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2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問3

2019.10.14

方針の立て方 (ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる. (ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない.コンビネーションの公式:は本問では度々使う.入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが,余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない.この公式を覚えてなくとも本問では回答

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  • 方針の立て方

    (ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる.
    (ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない.コンビネーションの公式:{{_m^}\mathrm{C}}_n={{_{m-1}^}\mathrm{C}}_n+{{_{m-1}^}\mathrm{C}}_{n-1}は本問では度々使う.入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが,余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない.この公式を覚えてなくとも本問では回答欄の形式から,どう変形していけば良いかが分かる.

    解答例

    (ⅰ)
    (45)0
    (46)5
    (47)(48)10
    (49)0
    (50)5
    (51)(52)\frac{3}{8}
    (53)(54)10
    (55)(56)15
    (57)(58)\frac{1}{8}

    (ⅱ)
    (59)3
    (60)3
    (61)2
    (62)2
    (63)4
    (64)4
    (65)2
    (66)5
    (67)7
    (68)5
    (69)7
    (70)6
    (71)5
    (72)6
    (73)5
    (74)7
    (75)5
    (76)2
    (77)5

    (ⅲ)
    (ア)k-1
    (イ)\frac{k}{2}
    (ウ)\frac{k}{2}
    (エ)p-q
    (オ)\frac{k}{2}
    (カ)k
    (キ)\frac{k}{2}
    (ク)\frac{k+1}{2}
    (ケ)\frac{k-1}{2}
    (コ)\frac{k+1}{2}
    (サ)\frac{k+1}{2}
    (シ)t=0

    解説

    (ⅰ)
    客3の待ち時間は0,5,10分のいずれか.
    W\left(3,0\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)+\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
    W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}
    W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}
    よって,
    W\left(3,0\right)=\frac{1}{2},W\left(3,5\right)=W\left(3,10\right)=\frac{1}{4}……(答)
    客4の待ち時間は0,5,10,15分のいずれか.
    W\left(4,0\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}
    W\left(4,5\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}
    W\left(4,10\right)=\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}
    W\left(4,15\right)=\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}
    よって,
    W\left(4,0\right)=W\left(4,5\right)=\frac{3}{8},W\left(4,10\right)=W\left(4,15\right)=\frac{1}{8}……(答)

    (ⅱ)
    〇(59)~(62)について
    W\left(k,5\left(k-1\right)\right)に対して帰納法の仮定が使える.k+\left(k-1\right)=2k-1は奇数であるから,④のn+tが奇数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\left(k-1\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k……(答)
    〇(63)~(65)について
    W\left(k,5\left(k-2\right)\right)に対して帰納法の仮定が使える.k+\left(k-2\right)=2k-2は偶数であるから,④のn+tが偶数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\left(k-2\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-2\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k……(答)
    〇(66)と(67)について
    題意を満たす場合,時系列を図示すると,

    上図.
    Aの手続きは5分かかり,Bの手続きは15分かかることから,W\left(k+1,5t\right)は,客k10+5t-5=5\left(t+1\right)分待った後にAを行う確率と,客k10+5t-15=5\left(t-1\right)分待った後にBを行う確率の和になる.……(答)

    〇(68)~(72)について
    W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)は,④でt\rightarrow t+1,t-1としたものと考える.するとn+tが奇数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}……(答)
    これらを⑤に代入すれば,
    W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}……(答)
    (※最後の式変形の際,{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}-1\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}-1\right)!}=\left(\frac{k-t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\left(\frac{k+t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}を用いた)
    〇(73)~(77)について
    W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)は,④でt\rightarrow t+1,t-1としたものと考える.するとn+tが偶数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}……(答)
    これらを⑤に代入すれば,
    W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}……(答)

    (ⅲ)
    〇(ア)~(ウ)について
    W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)は④のn=k,t=1,0のパターンであり,n+tが奇数,偶数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}……(答)
    〇(エ)について
    {_p^}\mathrm{C}_q=\frac{p!}{\left(p-q\right)!q!}=\frac{p!}{\left\{p-\left(p-q\right)\right\}!\left(p-q\right)!}={_p^}\mathrm{C}_{p-q}……(答)
    〇(オ)~(キ)について
    (エ)の結果より{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}={_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}である.
    (ア)~(ウ)の結果を⑥に代入して,
    W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}……(答)
    (※最後の式変形の際,{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}-1\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}-1\right)!}=\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(k-\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}を用いた)
    〇(ク)~(ケ)について
    W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)は④のn=k,t=1,0のパターンであり,n+tが偶数,奇数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}……(答)
    〇(コ)と(サ)について
    (ク)~(ケ)の結果を⑥に代入して,
    W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}……(答)
    〇(シ)について
    W\left(k+1,0\right)n=k+1のときの中でも,(ⅱ)で考えられていなかったt=0のときである.……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問4

2019.10.09

方針の立て方 どれも基本問題であり,特筆事項なし. 解答例 真数条件より,が必要. (1) 2次方程式の実数解が存在しないためには,判別式が負であれば必要十分. これは真数条件を満たす. ……(答) (2) 2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには,判別式が0であれば必要十分. このもとで,2次

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  • 方針の立て方

    どれも基本問題であり,特筆事項なし.

