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2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問5

2019.10.07

方針の立て方 (1) 上の点,上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる.そこで,題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える.すると,点からに垂線を引いたときを考えれば良いと分かる. (2) まずは,図を描いてみて情報を整理する. 円や球の接点に関する議論は,基本的には半径と

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  • 方針の立て方

    (1)
    S上の点,l上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる.そこで,題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える.すると,点\mathrm{O}からlに垂線を引いたときを考えれば良いと分かる.

    (2)
    まずは,図を描いてみて情報を整理する.
    円や球の接点に関する議論は,基本的には半径と接線が直交することを応用して,内積が0となることを利用する.本問もそれを使おうと考える.すると,点\mathrm{Q}についてはそれで上手くいくが,点\mathrm{P}\vec{\mathrm{OP}}と直交するベクトルの情報を出すことが難しい.そこで,別の図形的性質がないかを考える.すると,\mathrm{OP}\mathrm{AB}が平行であることが見つかるから,内積0の代わりにこれを使えばよいと分かる.
    後は\mathrm{P}\mathrm{Q}の座標を文字を使って表し,解析していく.

    (3)
    直円錐Cの体積を出すには,底面の半径と高さの情報が必要になると考える.底面の半径も高さも直接出すのは難しい(球面SC内の半端な位置にいるために難しい)から,分割して考える.前問で点\mathrm{P}\mathrm{Q}の座標を求めさせたことから,点\mathrm{P}\mathrm{Q}の箇所で分割(\mathrm{RP}\mathrm{PU}に分割)して考える.すると三角形\mathrm{ORP}で考えるという方針が立つ.\mathrm{PU}については,(1)の議論や前問で得た「\mathrm{OP}\mathrm{AB}が平行である」という知見を考えれば,\mathrm{OT}に変換して考えることが思いつく.すると,高さについては点\mathrm{T}で分割(\mathrm{AT}\mathrm{TU}に分割)して考えるという方針が立つ.

    解答例

    球面Sの方程式はx^2+y^2+z^2=1である.
    (1)
    題意を満たすS上の点は,原点から直線lに下ろした垂線(つまり,中心と直線の最短距離)と球面Sとの交点である(下図).

    lの方程式は,実数tを用いて\left(x,y,z\right)=\left(6,0,0\right)+t\left(3-6,-6-0,-6-0\right)=\left(6-3t,-6t,-6t\right)と書ける.
    よって,原点とl上の点との距離は,
    \sqrt{\left(6-3t\right)^2+\left(-6t\right)^2+\left(-6t\right)^2}=3\sqrt{9\left(t-\frac{2}{9}\right)^2+\frac{32}{9}}
    と書ける.9\left(t-\frac{2}{9}\right)^2+\frac{32}{9}t=\frac{2}{9}のとき最小値\frac{32}{9}を取るから,原点とl上の点を結ぶ線分の長さの最小値は,3\sqrt{\frac{32}{9}}=4\sqrt2である.
    よって,S上の点とl上の点を結ぶ線分の長さの最小値は,Sの半径が1であることから,4\sqrt2-1……(答)

    (2)

    〇点\mathrm{P}の座標
    線分\mathrm{PO}lは平行であるため,実数tを用いて\vec{\mathrm{OP}}=t\vec{\mathrm{AB}}=\left(-3t,-6t,-6t\right)とおける.
    また,点\mathrm{P}S上の点であるから,
    \left(-3t\right)^2+\left(-6t\right)^2+\left(-6t\right)^2=1\Leftrightarrow t=\pm\frac{1}{9}
    \vec{\mathrm{OP}}の方向と\vec{\mathrm{AB}}の方向は等しいため,t=\frac{1}{9}が適当.
    \therefore\mathrm{P}\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)……(答)
    〇点\mathrm{Q}の座標
    \vec{\mathrm{OQ}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{\mathrm{OB}}=\left(6\alpha+3\beta,-6\beta,-6\beta\right)(\alpha,\betaは実数)と表せる.
    \mathrm{Q}S上の点であるため,
    \left(6\alpha+3\beta\right)^2+\left(-6\beta\right)^2+\left(-6\beta\right)^2=1\Leftrightarrow36\alpha^2+81\beta^2+36\alpha\beta=1……①
    また,\mathrm{OQ}\bot\mathrm{AQ}より,\vec{\mathrm{OQ}}\cdot\vec{\mathrm{AQ}}=0である.\vec{\mathrm{AQ}}=\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OA}}=\left(6\alpha+3\beta-6,-6\beta,-6\beta\right)であるから,
    \left(6\alpha+3\beta,-6\beta,-6\beta\right)\cdot\left(6\alpha+3\beta-6,-6\beta,-6\beta\right)=0\Leftrightarrow36\alpha^2+81\beta^2+36\alpha\beta-36\alpha-18\beta=0……②
    ①②を連立すれば,
    \left(\alpha,\beta\right)=\left(\frac{4\pm\sqrt{70}}{144},\frac{\mp\sqrt{70}}{72}\right)(複号同順)
    となる.
    \vec{\mathrm{OQ}}\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OB}}の方向を考えれば,0<\alpha,\beta<0であるから,
    \left(\alpha,\beta\right)=\left(\frac{4+\sqrt{70}}{144},-\frac{\sqrt{70}}{72}\right)
    が適当.
    \thereforeQ\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)……(答)

