}
    \therefore\begin{cases} p=\frac{c^2}{a^2}r \\ q=\frac{c^2}{b^2}r \end{cases}
    \therefore p\colon q\colon r=\frac{c^2}{a^2}r\colon\frac{c^2}{b^2}r\colon r=b^2c^2\colon c^2a^2\colon a^2b^2……(答)

    解説

    (1)
    \triangle\mathrm{OAC}^\primeについて三平方の定理を使うことで,
    \mathrm{OC}^\prime=\sqrt{a^2+b^2}
    \triangle\mathrm{OC}^\prime\mathrm{O}^\primeについて三平方の定理を使うことで,
    \mathrm{OO}^\prime=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

    (2)
    \vec{\mathrm{OP}}=p\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OQ}}=q\vec{\mathrm{OB}},\vec{\mathrm{OR}}=r\vec{\mathrm{OC}},\vec{\mathrm{OO}^\prime}=\vec{\mathrm{OA}}+\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}である.
    \mathrm{M}は対角線\mathrm{OO}^\prime上の点のため,定数kを用いて,
    \vec{\mathrm{OM}}=k\vec{\mathrm{OO}^\prime}=k\vec{\mathrm{OA}}+k\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OC}}
    と表せる.
    また,点\mathrm{M}\triangle\mathrm{PQR}上の点でもあるため,定数x,yを用いて,
    \vec{\mathrm{OM}}=x\vec{\mathrm{OP}}+y\vec{\mathrm{OQ}}+\left(1-x-y\right)\vec{\mathrm{OR}}=xp\vec{\mathrm{OA}}+yq\vec{\mathrm{OB}}+\left(1-x-y\right)r\vec{\mathrm{OC}}
    と表せる.
    2式で係数比較すると,
    \begin{cases} k=xp \\ k=yq \\ k=\left(1-x-y\right)r \end{cases}
    これを解くと,k=\frac{pqr}{pq+qr+rp}となる.
    \therefore\left|\vec{\mathrm{OM}}\right|=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime}\right|=\frac{pqr}{pq+qr+rp}\sqrt{a^2+b^2+c^2}……(答)

new

2017年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問3

2019.09.20

方針の立て方 (1) 特筆事項なし. (2) は答えには使えないため,何とかしてを消去せねばならないと考える.に関する情報は,「点を通る」だけのため,これを使えばよい. (3) 前問と同様である. (4) 最終的な答えはに関するものなので,は途中でに戻すと考える.後は素直にとを計算して,代入すれば解

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)
    特筆事項なし.

    (2)
    cは答えには使えないため,何とかしてcを消去せねばならないと考える.C_2に関する情報は,「点\mathrm{P}を通る」だけのため,これを使えばよい.

    (3)
    前問と同様である.

    (4)
    最終的な答えはaに関するものなので,\alpha,\betaは途中でa,bに戻すと考える.後は素直にS_1S_2を計算して,代入すれば解答にたどり着く.

    解答例

    (1)\mathrm{P}\left(1,2\right)
    (2)\alpha=\frac{1-a-b}{a-1}
    (3)\beta=\frac{2-a-b}{a}
    (4)
    \alpha=\frac{1-a-b}{a-1}=-1+\frac{b}{1-a}<0
    \therefore S_1=\int_{\alpha}^{1}\left\{\left(ax^2+bx+2-a-b\right)-\left(x^2+1\right)\right\}dx=\int_{\alpha}^{1}\left\{\left(a-1\right)x^2+bx+1-a-b\right\}dx=\frac{\left|a-1\right|}{6}\left(1-\alpha\right)^3=\frac{1-a}{6}\left(\frac{2a+b-2}{a-1}\right)^3=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6\left(a-1\right)^2}
    \beta=\frac{2-a-b}{a}=-1+\frac{2-b}{a}<0
    \therefore S_2=\int_{\beta}^{1}\left\{\left(ax^2+bx+2-a-b\right)-2x\right\}dx=\int_{\beta}^{1}\left\{ax^2+\left(b-2\right)x+2-a-b\right\}dx=\frac{\left|a\right|}{6}\left(1-\beta\right)^3=-\frac{a}{6}\left(\frac{2a+b-2}{a}\right)^3=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6a^2}
    \therefore S_1\colon S_2=\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6\left(a-1\right)^2}\colon\frac{\left(2-2a-b\right)^3}{6a^2}=a^2\colon\left(a-1\right)^2
    \therefore S_1\colon S_2=1\colon2\Longleftrightarrow a^2\colon\left(a-1\right)^2=1\colon2\Leftrightarrow2a^2=\left(a-1\right)^2\Leftrightarrow a^2+2a-1=0
    \therefore a=-1\pm\sqrt2となるが,a<0より,a=-1-\sqrt2……(答)