    解答例

    真数条件より,0<tが必要.
    (1)
    2次方程式の実数解が存在しないためには,判別式が負であれば必要十分.
    \therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}<0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}<0\Leftrightarrow \begin{cases} {\mathrm{log}}_2{t}\neq0 \\ \left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4<0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t\neq1 \\ \frac{1}{4}<t<4 \end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{4}<t<1,1<t<4
    これは真数条件を満たす.
    \therefore\frac{1}{4}<t<1,1<t<4……(答)

    (2)
    2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには,判別式が0であれば必要十分.
    \therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}=0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}=0\Leftrightarrow{\mathrm{log}}_2{t}=0,\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4},1,4
    このもとで,2次方程式の解は,
    x=f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1
    これより,f\left(t\right)の最小値はt=1で,最大値はt=\frac{1}{4},4でとる.
    よって,f\left(t\right)の最小値はf\left(1\right)=1,最大値はf\left(\frac{1}{4}\right)=f\left(4\right)=5……(答)

    (3)
    1\leqq\log_4{t}\leqq\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\leqq\log_2{t}\leqq3\Leftrightarrow4\leqq t\leqq8
    よって,2次方程式は2つの相異なる実数解をもち,その解は,
    x=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\sqrt{\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}}=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}
    \therefore f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1-\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}
    ここで{\mathrm{log}}_2{t}=yと置き換えると,
    f\left(t\right)=y^2+1-y\sqrt{y^2-4} (2\leqq y\leqq3)
    \frac{d}{dy}f\left(t\right)=2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}
    \frac{d}{dy}f\left(t\right)=0となるのは,
    2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}=0\Leftrightarrow y\sqrt{y^2-4}=y^2-2
    両辺を2乗して計算すると0=4となり不適.つまり\frac{d}{dy}f\left(t\right)\neq0

    y 2 \cdots 3
    \frac{d}{dy}f\left(t\right) - - -
    f\left(t\right) \searrow \searrow \searrow

    よって,最小値はy=3のときで,3^2+1-3\sqrt{3^2-4}=10-3\sqrt5……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問2

2019.10.09

方針の立て方 (1)はどれも基本問題であるため特筆事項なし. (2)について.は分子を和の形に直すと,約分ができ回答欄の形式に沿うと分かる.よって,を和の形に変形するが,これはの定義を用いれば容易い. (3)について.前問で求めたの分母を上手く約分できないかを考えれば,本解のような式変形ができる.

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    (1)はどれも基本問題であるため特筆事項なし.

    (2)について.\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}は分子を和の形に直すと,約分ができ回答欄の形式に沿うと分かる.よって,b_kを和の形に変形するが,これはb_kの定義を用いれば容易い.

    (3)について.前問で求めたS_nの分母を上手く約分できないかを考えれば,本解のような式変形ができる.

    解答例

    (13)3
    (14)2
    (15)2
    (16)1
    (17)1
    (18)(19)-1
    (20)1
    (21)2
    (22)2
    (23)(24)01
    (25)(26)-1
    (27)0
    (28)2
    (29)2
    (30)2
    (31)2
    (32)(33)02

    解説

    (1)
    a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10}\Leftrightarrow a_{n+1}-\frac{10}{99}=\frac{1}{100}\left(a_n-\frac{10}{99}\right)
    と変形できる.
    \therefore a_n-\frac{10}{99}=\left(a_1-\frac{10}{99}\right)\cdot\left(\frac{1}{100}\right)^{n-1}=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n\Leftrightarrow a_n=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n+\frac{10}{99}
    よって,階差数列\left\{b_n\right\}は,
    b_n=a_{n+1}-a_n=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^{n+1}+\frac{10}{99}-\left\{-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n+\frac{10}{99}\right\}=\frac{1}{{10}^3}\left(\frac{1}{{10}^2}\right)^{n-1}=\frac{1}{{10}^{2n+1}}
    となる.よって,p=3,q=2,r=2,s=1……(答)
    更に,
    a_n=a_1+\left(a_2-a_1\right)+\left(a_3-a_2\right)+\cdots\cdots+\left(a_n-a_{n-1}\right)=a_1+\left(b_1+b_2+\cdots\cdots+b_{n-1}\right)=a_1+\sum_{k=1}^{n+\left(-1\right)}b_k……(答)
    また,
    a_1+\sum_{k=1}^{n+\left(-1\right)}b_k=\frac{1}{10}+\frac{\frac{1}{{10}^3}\left\{1-\left(\frac{1}{{10}^2}\right)^{n-1}\right\}}{1-\frac{1}{{10}^2}}=\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{{10}^{2n}}\right)}{1-\frac{1}{{10}^2}}
    であるから,t=1,u=2,v=2……(答)

    (2)
    b_n=a_{n+1}-a_nより,
    \frac{b_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{a_k}+\frac{-1}{a_{k+1}}……(答)
    これに,b_k=\frac{1}{{10}^{2k+1}}を代入すれば,
    \frac{\frac{1}{{10}^{2k+1}}}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{a_ka_{k+1}}={10}^{2k+1}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)
    これを利用すれば,
    S_n=\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{{10}^{2k}}\cdot{10}^{2k+1}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)\right\}=10\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=10\left\{\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}\right)+\left(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_2}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\right\}=10\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)=10\left[10-\frac{1-\frac{1}{{10}^2}}{\frac{1}{10}\left\{1-\frac{1}{{10}^{2\left(n+1\right)}}\right\}}\right]=\frac{1-\frac{1}{{10}^{2n}}}{1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}}
    となるから,w=0,x=2,y=2,z=2……(答)

    (3)
    \left({100}^{n+1}-1\right)S_n={10}^{2n+2}\left(1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}\right)\cdot\frac{1-\frac{1}{{10}^{2n}}}{1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}}={10}^{2n+2}-{10}^2
    よって,2n+2桁……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問3

