早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問3
方針の立て方
(1)
典型的な背理法の問題であるため特筆事項なし.
(2)
をかけるだけである.の形を作り出そうと考えると,この解法が思いつく.
(3)
導くべき式にがないことから,を削除すればよいと判断する.使える式はとであるから,この2式を連立して消去する.
(4)
前問でわざわざでまとめたこと,(1)でを無理数と証明したことから解法を得る.
解答例
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(1)
背理法で示す.
が有理数だと仮定して,(は互いに素な整数で)とする.
両辺を3乗して,
ここで,はの倍数である必要があるが,が素数であることから,がの倍数である必要がある.
そこで,(は整数)とおく.
すると,となる.
よって,はの倍数となるが,上記と同様に考えるとがの倍数となる.
よって,ももの倍数となるが,これは,が互いに素な整数であることに反する.
この矛盾は,を有理数だとした当初の仮定に起因する.よって,は無理数である.
証明終了.
(2)
の両辺にを掛けることで,
証明終了.
(3)
前問の結果より,
が成り立つ.
これをに代入すると,
証明終了.
(4)
前問の結果より,
が成り立つ.
(1)より,は無理数のため,上式が成り立つためには,
が成り立てば必要十分.
仮にだとすると,
であり,故に
となるが,が無理数では整数であるから矛盾.よって,.
以上より,
証明終了.
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