    解説

    (1)
    \begin{cases} C_1\colon y=x^2+1 \\ l\colon y=2x \end{cases}
    \therefore2x=x^2+1\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0
    \therefore x=1
    \therefore y=2
    よって,\mathrm{P}\left(1,2\right)……(答)

    (2)
    C_2は点\mathrm{P}を通るので,\mathrm{P}\left(1,2\right)C_2の式に代入して,
    2=a+b+c\Leftrightarrow c=2-a-b
    \begin{cases} C_1\colon y=x^2+1 \\ C_2\colon y=ax^2+bx+2-a-b \end{cases}
    \therefore x^2+1=ax^2+bx+2-a-b\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left\{\left(a-1\right)x+a+b-1\right\}=0
    x=1は点\mathrm{P}x座標であることを考慮すると,\alpha=\frac{1-a-b}{a-1}……(答)

    (3)
    \begin{cases} C_2\colon y=ax^2+bx+2-a-b \\ l\colon y=2x \end{cases}
    \therefore ax^2+bx+2-a-b=2x\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(ax+a+b-2\right)=0
    x=1は点\mathrm{P}x座標であることを考慮すると,\beta=\frac{2-a-b}{a}……(答)

new

2017年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問2

2019.09.20

方針の立て方 (1) 実際に題意を満たす取り出し方を考えてみれば方針を得られる. (2) 余事象を考えた方が考えるべきパターン数が少ないことから,余事象で攻めると判断する. (3) 実際に題意を満たす取り出し方を考えると,3つの数字全てが異なる必要がある.逆に,3つの数字が全て異なれば,取り出す順番

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)
    実際に題意を満たす取り出し方を考えてみれば方針を得られる.

    (2)
    余事象を考えた方が考えるべきパターン数が少ないことから,余事象で攻めると判断する.

    (3)
    実際に題意を満たす取り出し方を考えると,3つの数字全てが異なる必要がある.逆に,3つの数字が全て異なれば,取り出す順番は一意的(一対一)に決まる.つまり,題意を満たす場合の数を求めるという問題を,3つの数字の選び方を求めるという問題に言い換えることができる.このように一対一対応している際には,問題を言い換えることで考えやすくなることが多いのでおさえておこう.

    解答例

    (1)\frac{1}{2}n\left(n-1\right)通り
    (2)n\left(3n-2\right)通り
    (3)\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)通り

    解説

    (1)
    題意を満たすカードの引き方を下表にまとめる.

    Xの値 Yの値 Zの値 場合の数(通り)
    1 1 2\sim n n-1
    2 2 3\sim n n-2
    3 3 4\sim n n-3
    \vdots \vdots \vdots \vdots
    n-1 n-1 n 1

    よって,求める場合の数は,
    \sum_{k=1}^{n-1}\left(n-k\right)=\frac{1}{2}\ n\left(n-1\right)通り.……(答)