2019.10.09

方針の立て方 (1)(3)(4)は基本問題であり,特筆事項なし.(4)は本解ではと丁寧に記述したが,であることと,解答形式は穴埋め形式である(途中の計算を記述しない)ため,本番では直ちに11と答えても良いだろう. (2)は少々考えにくい問題であるが,相関係数とは,1つのデータで決まるものではなく,他

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    (1)(3)(4)は基本問題であり,特筆事項なし.(4)は本解では\sqrt{120.8}=10.9\cdots\cdots\fallingdotseq11と丁寧に記述したが,{11}^2=121であることと,解答形式は穴埋め形式である(途中の計算を記述しない)ため,本番では直ちに11と答えても良いだろう.
    (2)は少々考えにくい問題であるが,相関係数とは,1つのデータで決まるものではなく,他のデータとの関係で決まるものであるから,複数のデータを比較することが必要だと考える.
    相関係数0.95以上というのは大変強い正の相関であり,殆ど比例の関係だと見做せる.

    解答例

    (34)(35)52
    (36)(37)74
    (38)0
    (39)1
    (40)3
    (41)5
    (42)6
    (43)(44)(45)68.2
    (46)(47)(48)68.4
    (49)9
    (50)(51)11

    解説

    (1)
    表より,最小値は52,最大値は74……(答)

    (2)
    番号2の個体と比較して,「体長が大きく,体重も大きい」か「体長が小さく,体重も小さい」のどちらかに該当する番号の個体は種類Bに分類される可能性があり,該当する番号は(2を除いて)4,5,6,7,8,9である.
    逆にこれに該当しない番号0,1,3の個体は種類Aに分類される.
    番号0の個体と比較して,「体長が大きく,体重も大きい」か「体長が小さく,体重も小さい」のどちらかに該当する番号の個体は種類Aに分類される可能性があり,該当する番号は(0,1,3を除いて)5,6である.よって,種類Aの5匹の番号は小さい方から0,1,3,5,6……(答)
    また,種類Aの5匹の体長の平均値は,\frac{60+66+69+72+74}{5}=68.2……(答)

    (3)
    10匹のうち体長の大きい方から5匹の個体の番号は1,3,5,6,9であり,この5匹の体長の平均値は,\frac{66+69+72+74+61}{5}=68.4……(答)
    種類Bの5匹の番号は2,4,7,8,9であるから,体長の大きい5匹のうち種類Bの個体の番号は9……(答)

    (4)
    \sqrt{\left(60-68.2\right)^2+\left(66-68.2\right)^2+\left(69-68.2\right)^2+\left(72-68.2\right)^2+\left(74-68.2\right)^2}=\sqrt{120.8}=10.9\cdots\cdots\fallingdotseq11……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問1

2019.10.09

方針の立て方 (1) の二変数を考えるのは困難であるため,三角関数を導入することで一変数化する. (2) 基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし. (3) 前問と同様に基本対称式の問題.基本対称式の問題であるためとしないでとすると良い. 解答例 (1)(2) (3)(4) (5) (6) (7)

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  • 方針の立て方

    (1)
    x,yの二変数を考えるのは困難であるため,三角関数を導入することで一変数化する.

    (2)
    基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし.

    (3)
    前問と同様に基本対称式の問題.基本対称式の問題であるため\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3としないで\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)とすると良い.

    解答例

    (1)(2)-2
    (3)(4)06
    (5)6
    (6)1
    (7)(8)(9)\frac{-7}{2}
    (10)2
    (11)(12)10

    解説

    Cの式は\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8\Leftrightarrow x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6である.
    (1)
    C上の点は\begin{cases} x-1=2\sqrt2\cos{\theta} \\ y-1=2\sqrt2\sin{\theta} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1,2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)とおくことができる(\thetaは任意の実数).
    \therefore t=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1\right)+\left(2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)=4\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}+2
    (※途中で三角関数の合成公式を用いた)
    \thetaは任意の実数を取りうるため,-1\leqq\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\leqq1. \therefore-2\leqq t\leqq6……(答)
    また,t=0のとき,x+y=0が成り立つから,円Cの式に代入すれば,
    x^2+y^2=6……(答)

    (2)
    t^2=\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy
    Cの式より,x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6\Leftrightarrow x^2+y^2=2t+6であるから,上式に代入すると,
    t^2=2t+6+2xy\Leftrightarrow xy=\frac{1}{2}t^2-t-3=\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}となる.-2\leqq t\leqq6のもとでの\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}の最小値は,t=1のときの-\frac{7}{2}
    よって,xyの値はt=1のとき最小値-\frac{7}{2}をとる.……(答)

    (3)
    t^3=\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=x^3+y^3+3\left(\frac{1}{2}t^2-t-3\right)t\Leftrightarrow x^3+y^3=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9t
    f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9tとおくと,f^\prime\left(t\right)=-\frac{3}{2}t^2+6t+9=-\frac{3}{2}\left\{t-\left(2-\sqrt{10}\right)\right\}\left\{t-\left(2+\sqrt{10}\right)\right\}
    -2\leqq t\leqq6に注意して増減表を描くと,

    t -2 \cdots 2-\sqrt{10} \cdots 2+\sqrt{10} \cdots 6
    f^\prime\left(t\right) - - 0 + 0 - -
    f\left(t\right) -2 \searrow \qquad \nearrow 26+10\sqrt{10} \searrow \searrow

    よって,t=2+\sqrt{10}のとき\left(f\left(t\right)=\right)x^3+y^3は最大となる.……(答)

2017年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問1

2019.10.07

方針の立て方 (1) 典型問題であるため特筆事項なし. (2) 前問と同様の解法を用いると考える. 前問では,中心座標が与えられていたためここから考えられたが,本問では中心座標が与えられていない.そこで,まずは中心を文字で置くことから始める.すると前問の解法の流れが使える. (3) まずは,半径の情

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  • 方針の立て方

    (1)
    典型問題であるため特筆事項なし.