    (3)

    上図のように点\mathrm{R}\mathrm{T}\mathrm{U}を取る.
    \mathrm{OP}\mathrm{OQ}Sの半径に当たるから,\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|=\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=1である.
    \therefore\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|\cos{\angle\mathrm{POQ}}=\cos{\angle\mathrm{POQ}}
    また,前問の結果より\vec{\mathrm{OP}}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right),\vec{\mathrm{OQ}}=\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)であるから,
    \vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)=-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}
    これらより,
    \cos{\angle\mathrm{POQ}}=-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}
    \angle\mathrm{POR}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{POQ}より,
    \cos{\angle\mathrm{POR}}=\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{POQ}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{POQ}}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}}{2}}=\frac{\sqrt{17-2\sqrt{70}}}{6}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt7}{6}
    \therefore\tan{\angle\mathrm{POR}}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2{\angle\mathrm{POR}}}-1}=\sqrt{\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{10}-\sqrt7}{6}\right)^2}-1}=\sqrt{35}+4\sqrt2
    よって,
    \mathrm{RP}=\mathrm{OP}\tan{\angle\mathrm{POR}}=\sqrt{35}+4\sqrt2
    ところで,線分\mathrm{OT}(図中の点線)の長さは(1)の途中で求めた原点とl上の点との距離と等しく4\sqrt2である.また,\mathrm{PU}=\mathrm{OT}=4\sqrt2である.
    よって,Cの底面の半径(\mathrm{RU})は,
    \mathrm{RU}=\mathrm{RP}+\mathrm{PU}=\sqrt{35}+4\sqrt2+4\sqrt2=\sqrt{35}+8\sqrt2
    となる.更に線分\mathrm{OA}の長さは6であるから,三平方の定理より,
    \mathrm{AT}=\sqrt{{\mathrm{OA}}^2-{\mathrm{OT}}^2}=\sqrt{6^2-\left(4\sqrt2\right)^2}=2
    である.また,\mathrm{TU}=\mathrm{OP}=1であるから,Cの高さ(\mathrm{AU})は,
    \mathrm{AU}=\mathrm{AT}+\mathrm{TU}=2+1=3
    よって,求める体積は,
    \frac{1}{3}\cdot\pi\left(\sqrt{35}+8\sqrt2\right)^2\cdot3=\left(163+16\sqrt{70}\right)\pi……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問4

2019.10.07

方針の立て方 (1) 対数の底が揃っていないため,底を揃える.後は普通の対数方程式の計算である. (2) 計算するだけ. (3) とを実際に書き下す.2の累乗まで分解できるため,この2の累乗を消去すればよいと考える.との表式から,二式を足し引きすると,単純な2の累乗にできると判断する. 解答例 (1

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  • 方針の立て方

    (1)
    対数の底が揃っていないため,底を揃える.後は普通の対数方程式の計算である.

    (2)
    計算するだけ.

    (3)
    f\left(\alpha+\beta\right)g\left(\alpha+\beta\right)を実際に書き下す.2の累乗まで分解できるため,この2の累乗を消去すればよいと考える.f\left(x\right)g\left(x\right)の表式から,二式を足し引きすると,単純な2の累乗にできると判断する.