    (2)
    全ての場合の数はn^3通り.
    以下,余事象を考え,全て等しくない場合の数を求める.
    1回目の試行ではどの数字のカードを取り出しても良いため,n通りの取り出し方がある.
    2回目の試行では1回目の試行で取り出したカード以外のカードを取り出さなければならないため,n-1通りの取り出し方がある.
    2回目の試行では1回目と2回目の試行で取り出したカード以外のカードを取り出さなければならないため,n-2通りの取り出し方がある.
    よって,全て等しくない場合の数は,n\left(n-1\right)\left(n-2\right)通り.
    よって,求める場合の数は,
    n^3-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=n\left(3n-2\right)通り.……(答)

    (3)
    取り出される3種類の数字が決まってしまえば,題意を満たす取り出し方は一意的に決まる(小さい順に取り出されねばならない).よって,n種類の数字から3種類を取り出す場合の数を求めれば,それが答えである.
    \therefore\ {_n^}\mathrm{C}_3=\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)通り.……(答)

    (別解)

    許されるXの範囲は,1\leqq X\leqq n-2である.
    許されるYの範囲は,X+1\leqq Y\leqq n-1である.
    許されるZの範囲は,Y+1\leqq Z\leqq nである.
    \therefore\sum_{X=1}^{n-2}\sum_{Y=X+1}^{n-1}\sum_{Z=Y+1}^{n}1=\sum_{X=1}^{n-2}\sum_{Y=X+1}^{n-1}\left(n-Y\right)=\sum_{X=1}^{n-2}\frac{\left(n-x-1\right)\left(n-x\right)}{2}=\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)通り.……(答)
    という解答でも可能です.(但し,計算はこちらの方が圧倒的に煩雑なので,本解答の解法をお勧めします…)

new

2017年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問1

2019.09.20

方針の立て方 (1)特筆事項なし. (2)乗のまま総和を取るのは難しいため,一先ず指数をに直す.するととても簡単な形になり,解答を得る. (3)特筆事項なし. (4)条件式を使うにはの形を作り出す必要があるため,積和の公式を利用することを考える. 解答例 (1) (2) (3) (4) 解説 (1)

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)特筆事項なし.

    (2)2k乗のまま総和を取るのは難しいため,一先ず指数をkに直す.するととても簡単な形になり,解答を得る.

    (3)特筆事項なし.

    (4)条件式を使うにはx\pm yの形を作り出す必要があるため,積和の公式を利用することを考える.

    解答例

    (1)n\cdot4^n
    (2)-i
    (3)n=17
    (4)\frac{2}{15}

    解説

    (1)
    S=4+7\cdot4+10\cdot4^2+\cdots\cdots+\left(3n+1\right)\cdot4^{n-1}とおくと,
    S=4+7\cdot4+10\cdot4^2+\cdots\cdots+\left(3n+1\right)\cdot4^{n-1}\bigm4S=4\cdot4+7\cdot4^2\ \ +\cdots\cdots+3n\cdot4^{n-1}+\left(3n+1\right)\cdot4^n
    両辺を引くと,
    -3S=4+3\left(4+4^2+\cdots\cdots+4^{n-1}\right)-\left(3n+1\right)\cdot4^n=4+3\cdot\frac{4\left(1-4^{n-1}\right)}{1-4}-\left(3n+1\right)\cdot4^n=-3n\cdot4^n
    \therefore S=n\cdot4^n……(答)

    (2)
    \sum_{k=1}^{2017}\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^{2k}=\sum_{k=1}^{2017}\left(-i\right)^k=\frac{-i\left\{1-\left(-i\right)^{2017}\right\}}{1-\left(-i\right)}=\frac{-i\left(1+i\right)}{1+i}=-i……(答)