    (2)
    前問と同様の解法を用いると考える.
    前問では,中心座標が与えられていたためここから考えられたが,本問では中心座標が与えられていない.そこで,まずは中心を文字で置くことから始める.すると前問の解法の流れが使える.

    (3)
    まずは,半径の情報が与えられている円C_1の議論をする.(1)や(2)と同様に中心座標を文字で置いて議論すれば良い.
    解答に至るには円C_2の中心に関する議論が必要になるから,円C_1と円C_2の情報をつなげる(というより円C_1の情報を円C_2の情報に変換する)ことを考える.本問では線分\mathrm{P}_\mathrm{1}\mathrm{P}_\mathrm{2}の長さの情報が与えられているため,これを使ってやれば良い.直線l_aの傾きが三角比でよく見る\sqrt3という値であることから,図形的に考えれば良いと直観する.

    解答例

    (1)1
    (2)3
    (3)(4)16
    (5)5
    (6)9
    (7)(8)-4
    (9)3

    解説

    (1)
    中心が\left(1,3+\sqrt{10}\right)であり,y軸と接することから,円Cの半径は1である.……(答)
    また,円Cは直線l_aと接することから,中心\left(1,3+\sqrt{10}\right)と直線l_aとの距離は半径の長さ1と等しくなる.
    \therefore\frac{\left|a\cdot1-\left(3+\sqrt{10}\right)\right|}{\sqrt{a^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left(a-3-\sqrt{10}\right)^2=a^2+1\Leftrightarrow a=3……(答)

    (2)
    円の中心の座標を\left(\alpha,\beta\right)(\alpha,\betaは実数)とおく.すると,円Cの方程式は,
    \left(x-\alpha\right)^2+\left(y-\beta\right)^2=4
    まず,y軸と接することから,\alpha=\pm2
    また,円Cは直線l_a\colon y=2xと接することから,中心\left(\alpha,\beta\right)と直線l_aとの距離は半径の長さ2と等しくなる.
    \therefore\frac{\left|2\cdot\alpha-\beta\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=2\Leftrightarrow\left|2\alpha-\beta\right|=2\sqrt5\Leftrightarrow2\alpha-\beta=\pm2\sqrt5\Leftrightarrow\beta=2\alpha\pm2\sqrt5
    よって,円の中心は\left(-2,-4-2\sqrt5\right),\left(-2,-4+2\sqrt5\right),\left(2,4-2\sqrt5\right),\left(2,4+2\sqrt5\right)の4点.この4点からなる平行四辺形の面積が求める面積であり,
    4\cdot4\sqrt5=16\sqrt5……(答)

    (3)
    C_1の中心座標を\left(1,\alpha\right)(\alphaは正の実数.また,x座標が1となることは,半径が1であることとy軸に接することから明らか)とおく.
    すると,円C_1の方程式は,
    \left(x-1\right)^2+\left(y-\alpha\right)^2=1
    と書ける.これが直線l_a\colon y=\sqrt3xと接することから,中心\left(1,\alpha\right)と直線l_aとの距離は半径の長さ1と等しくなる.
    \therefore\frac{\left|\sqrt3\cdot1-\alpha\right|}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left|\sqrt3-\alpha\right|=2\Leftrightarrow\sqrt3-\alpha=\pm2\Leftrightarrow\alpha=\sqrt3\pm2
    \alphaは正の実数であることより,\alpha=\sqrt3+2が適当.
    よって,円C_1の方程式は\left(x-1\right)^2+\left(y-\sqrt3-2\right)^2=1であり,直線l_a\colon y=\sqrt3xとの接点\mathrm{P}_1の座標を求めると\left(\frac{2+\sqrt3}{2},\frac{3+2\sqrt3}{2}\right)と分かる.
    下図のように考えると,\mathrm{P}_2の座標は\left(\frac{2+\sqrt3}{2}+2,\frac{3+2\sqrt3}{2}+2\sqrt3\right)=\left(\frac{6+\sqrt3}{2},\frac{3+6\sqrt3}{2}\right)と分かる.

    C_2の中心の座標を\left(\beta,\gamma\right)(\beta,\gammaはともに正の実数)とすると,y軸と接することから円C_2の半径は\betaとなる.
    また,中心\left(\beta,\gamma\right)は,点\mathrm{P}_2\left(\frac{6+\sqrt3}{2},\frac{3+6\sqrt3}{2}\right)を通る直線l_a\colon y=\sqrt3xの法線上にある.その法線の方程式は,y=-\frac{1}{\sqrt3}x+2+4\sqrt3であるから,\gamma=-\frac{1}{\sqrt3}\beta+2+4\sqrt3となる.
    更に,中心\left(\beta,\gamma\right)と直線l_a\colon y=\sqrt3xとの距離は半径\betaと等しくなるから,
    \frac{\left|\sqrt3\beta-\gamma\right|}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\beta\Leftrightarrow\sqrt3\beta-\gamma=\pm2\beta
    \gamma=-\frac{1}{\sqrt3}\beta+2+4\sqrt3と連立し,更に\betaが正の実数であることを用いれば,
    \beta=9-4\sqrt3……(答)