    解答例

    (1)
    真数条件より,\begin{cases} f\left(x\right)-2>0 \\ f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}>0 \\ f\left(x\right)+g\left(x\right)-2>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} f\left(x\right)>2 \\ f\left(x-1\right)>\frac{3}{2} \\ f\left(x\right)+g\left(x\right)>2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 2^x+2^{-x}>2 \\ 2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}>\frac{3}{2} \\ 2\cdot2^x>2 \end{cases}
    ここで,相加相乗平均の関係式より,
    2^x+2^{-x}\geqq2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=2,2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}\geqq2\sqrt{2^{x-1}\cdot2^{-\left(x-1\right)}}=2
    (等号成立は,それぞれ2^x=2^{-x}\Leftrightarrow x=0,2^{x-1}=2^{-\left(x-1\right)}\Leftrightarrow x=1)であるから,真数条件は,
    \begin{cases} x\neq0 \\ 2\cdot2^x>2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x\neq0 \\ x>0 \end{cases}\Leftrightarrow x>0
    となる.
    {\mathrm{log}}_\frac{1}{2}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}=\frac{{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}}{{\mathrm{log}}_2{\frac{1}{2}}}=-{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}
    2\log_4{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=2\cdot\frac{\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}}{\log_2{4}}=\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}
    であるから,
    {\mathrm{log}}_\frac{1}{2}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}}+2\log_4{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=1\Leftrightarrow-{\mathrm{log}}_2{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}}+\log_2{\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}=1\Leftrightarrow\log_2{\frac{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}}=1\Leftrightarrow\frac{\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}}{\left\{f\left(x\right)-2\right\}}=2\Leftrightarrow\left\{f\left(x-1\right)-\frac{3}{2}\right\}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)-2\right\}=2\left\{f\left(x\right)-2\right\}\Leftrightarrow\left\{2^{x-1}+2^{-\left(x-1\right)}-\frac{3}{2}\right\}\left(2\cdot2^x-2\right)=2\left(2^x+2^{-x}-2\right)\Leftrightarrow\left(2^x\right)^3-6\left(2^x\right)^2+11\cdot2^x-6=0\Leftrightarrow\left(2^x-1\right)\left(2^x-2\right)\left(2^x-3\right)=0\Leftrightarrow2^x=1,2,3\Leftrightarrow x=0,1,{\mathrm{log}}_2{3}
    真数条件よりx=0は不可.
    よって,x=1,{\mathrm{log}}_2{3}……(答)

    (2)
    f\left(1\right)f\left(-1\right)+g\left(1\right)g\left(-1\right)=\left(2^1+2^{-1}\right)\left(2^{-1}+2^1\right)+\left(2^1-2^{-1}\right)\left(2^{-1}-2^1\right)=4……(答)

    (3)
    f\left(\alpha+\beta\right)=2^{\alpha+\beta}+2^{-\left(\alpha+\beta\right)}=2^\alpha\cdot2^\beta+2^{-\alpha}\cdot2^{-\beta} g\left(\alpha+\beta\right)=2^{\alpha+\beta}-2^{-\left(\alpha+\beta\right)}=2^\alpha\cdot2^\beta-2^{-\alpha}\cdot2^{-\beta}
    ここで,
    f\left(\alpha\right)=2^\alpha+2^{-\alpha},f\left(\beta\right)=2^\beta+2^{-\beta}
    g\left(\alpha\right)=2^\alpha-2^{-\alpha},g\left(\beta\right)=2^\beta-2^{-\beta}
    より,
    2^{\pm\alpha}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)\pm g\left(\alpha\right)\right\}
    2^{\pm\beta}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)\pm g\left(\beta\right)\right\}
    であるから,
    f\left(\alpha+\beta\right)=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)+g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)+g\left(\beta\right)\right\}+\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)-g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)-g\left(\beta\right)\right\}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)+g\left(\alpha\right)g\left(\beta\right)\right\}……(答)
    g\left(\alpha+\beta\right)=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)+g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)+g\left(\beta\right)\right\}-\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)-g\left(\alpha\right)\right\}\cdot\frac{1}{2}\left\{f\left(\beta\right)-g\left(\beta\right)\right\}=\frac{1}{2}\left\{f\left(\alpha\right)g\left(\beta\right)+g\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)\right\}……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問3

2019.10.07

方針の立て方 (1) 数列の総和からを求めるには,普通を用いるが,を計算するとが入ってしまうため,上手くいかないことに気付く.逆に,この失敗を活かすと,を計算するとが出てくると判断できる.そこで,に関する考察を行う. また,これを一般化すれば,を使えばを出せると分かる.の漸化式はここから求めれば良い

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  • 方針の立て方

    (1)
    数列の総和S_nからa_1を求めるには,普通a_1=S_1を用いるが,S_1を計算するとa_2が入ってしまうため,上手くいかないことに気付く.逆に,この失敗を活かすと,S_0を計算するとa_1が出てくると判断できる.そこで,S_0に関する考察を行う.
    また,これを一般化すれば,S_nを使えばa_{n+1}を出せると分かる.\left\{a_n\right\}の漸化式はここから求めれば良い.ただし,S_nは用いることができないから,S_n-S_{n-1}=a_nとなることを用いてS_nを消去する.
    後は普通の計算問題である.