    (3)
    余事象で考えれば,
    p_n=1-\left(\frac{5}{6}\right)^n
    \therefore p_n\geqq0.95\Leftrightarrow0.05\geqq\left(\frac{5}{6}\right)^n
    両辺が正のため,両辺の常用対数を取ることができて,
    \log_{10}{0.05}\geqq\log_{10}{\left(\frac{5}{6}\right)^n}
    ここで,
    \log_{10}{0.05}=\log_{10}{\left(\frac{1}{2}\times{10}^{-1}\right)}=-1-\log_{10}{2}=-1.3010
    \log_{10}{\left(\frac{5}{6}\right)^n}=n\log_{10}{\frac{5}{6}}=n\log_{10}{\frac{10}{2^2\cdot3}}=n\left(1-2\log_{10}{2}-\log_{10}{3}\right)=-0.0791n
    より,
    -1.3010\geqq-0.0791n\Leftrightarrow n\geqq\frac{1.3010}{0.0791}=16.44\cdots\cdots
    よって,求めるnの値は,
    n=17……(答)

    (4)
    積和の公式と倍角の公式を用いれば,
    \sin{2x}\sin{2y}=\frac{1}{2}\left\{\cos{2\left(x-y\right)}-\cos{2\left(x+y\right)}\right\}=\frac{1}{2}\left\{2{\mathrm{cos}}^2\left(x-y\right)-1-\left(1-2{\mathrm{sin}}^2\left(x+y\right)\right)\right\}={\mathrm{cos}}^2\left(x-y\right)+{\mathrm{sin}}^2\left(x+y\right)-1=\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2-1=\frac{2}{15}……(答)

new

2016年早稲田大学政治経済学部数学|過去問徹底研究 大問4

2019.09.20

方針の立て方 (1) 基本的な問題であるため特筆事項なし. (2) (ⅰ)本問は,「弧の長さ」を「角度」を用いて表せという問題である.この長さと角度といえば弧度法であるため,弧度法の関係式から考える. (ⅱ)正角形ということで,やそれに比例している頂角が全て等しくなることを考える.とは前問で求めたの

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)
    基本的な問題であるため特筆事項なし.

    (2)
    (ⅰ)本問は,「弧の長さ」を「角度」を用いて表せという問題である.この長さと角度といえば弧度法であるため,弧度法の関係式から考える.
    (ⅱ)正n角形ということで,a_kやそれに比例している頂角が全て等しくなることを考える.a_ka_{k+1}は前問で求めたので,試しにa_{k+2}を求めてみて挙動を確認する.すると,a_{k+2}=a_kが分かり解法を得る.
    (ⅲ)前問と同じ方針で解ける.
    (ⅳ)内角1個に関する公式はないため,代わりに内角の和の公式から考える.\alphanの式で表せてしまえば,後は前問の結果をnに変形するだけである.