2018年慶応大学経済学部|過去問徹底研究 大問6

2019.10.07

方針の立て方 (1) およびで割り切れるということはで割り切れるということである.これに気付けなくとも,と表せることから,はを因数に持ち,はを因数に持つということが分かれば,結局同じ議論ができる.後は,本解答のようにを導入し解析していく.の導入は「がで割り切れる」という情報と「がで割り切れる」という

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  • 方針の立て方

    (1)
    xおよびx-1で割り切れるということはx\left(x-1\right)で割り切れるということである.これに気付けなくとも,F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)と表せることから,P\left(x\right)x-1を因数に持ち,Q\left(x\right)xを因数に持つということが分かれば,結局同じ議論ができる.後は,本解答のようにR\left(x\right)を導入し解析していく.R\left(x\right)の導入は「F\left(x\right)xで割り切れる」という情報と「F\left(x\right)x-1で割り切れる」という情報の両方ともを加味しているため,F\left(x\right)=xP\left(x\right)F\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)で考えるよりも都合が良い.
    求めるのは最小の次数のものであるため,R\left(x\right)を0次,1次,2次,……と考えていけば良い.

    (2)(3)は,(1)でf\left(x\right)が特定できてしまえば,典型問題の三次関数の接線の問題となる.特に捻りもなく,典型的な解法を取れば良い.

    解答例

    F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)と表せる.
    (1)
    F\left(x\right)はx\left(x-1\right)で割り切ることができる.その商をR\left(x\right)とおく.
    すると,
    F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)=x\left(x-1\right)R\left(x\right)
    と表せる.
    これより,
    \begin{cases} P\left(x\right)=\left(x-1\right)R\left(x\right) \\ Q\left(x\right)=xR\left(x\right) \end{cases}……(*)
    となる.
    P\left(0\right)=-4より,(*)の上式にx=0を代入すると,
    -4=-R\left(0\right)\Leftrightarrow R\left(0\right)=4
    Q\left(1\right)=2より,(*)の下式にx=1を代入すると,
    2=1\cdot R\left(1\right)\Leftrightarrow R\left(1\right)=2
    よって,
    \begin{cases} R\left(0\right)=4 \\ R\left(1\right)=2 \end{cases}
    これを満たすR\left(x\right)で次数が最小のものは,R\left(x\right)=-2x+4である.
    \therefore f\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(-2x+4\right)=-2x\left(x-1\right)\left(x-2\right)……(答)

    (2)
    f\left(x\right)=-2x^3+6x^2-4xであるから,f^\prime\left(x\right)=-6x^2+12x-4である.
    よって,点\left(r,f\left(r\right)\right)=\left(r,-2r^3+6r^2-4r\right)における接線は,
    y=\left(-6r^2+12r-4\right)x+4r^3-6r^2
    よって,求める傾きは-6r^2+12r-4,y切片は4r^3-6r^2……(答)

    (3)
    接線y=\left(-6r^2+12r-4\right)x+4r^3-6r^2が点\left(s,t\right)を通るので,
    t=\left(-6r^2+12r-4\right)s+4r^3-6r^2……(※)
    が成り立つ.
    y=f\left(x\right)=-2x^3+6x^2-4xは三次関数であり,複接線は引けないから,接線の本数と接点の個数は等しくなる.よって,(※)をrの三次方程式
    4r^3+\left(-6s-6\right)r^2+12sr-4s-t=0
    の解がちょうど2個存在すれば必要十分である.
    g\left(r\right)=4r^3+\left(-6s-6\right)r^2+12sr-4s-t
    とおくと,
    g^\prime\left(r\right)=12r^2+\left(-12s-12\right)r+12s=12\left(r-s\right)\left(r-1\right)
    である.
    (ⅰ)s=1のとき
    g^\prime\left(r\right)=12\left(r-1\right)^2となり,g^\prime\left(r\right)\geqq0(等号成立はr=1のときのみ)であるからg\left(r\right)は単調増加となる.このとき,g\left(r\right)=0となるrはただ1つしか存在しないため不適.
    (ⅱ)s\neq1のとき
    g^\prime\left(r\right)=0となるrは2つ(r=s,1)あり,かつr=s,1それぞれの前後でg^\prime\left(r\right)の符号が変化するから,g\left(r\right)は極大値を極小値を1つずつ持つ(r=s,1のどちらが極大値,極小値になるかはsと1の大小関係に依存する).この極大値もしくは極小値が0となるとき,g\left(r\right)=0となる解はちょうど2つ存在し,題意を満たす.
    g\left(s\right)=4s^3+\left(-6s-6\right)s^2+12s\cdot s-4s-t=-2s^3+6s^2-4s-t
    g\left(1\right)=4\cdot1^3+\left(-6s-6\right)\cdot1^2+12s\cdot1-4s-t=2s-t-2
    より,極大値もしくは極小値が0となるのは,
    -2s^3+6s^2-4s-t=0または,2s-t-2=0
    のとき.
    以上,(ⅰ)と(ⅱ)より,求める条件は,
    -2s^3+6s^2-4s-t=0または,2s-t-2=0(ただし,s\neq1)……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問5

2019.10.07

方針の立て方 (1) 上の点,上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる.そこで,題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える.すると,点からに垂線を引いたときを考えれば良いと分かる. (2) まずは,図を描いてみて情報を整理する. 円や球の接点に関する議論は,基本的には半径と

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  • 方針の立て方

    (1)
    S上の点,l上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる.そこで,題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える.すると,点\mathrm{O}からlに垂線を引いたときを考えれば良いと分かる.

