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早稲田理工2018

2018年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問3

方針の立て方

(1)
典型的な背理法の問題であるため特筆事項なし.

(2)
\sqrt[3]{p}をかけるだけである.apの形を作り出そうと考えると,この解法が思いつく.

(3)
導くべき式に\left(\sqrt[3]{p}\right)^2がないことから,\left(\sqrt[3]{p}\right)^2を削除すればよいと判断する.使える式はa\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0であるから,この2式を連立して消去する.

(4)
前問でわざわざ\sqrt[3]{p}でまとめたこと,(1)で\sqrt[3]{p}を無理数と証明したことから解法を得る.

解答例

(1)
背理法で示す.
\sqrt[3]{p}が有理数だと仮定して,\sqrt[3]{p}=\frac{b}{a}(a,bは互いに素な整数でa>0)とする.
両辺を3乗して,p=\frac{b^3}{a^3}\Leftrightarrow pa^3=b^3
ここで,b^3pの倍数である必要があるが,pが素数であることから,bpの倍数である必要がある.
そこで,b=np(nは整数)とおく.
すると,pa^3=n^3p^3\Leftrightarrow a^3=n^3p^2となる.
よって,a^3pの倍数となるが,上記と同様に考えるとapの倍数となる.
よって,abpの倍数となるが,これは,a,bが互いに素な整数であることに反する.
この矛盾は,\sqrt[3]{p}を有理数だとした当初の仮定に起因する.よって,\sqrt[3]{p}は無理数である.
証明終了.

(2)
a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0の両辺に\sqrt[3]{p}を掛けることで,
a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0\Rightarrow ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0
証明終了.

(3)
前問の結果より,
ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{p}\right)^2=-\frac{ap+c\sqrt[3]{p}}{b}が成り立つ.
これをa\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0に代入すると,
a\left(-\frac{ap+c\sqrt[3]{p}}{b}\right)+b\sqrt[3]{p}+c=0\Leftrightarrow bc-a^2p+\left(b^2-ac\right)\sqrt[3]{p}=0
証明終了.

(4)
前問の結果より,
bc-a^2p+\left(b^2-ac\right)\sqrt[3]{p}=0
が成り立つ.
(1)より,\sqrt[3]{p}は無理数のため,上式が成り立つためには,
\begin{cases} bc-a^2p=0 \\ b^2-ac=0 \end{cases}
が成り立てば必要十分.
仮にa\neq0だとすると,
b^2-ac=0\Leftrightarrow c=\frac{b^2}{a}であり,故にbc-a^2p=b\cdot\frac{b^2}{a}-a^2p=0\Leftrightarrow b^3=a^3p
\therefore b=a\sqrt[3]{p}となるが,\sqrt[3]{p}が無理数でa,bは整数であるから矛盾.よって,a=0
\therefore b^2-ac=0\Leftrightarrow b=0
\therefore a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0\Leftrightarrow c=0
以上より,a=b=c=0
証明終了.

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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