    解答例

    (1)
    ア:2\sin{2x}
    イ:\frac{\pi}{4}
    ウ:2

    (2)
    (ⅰ)
    \mathrm{O}の半径は1のため,a_kの長さと\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}の頂角の角度(弧度法)は一致する.
    \triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}の頂角は\pi-2\theta_k
    \therefore a_k=\pi-2\theta_k……(答)
    \triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+1}\mathrm{A}_{k+2}の頂角は\pi-2\theta_{k+1}=\pi-2\alpha+2\theta_k(\because\theta_{k+1}=\alpha-\theta_k)
    \therefore a_{k+1}=\pi-2\alpha+2\theta_k……(答)
    \therefore a_k+a_{k+1}=\left(\pi-2\theta_k\right)+\left(\pi-2\alpha+2\theta_k\right)=2\pi-2\alpha……(答)
    (ⅱ)
    \triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_{k+2}\mathrm{A}_{k+3}の頂角は\pi-2\theta_{k+2}=\pi-2\alpha+2\theta_{k+1}=\pi-2\theta_kとなる.\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}の頂角を\varphi_kと表せば,\varphi_{k+2}=\varphi_kとなる.よって,nが奇数のとき,
    \varphi_2=\varphi_4=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}=\varphi_{n+1}
    \varphi_{n+1}=\varphi_1であり,かつ,\varphi_1=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_nであることを用いると,
    \varphi_1=\varphi_2=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}=\varphi_nとなり,全ての頂角が等しいことが分かる.これは\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}(k=1,2,\cdots\cdots,n)は全て合同であることを表す.よって,底角も等しい.これより,n角形\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\cdots\mathrm{A}_nは正n角形であることが分かる.
    証明終了.
    (ⅲ)
    前問と同様の議論を行えば,nが偶数のとき,\varphi_1=\varphi_3=\cdots\cdots=\varphi_{n-1}であり,\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}(k=1,3,\cdots\cdots,n-1)は全て合同であることが示せる.よって,これらの底角も等しく,つまり,\theta_1=\theta_3=\cdots\cdots=\theta_{n-1}となる.
    証明終了.
    また,同様にして,\theta_2=\theta_4=\cdots\cdots=\theta_nが示せる.
    ところで,\theta_1=\thetaより,\theta_2=\alpha-\theta_1=\alpha-\thetaである.
    \therefore\varphi_1=\pi-2\theta,\varphi_2=\pi-2\alpha+2\theta
    \therefore\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin{\varphi_1}=\frac{1}{2}\sin{\left(\pi-2\theta\right)}=\frac{1}{2}\sin{2\theta}
    \therefore\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin{\varphi_2}=\frac{1}{2}\sin{\left(\pi-2\alpha+2\theta\right)}=\frac{1}{2}\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}
    \triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2と合同(つまり,同じ面積)な三角形は\frac{n}{2}個あり,\triangle\mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3と合同(つまり,同じ面積)な三角形も\frac{n}{2}個ある.
    \therefore S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin{2\theta}+\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}\right\}……(答)
    (ⅳ)
    \alpha\alpha=\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}
    最大値:\frac{n}{2}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}
    \thetaの値:\theta=\frac{n-1}{2n}\pi

    解説

    (1)

    上図より,長方形\mathrm{ABCD}=2\times\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\left(\pi-2x\right)}+2\times\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{2x}=2\sin{2x}……(答)
    よって,長方形\mathrm{ABCD}が最大面積となるのは,x=\frac{\pi}{4}のときで,そのとき2……(答)

    (2)
    (ⅳ)
    n角形の内角の和は\left(n-2\right)\piである.内角はn個あるので,
    \alpha=\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}……(答)
    よって,途中で和積の公式を用いれば,
    S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\alpha-\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{2\left(\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}-\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}+\sin{\left(2\pi-\frac{4\pi}{n}-2\theta\right)}\right\}=\frac{n}{4}\left\{\sin{2\theta}-\sin{2\left(\frac{2\pi}{n}+\theta\right)}\right\}=\frac{n}{2}\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}\sin{\left(-\frac{2\pi}{n}\right)}=-\frac{n}{2}\cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}
    となる.よって,S_n\left(\theta\right)が最大となる\thetaの条件は,
    \cos{\left(\frac{\pi}{n}+2\theta\right)}=-1
    となるとき.\frac{\pi}{n}<\frac{\pi}{n}+2\theta<\frac{\pi}{n}+\piより,上式を満たすのは,
    \frac{\pi}{n}+2\theta=\pi\Leftrightarrow\theta=\frac{n-1}{2n}\piのとき.……(答)
    そのとき,S_n\left(\theta\right)=\frac{n}{2}\sin{\left(\frac{2\pi}{n}\right)}……(答)

new

2016年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問2

2019.09.20

方針の立て方 (1)空間座標系の問題になっているため,ベクトルで考える.次に文字を置くが,「求めるものを文字で置く」という数学の鉄則に従って線分の長さを文字でおいてはうまくいかない.なぜなら,座標の情報から長さの情報は引き出せるが,その逆(長さの情報から座標の情報を引き出すこと)は難しいからである.

  • …続きを読む
  • 方針の立て方

    (1)空間座標系の問題になっているため,ベクトルで考える.次に文字を置くが,「求めるものを文字で置く」という数学の鉄則に従って線分\mathrm{QR}の長さを文字でおいてはうまくいかない.なぜなら,座標の情報から長さの情報は引き出せるが,その逆(長さの情報から座標の情報を引き出すこと)は難しいからである.さらに今回の場合,(独立)変数は点\mathrm{R}のため,点\mathrm{R}の座標を文字で置くのが良いと判断する.