    (2)
    まずは,図を描いてみて情報を整理する.
    円や球の接点に関する議論は,基本的には半径と接線が直交することを応用して,内積が0となることを利用する.本問もそれを使おうと考える.すると,点\mathrm{Q}についてはそれで上手くいくが,点\mathrm{P}\vec{\mathrm{OP}}と直交するベクトルの情報を出すことが難しい.そこで,別の図形的性質がないかを考える.すると,\mathrm{OP}\mathrm{AB}が平行であることが見つかるから,内積0の代わりにこれを使えばよいと分かる.
    後は\mathrm{P}\mathrm{Q}の座標を文字を使って表し,解析していく.

    (3)
    直円錐Cの体積を出すには,底面の半径と高さの情報が必要になると考える.底面の半径も高さも直接出すのは難しい(球面SC内の半端な位置にいるために難しい)から,分割して考える.前問で点\mathrm{P}\mathrm{Q}の座標を求めさせたことから,点\mathrm{P}\mathrm{Q}の箇所で分割(\mathrm{RP}\mathrm{PU}に分割)して考える.すると三角形\mathrm{ORP}で考えるという方針が立つ.\mathrm{PU}については,(1)の議論や前問で得た「\mathrm{OP}\mathrm{AB}が平行である」という知見を考えれば,\mathrm{OT}に変換して考えることが思いつく.すると,高さについては点\mathrm{T}で分割(\mathrm{AT}\mathrm{TU}に分割)して考えるという方針が立つ.

    解答例

    球面Sの方程式はx^2+y^2+z^2=1である.
    (1)
    題意を満たすS上の点は,原点から直線lに下ろした垂線(つまり,中心と直線の最短距離)と球面Sとの交点である(下図).

    lの方程式は,実数tを用いて\left(x,y,z\right)=\left(6,0,0\right)+t\left(3-6,-6-0,-6-0\right)=\left(6-3t,-6t,-6t\right)と書ける.
    よって,原点とl上の点との距離は,
    \sqrt{\left(6-3t\right)^2+\left(-6t\right)^2+\left(-6t\right)^2}=3\sqrt{9\left(t-\frac{2}{9}\right)^2+\frac{32}{9}}
    と書ける.9\left(t-\frac{2}{9}\right)^2+\frac{32}{9}t=\frac{2}{9}のとき最小値\frac{32}{9}を取るから,原点とl上の点を結ぶ線分の長さの最小値は,3\sqrt{\frac{32}{9}}=4\sqrt2である.
    よって,S上の点とl上の点を結ぶ線分の長さの最小値は,Sの半径が1であることから,4\sqrt2-1……(答)

    (2)

    〇点\mathrm{P}の座標
    線分\mathrm{PO}lは平行であるため,実数tを用いて\vec{\mathrm{OP}}=t\vec{\mathrm{AB}}=\left(-3t,-6t,-6t\right)とおける.
    また,点\mathrm{P}S上の点であるから,
    \left(-3t\right)^2+\left(-6t\right)^2+\left(-6t\right)^2=1\Leftrightarrow t=\pm\frac{1}{9}
    \vec{\mathrm{OP}}の方向と\vec{\mathrm{AB}}の方向は等しいため,t=\frac{1}{9}が適当.
    \therefore\mathrm{P}\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)……(答)
    〇点\mathrm{Q}の座標
    \vec{\mathrm{OQ}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{\mathrm{OB}}=\left(6\alpha+3\beta,-6\beta,-6\beta\right)(\alpha,\betaは実数)と表せる.
    \mathrm{Q}S上の点であるため,
    \left(6\alpha+3\beta\right)^2+\left(-6\beta\right)^2+\left(-6\beta\right)^2=1\Leftrightarrow36\alpha^2+81\beta^2+36\alpha\beta=1……①
    また,\mathrm{OQ}\bot\mathrm{AQ}より,\vec{\mathrm{OQ}}\cdot\vec{\mathrm{AQ}}=0である.\vec{\mathrm{AQ}}=\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OA}}=\left(6\alpha+3\beta-6,-6\beta,-6\beta\right)であるから,
    \left(6\alpha+3\beta,-6\beta,-6\beta\right)\cdot\left(6\alpha+3\beta-6,-6\beta,-6\beta\right)=0\Leftrightarrow36\alpha^2+81\beta^2+36\alpha\beta-36\alpha-18\beta=0……②
    ①②を連立すれば,
    \left(\alpha,\beta\right)=\left(\frac{4\pm\sqrt{70}}{144},\frac{\mp\sqrt{70}}{72}\right)(複号同順)
    となる.
    \vec{\mathrm{OQ}}\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OB}}の方向を考えれば,0<\alpha,\beta<0であるから,
    \left(\alpha,\beta\right)=\left(\frac{4+\sqrt{70}}{144},-\frac{\sqrt{70}}{72}\right)
    が適当.
    \thereforeQ\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)……(答)

    (3)