    (2)
    前半((40))については,解答欄の形式からa_{k-1}を用いてはならないことからa_{k-1}を消去することをまず考える.更に解答欄の形式からa_kのみを使うことからa_{k-1}\rightarrow a_kの変換をすれば良いと判断する.この変換には漸化式を使えば良い.
    後半((41)~(43))は,前半で導いた関係式をT_nを用いた式に変換する必要があるから,\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}\sum_{k=1}^{n+1}{ka_{k-1}},或いはこれに近い形を作り出す必要があると考える.そうすると,前半で導いた関係式の両辺の総和を取れば良いと判断できる.

    (3)
    ③の式をT_nについて解けば,解答欄の左辺を得られる.解答欄の形式からS_n,a_nは使えないから,これらを消すために②と一般項:a_n=nr^{n-1}を用いる.

    解答例

    (31)1
    (32)1
    (33)1
    (34)1
    (35)1
    (36)1
    (37)1
    (38)1
    (39)0
    (40)2
    (41)2
    (42)1
    (43)0
    (44)2
    (45)1
    (46)2
    (47)2
    (48)2
    (49)1
    (50)1
    (51)3

    解説

    (1)
    S_0=0=\frac{1-r^{0+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_{0+1}}{1-r}=\frac{1-a_1}{1-r}\Leftrightarrow a_1=1……(答)
    また,n\geqq1に対して,
    a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1-r^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_{n+1}}{1-r}-\left(\frac{1-r^n}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_n}{1-r}\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=ra_n+r^n……(答)
    a_{n+1}=ra_n+r^nの両辺をr^nで割れば,
    \frac{a_{n+1}}{r^n}=\frac{a_n}{r^{n-1}}+1\Leftrightarrow b_{n+1}=b_n+1
    であるから,数列\left\{b_n\right\}は初項b_1=\frac{a_1}{r^{1-1}}=1,公差1の等差数列になる.……(答)
    よって,
    b_n=1+\left(n-1\right)\cdot1=n\Leftrightarrow\frac{a_n}{r^{n-1}}=n\Leftrightarrow a_n=nr^{n-1}……(答)
    これを①に代入すれば,
    S_n=\frac{1-r^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{\left(n+1\right)r^n}{1-r}=\frac{1-\left(n+1\right)r^n+nr^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}……(答)

    (2)
    前問で求めた漸化式:a_{n+1}=ra_n+r^nより,a_{k-1}=\frac{a_k-r^{k-1}}{r}であるから,
    \left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}=\left(k+1\right)a_k-rk\cdot\frac{a_k-r^{k-1}}{r}=a_k+kr^{k-1}
    更に前問で求めた一般項:a_n=nr^{n-1}より,kr^{k-1}=a_kであるから,
    \left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}=a_k+a_k=2a_k……(答)
    最左辺と最右辺の1からnまでの総和を取ると,
    \sum_{k=1}^{n}\left(\left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n}{2a_k}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}-r\sum_{k=1}^{n}{ka_{k-1}}=2\sum_{k=1}^{n}a_k
    ここで,
    \sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}=T_n
    \sum_{k=1}^{n}{ka_{k-1}}=\sum_{k=1}^{n+1}{ka_{k-1}}-\left(n+1\right)a_n=T_n-\left(n+1\right)a_n
    \sum_{k=1}^{n}a_k=S_n
    より,
    T_n-r\left\{T_n-\left(n+1\right)a_n\right\}=2S_n\Leftrightarrow\left(1-r\right)T_n=2S_n-r\left(n+1\right)a_n……(答)

    (3)
    (1)で求めた一般項:a_n=nr^{n-1}と②を③に代入して,
    \left(1-r\right)T_n=2\cdot\frac{1-\left(n+1\right)r^n+nr^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-r\left(n+1\right)nr^{n-1}\Leftrightarrow T_n=\frac{1}{\left(1-r\right)^3}\left\{2-\left(n+1\right)\left(n+2\right)r^n+2n\left(n+2\right)r^{n+1}-n\left(n+1\right)r^{\ n+2}\right\}……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問2