    (2)前問の議論から線分\mathrm{QH}の長さ(h)はすぐに分かるため,h\geqq1という条件はすぐに書き下すことができる.後はこれを変形してxを登場させればよい.

    (3)前問と同様hの表式が分かっているため,これを変形していけばよい.

    解答例

    (1)
    \mathrm{R}\left(X,Y\right)とする.r=\sqrt{X^2+Y^2}である.
    線分\mathrm{PR}上の点は,\left(x,y,z\right)=\left(0,0,2\right)+k\left(X,Y,-2\right)=\left(kX,kY,2-2k\right) (0\leqq k\leqq1) と表せる.
    \mathrm{Q}は線分\mathrm{PR}と球面\mathrm{S}の交点であるから,\left(kX,kY,2-2k\right)を球面\mathrm{S}の方程式:x^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1に代入して,
    \left(kX\right)^2+\left(kY\right)^2+\left(1-2k\right)^2=1\Leftrightarrow k\left\{\left(4+r^2\right)k-4\right\}=0
    \therefore k=0,\frac{4}{4+r^2}
    k=0は点\mathrm{P}を表す.よって,点\mathrm{Q}k=\frac{4}{4+r^2}のときで,\mathrm{Q}\left(\frac{4}{4+r^2}X,\frac{4}{4+r^2}Y,\frac{2r^2}{4+r^2}\right)と分かる.
    \mathrm{QR}=\sqrt{\left(\frac{4}{4+r^2}X-X\right)^2+\left(\frac{4}{4+r^2}Y-Y\right)^2+\left(\frac{2r^2}{4+r^2}\right)^2}=\frac{r^2}{4+r^2}\sqrt{X^2+Y^2+4}=\frac{r^2}{4+r^2}\sqrt{r^2+4}=\frac{r^2}{\sqrt{4+r^2}}……(答)

    (2)
    h=\frac{2r^2}{4+r^2}である.
    h\geqq1である場合,\frac{2r^2}{4+r^2}\geqq1r\geqq0と合わせると2\leqq r
    \therefore2\leqq\sqrt{x^2+y^2}
    ここで,点\mathrm{R}\mathrm{C}上の点であることから,y=x^2-2を満たすことを用いれば,
    \therefore4\leqq x^2+y^2\Leftrightarrow0\leqq y^2+y-2\Leftrightarrow0\leqq\left(y+2\right)\left(y-1\right)\Leftrightarrow y\leqq-2,1\leqq y\Leftrightarrow x^2-2\leqq-2,1\leqq x^2-2\bigm\Leftrightarrow x\leqq-\sqrt3,x=0,\sqrt3\leqq x
    よって,x\leqq-\sqrt3,x=0,\sqrt3\leqq x……(答)

    (3)
    h=\frac{2r^2}{4+r^2}=2-\frac{8}{4+r^2}
    4+r^2=4+X^2+Y^2=Y^2+Y+6=\left(Y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}\geqq\frac{23}{4}
    等号成立はY=-\frac{1}{2}のときであり,そのとき,X=\pm\frac{\sqrt6}{2}
    よって,求める座標は,
    \mathrm{R}\left(\pm\frac{\sqrt6}{2},-\frac{1}{2},0\right)……(答)


  • 偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

  • 早稲田校舎 : 〒162-0045
    東京都新宿区馬場下町9-7 ハイライフホーム早稲田駅前ビル4階
    TEL: 03-6884-7991
    営業時間: 月〜土 13:00-21:30 
  • 武蔵小杉校舎 : 〒211-0068
    神奈川県川崎市中原区小杉御殿町2丁目67セラヴィ小杉ビル4F
    TEL:044-819-6333
    営業時間: 月〜土 13:00-21:30 
  • Facebook Twitter
    Page Top

Copyright © BETELGEUSE corporation All Rights Reserved.