    上図のように点\mathrm{R}\mathrm{T}\mathrm{U}を取る.
    \mathrm{OP}\mathrm{OQ}Sの半径に当たるから,\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|=\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=1である.
    \therefore\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|\cos{\angle\mathrm{POQ}}=\cos{\angle\mathrm{POQ}}
    また,前問の結果より\vec{\mathrm{OP}}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right),\vec{\mathrm{OQ}}=\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)であるから,
    \vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)=-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}
    これらより,
    \cos{\angle\mathrm{POQ}}=-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}
    \angle\mathrm{POR}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{POQ}より,
    \cos{\angle\mathrm{POR}}=\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{POQ}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{POQ}}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}}{2}}=\frac{\sqrt{17-2\sqrt{70}}}{6}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt7}{6}
    \therefore\tan{\angle\mathrm{POR}}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2{\angle\mathrm{POR}}}-1}=\sqrt{\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{10}-\sqrt7}{6}\right)^2}-1}=\sqrt{35}+4\sqrt2
    よって,
    \mathrm{RP}=\mathrm{OP}\tan{\angle\mathrm{POR}}=\sqrt{35}+4\sqrt2
    ところで,線分\mathrm{OT}(図中の点線)の長さは(1)の途中で求めた原点とl上の点との距離と等しく4\sqrt2である.また,\mathrm{PU}=\mathrm{OT}=4\sqrt2である.
    よって,Cの底面の半径(\mathrm{RU})は,
    \mathrm{RU}=\mathrm{RP}+\mathrm{PU}=\sqrt{35}+4\sqrt2+4\sqrt2=\sqrt{35}+8\sqrt2
    となる.更に線分\mathrm{OA}の長さは6であるから,三平方の定理より,
    \mathrm{AT}=\sqrt{{\mathrm{OA}}^2-{\mathrm{OT}}^2}=\sqrt{6^2-\left(4\sqrt2\right)^2}=2
    である.また,\mathrm{TU}=\mathrm{OP}=1であるから,Cの高さ(\mathrm{AU})は,
    \mathrm{AU}=\mathrm{AT}+\mathrm{TU}=2+1=3
    よって,求める体積は,
    \frac{1}{3}\cdot\pi\left(\sqrt{35}+8\sqrt2\right)^2\cdot3=\left(163+16\sqrt{70}\right)\pi……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問4

2019.10.07

方針の立て方 (1) 対数の底が揃っていないため,底を揃える.後は普通の対数方程式の計算である. (2) 計算するだけ. (3) とを実際に書き下す.2の累乗まで分解できるため,この2の累乗を消去すればよいと考える.との表式から,二式を足し引きすると,単純な2の累乗にできると判断する. 解答例 (1

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  • 方針の立て方

    (1)
    対数の底が揃っていないため,底を揃える.後は普通の対数方程式の計算である.

    (2)
    計算するだけ.

    (3)
    f\left(\alpha+\beta\right)g\left(\alpha+\beta\right)を実際に書き下す.2の累乗まで分解できるため,この2の累乗を消去すればよいと考える.f\left(x\right)g\left(x\right)の表式から,二式を足し引きすると,単純な2の累乗にできると判断する.

    解答例

    (1)
    真数条件より,\begin{cases} f\left(x\right)-2>0 \\ f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}>0 \\ f\left(x\right)+g\left(x\right)-2>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} f\left(x\right)>2 \\ f\left(x-1\right)>\frac{3}{2} \\ f\left(x\right)+g\left(x\right)>2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 2^x+2^{-x}>2 \\ 2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}>\frac{3}{2} \\ 2\cdot2^x>2 \end{cases}
    ここで,相加相乗平均の関係式より,
    2^x+2^{-x}\geqq2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=2,2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}\geqq2\sqrt{2^{x-1}\cdot2^{-\left(x-1\right)}}=2
    (等号成立は,それぞれ2^x=2^{-x}\Leftrightarrow x=0,2^{x-1}=2^{-\left(x-1\right)}\Leftrightarrow x=1)であるから,真数条件は,
    \begin{cases} x\neq0 \\ 2\cdot2^x>2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x\neq0 \\ x>0 \end{cases}\Leftrightarrow x>0
    となる.
    {\mathrm{log}}_\frac{1}{2}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}=\frac{{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}}{{\mathrm{log}}_2{\frac{1}{2}}}=-{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}
    2\log_4{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=2\cdot\frac{\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}}{\log_2{4}}=\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}
    であるから,
    {\mathrm{log}}_\frac{1}{2}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}}+2\log_4{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=1\Leftrightarrow-{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=1\Leftrightarrow\log_2{\frac{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}}=1\Leftrightarrow\frac{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}=2\Leftrightarrow\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}=2\left\{f\left(x\right)-2\right\}\Leftrightarrow\left\{2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}-\frac{3}{2}\right\}\left(2\cdot2^x-2\right)=2\left(2^x+2^{-x}-2\right)\Leftrightarrow\left(2^x\right)^3-6\left(2^x\right)^2+11\cdot2^x-6=0\Leftrightarrow\left(2^x-1\right)\left(2^x-2\right)\left(2^x-3\right)=0\Leftrightarrow2^x=1,2,3\Leftrightarrow x=0,1,{\mathrm{log}}_2{3}
    真数条件よりx=0は不可.
    よって,x=1,{\mathrm{log}}_2{3}……(答)

    (2)
    f\left(1\right)f\left(-1\right)+g\left(1\right)g\left(-1\right)=\left(2^1+2^{-1}\right)\left(2^{-1}+2^1\right)+\left(2^1-2^{-1}\right)\left(2^{-1}-2^1\right)=4……(答)

    (3)
    f\left(\alpha+\beta\right)=2^{\alpha+\beta}+2^{-\left(\alpha+\beta\right)}=2^\alpha\cdot2^\beta+2^{-\alpha}\cdot2^{-\beta} g\left(\alpha+\beta\right)=2^{\alpha+\beta}-2^{-\left(\alpha+\beta\right)}=2^\alpha\cdot2^\beta-2^{-\alpha}\cdot2^{-\beta}
    ここで,
    f\left(\alpha\right)=2^\alpha+2^{-\alpha},f\left(\beta\right)=2^\beta+2^{-\beta}
    g\left(\alpha\right)=2^\alpha-2^{-\alpha},g\left(\beta\right)=2^\beta-2^{-\beta}
    より,
    2^{\pm\alpha}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)\pm g\left(\alpha\right)\right\}
    2^{\pm\beta}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)\pm g\left(\beta\right)\right\}
    であるから,
    f\left(\alpha+\beta\right)=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)+g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)+g\left(\beta\right)\right\}+\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)-g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)-g\left(\beta\right)\right\}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)+g\left(\alpha\right)g\left(\beta\right)\right\}……(答)
    g\left(\alpha+\beta\right)=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)+g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)+g\left(\beta\right)\right\}-\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)-g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)-g\left(\beta\right)\right\}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)g\left(\beta\right)+g\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)\right\}……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問3

