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早稲田理工2018

2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究 大問5

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問5

方針の立て方

(1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る.
(3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる.頂点の選び方は70通りあるが,回転での対称性を考慮すれば,考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え,一先ず虱潰しで考えてみる.すると実際,考えるべきパターン数は多くならないため,数え上げる.

解答例

(1)
立方体の各面の中心を頂点とする立体となる.
よって,正八面体……(答)

(2)
\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{7}\mathrm{A}_\mathrm{4}\mathrm{A}_\mathrm{6}が立方体の中心で交わるのみ.
よって,点……(答)

(3)
4点の頂点の選び方は,全部で_{8}\mathrm{C}_{4}=70通り.
以下では,1つの面に着目(図では面\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}\mathrm{A}_\mathrm{4})し,その面から何個の頂点が選ばれているかで場合分けする.選ばれた頂点を●で表すことにする.
(ⅰ)4個の場合

上図のような場合,共通部分はない.
4つの●が集合する面の選び方を考えれば,回転して左図のパターンになるものは全部で6通りあることが分かる.
(ⅱ)3点の場合
(ⅱ―ⅰ)

上図のような場合,共通部分はない.
上図の\mathrm{A}_\mathrm{2}のように,隣り合うすべての頂点が選ばれている点の配置を考えれば,回転して上図のパターンになるものは全部で8通りあることが分かる.
(ⅱ―ⅱ)

上図のような場合,共通部分は1点となる.
上図の\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}or\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}のような線分の配置を考えれば,回転して上図のどちらかのパターンになるものは全部で24通りあることが分かる.
(ⅱ―ⅲ)

上図のような場合,共通部分は立体図形となる.
上図の\mathrm{A}_\mathrm{8}のように,隣り合うすべての頂点が選ばれていない点の配置は8通りあり,3点が集合する面がどの配置にあるかで3通りあるため,回転して上図のパターンになるものは全部で24通りあることが分かる.
(ⅲ)2点の場合
(ⅲ―ⅰ)

上図のような場合,共通部分は線分となる.
回転して上図のパターンになるものは全部で6通りある.
(ⅲ―ⅱ)

上図のような場合,共通部分は立体図形となる.
回転して上図のパターンになるものは全部で2通りある.
以上より,
\begin{cases} p=\frac{6+8}{70}=\frac{1}{5} \\ q_0=\frac{24}{70}=\frac{12}{35} \\ q_1=\frac{6}{70}=\frac{3}{35} \\ q_2=\frac{0}{70}=0 \\ q_3=\frac{24+2}{70}=\frac{13}{35} \end{cases}……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。