2019.10.07

方針の立て方 (1) 数列の総和からを求めるには,普通を用いるが,を計算するとが入ってしまうため,上手くいかないことに気付く.逆に,この失敗を活かすと,を計算するとが出てくると判断できる.そこで,に関する考察を行う. また,これを一般化すれば,を使えばを出せると分かる.の漸化式はここから求めれば良い

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  • 方針の立て方

    (1)
    数列の総和S_nからa_1を求めるには,普通a_1=S_1を用いるが,S_1を計算するとa_2が入ってしまうため,上手くいかないことに気付く.逆に,この失敗を活かすと,S_0を計算するとa_1が出てくると判断できる.そこで,S_0に関する考察を行う.
    また,これを一般化すれば,S_nを使えばa_{n+1}を出せると分かる.\left\{a_n\right\}の漸化式はここから求めれば良い.ただし,S_nは用いることができないから,S_n-S_{n-1}=a_nとなることを用いてS_nを消去する.
    後は普通の計算問題である.

    (2)
    前半((40))については,解答欄の形式からa_{k-1}を用いてはならないことからa_{k-1}を消去することをまず考える.更に解答欄の形式からa_kのみを使うことからa_{k-1}\rightarrow a_kの変換をすれば良いと判断する.この変換には漸化式を使えば良い.
    後半((41)~(43))は,前半で導いた関係式をT_nを用いた式に変換する必要があるから,\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}\sum_{k=1}^{n+1}{ka_{k-1}},或いはこれに近い形を作り出す必要があると考える.そうすると,前半で導いた関係式の両辺の総和を取れば良いと判断できる.

    (3)
    ③の式をT_nについて解けば,解答欄の左辺を得られる.解答欄の形式からS_n,a_nは使えないから,これらを消すために②と一般項:a_n=nr^{n-1}を用いる.

    解答例

    (31)1
    (32)1
    (33)1
    (34)1
    (35)1
    (36)1
    (37)1
    (38)1
    (39)0
    (40)2
    (41)2
    (42)1
    (43)0
    (44)2
    (45)1
    (46)2
    (47)2
    (48)2
    (49)1
    (50)1
    (51)3

    解説

    (1)
    S_0=0=\frac{1-r^{0+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_{0+1}}{1-r}=\frac{1-a_1}{1-r}\Leftrightarrow a_1=1……(答)
    また,n\geqq1に対して,
    a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1-r^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_{n+1}}{1-r}-\left(\frac{1-r^n}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_n}{1-r}\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=ra_n+r^n……(答)
    a_{n+1}=ra_n+r^nの両辺をr^nで割れば,
    \frac{a_{n+1}}{r^n}=\frac{a_n}{r^{n-1}}+1\Leftrightarrow b_{n+1}=b_n+1
    であるから,数列\left\{b_n\right\}は初項b_1=\frac{a_1}{r^{1-1}}=1,公差1の等差数列になる.……(答)
    よって,
    b_n=1+\left(n-1\right)\cdot1=n\Leftrightarrow\frac{a_n}{r^{n-1}}=n\Leftrightarrow a_n=nr^{n-1}……(答)
    これを①に代入すれば,
    S_n=\frac{1-r^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{\left(n+1\right)r^n}{1-r}=\frac{1-\left(n+1\right)r^n+nr^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}……(答)

    (2)
    前問で求めた漸化式:a_{n+1}=ra_n+r^nより,a_{k-1}=\frac{a_k-r^{k-1}}{r}であるから,
    \left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}=\left(k+1\right)a_k-rk\cdot\frac{a_k-r^{k-1}}{r}=a_k+kr^{k-1}
    更に前問で求めた一般項:a_n=nr^{n-1}より,kr^{k-1}=a_kであるから,
    \left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}=a_k+a_k=2a_k……(答)
    最左辺と最右辺の1からnまでの総和を取ると,
    \sum_{k=1}^{n}\left(\left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n}{2a_k}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}-r\sum_{k=1}^{n}{ka_{k-1}}=2\sum_{k=1}^{n}a_k
    ここで,
    \sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}=T_n
    \sum_{k=1}^{n}{ka_{k-1}}=\sum_{k=1}^{n+1}{ka_{k-1}}-\left(n+1\right)a_n=T_n-\left(n+1\right)a_n
    \sum_{k=1}^{n}a_k=S_n
    より,
    T_n-r\left\{T_n-\left(n+1\right)a_n\right\}=2S_n\Leftrightarrow\left(1-r\right)T_n=2S_n-r\left(n+1\right)a_n……(答)

    (3)
    (1)で求めた一般項:a_n=nr^{n-1}と②を③に代入して,
    \left(1-r\right)T_n=2\cdot\frac{1-\left(n+1\right)r^n+nr^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-r\left(n+1\right)nr^{n-1}\Leftrightarrow T_n=\frac{1}{\left(1-r\right)^3}\left\{2-\left(n+1\right)\left(n+2\right)r^n+2n\left(n+2\right)r^{n+1}-n\left(n+1\right)r^{\ n+2}\right\}……(答)

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