2019.10.07

方針の立て方 問題設定がやや奇天烈だか,題意を満たす関数を考えれば良く,それ以外は極めて平易な確率の問題である. (1)~(3)の前半((12)~(26))までは,特筆事項なし. (3)の後半((27)~(30))は,題意を満たす関数の特定がやや難しい.全ての関数の組み合わせに関して「を満たすすべて

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  • 方針の立て方

    問題設定がやや奇天烈だか,題意を満たす関数を考えれば良く,それ以外は極めて平易な確率の問題である.
    (1)~(3)の前半((12)~(26))までは,特筆事項なし.
    (3)の後半((27)~(30))は,題意を満たす関数の特定がやや難しい.全ての関数の組み合わせに関して「0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となるか」を調べるのはパターン数も多くとても面倒である.そこで,「必要条件で可能性を絞って,虱潰しする」という方法を取ろう.この考え方はよく使う手段であるから,おさえておこう.具体的には,「0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる」の必要条件「f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる」を用いて,題意を満たす関数の組み合わせを絞っていく.「f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる」というのは,(3)の前半((22)~(26))で考えているから,すぐに\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)と分かる.後は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)と,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2つを虱潰しに調べればよい.

    解答例

    (12)(13)\frac{3}{4}
    (14)(15)(16)\frac{7}{12}
    (17)(18)(19)(20)(21)\frac{19}{120}
    (22)(23)(24)(25)(26)\frac{19}{128}
    (27)(28)(29)(30)\frac{3}{256}

    解説

    (1)
    f\left(1\right)>8となる確率((12)と(13)について)
    \left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=1}=7,\left.6x\right|_{x=1}=6
    であるから,f\left(1\right)>8を満たすには,f\left(x\right)=-6x+15または,f\left(x\right)=-3x^2+12であれば必要十分.
    よって,f\left(1\right)>8となる確率は,
    \frac{7+5}{16}=\frac{3}{4}……(答)
    〇条件つき確率((14)~(16)について)
    \int_{0}^{2}\left(-6x+15\right)dx=\left[-3x^2+15x\right]_0^2=18,\int_{0}^{2}\left(-3x^2+12\right)dx=\left[-x^3+12x\right]_0^2=16
    であるから,f\left(1\right)>8かつ\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17となるのは,f\left(x\right)=-6x+15のとき.
    f\left(1\right)>8かつ\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17となる確率は,\frac{7}{16}
    よって,求める条件つき確率は,
    \frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{7}{12}……(答)

    (2)
    \left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=0}=15,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=0}=12,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=0}=11,\left.6x\right|_{x=0}=0
    \left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=2}=3,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=2}=0,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=2}=15,\left.6x\right|_{x=2}=12
    であるから,f_1\left(0\right)>g_1\left(0\right)かつf_1\left(2\right)>g_1\left(2\right)となるような,f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)の組み合わせは,\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2通り.
    よって,求める確率は,
    \frac{3}{16}\cdot\frac{1}{15}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{15}=\frac{19}{120}……(答)

    (3)
    f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる確率((22)~(26)について)
    前問と同様に,f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となるのは\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2通り.
    よって,求める確率は,
    \frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{16}=\frac{19}{128}……(答)
    0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる確率((27)~(30)について)
    0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる関数の組\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)を考える.
    まず,x=0,2で満たす必要がある(つまり,f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる必要がある)ため,考えられる組は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の高々2通り.
    ここで,
    6x^2-10x+11-6x=6x^2-16x+11=6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}
    であり,全ての実数xに対して6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}>0であるから,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)は題意を満たす.
    一方で
    -6x+15-\left(-3x^2+12\right)=3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)^2であり,3\left(x-1\right)^2x=10となってしまうから,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)は題意を満たさない.
    よって,求める確率は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)となる確率と等しく,
    \frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}=\frac{3}{256}……(答)

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問1

2019.10.07

方針の立て方 (1)(2)は典型問題であるため特筆事項なし. (3)は三角形が二等辺三角形になることを利用する. (4)は角度に関する情報が与えられているため,ベクトルの内積を用いて求めるか,或いはその方法の原理となっている余弦定理から攻めると判断する. 前問の議論と合わせると,三角形の全ての辺の長

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  • 方針の立て方

    (1)(2)は典型問題であるため特筆事項なし.
    (3)は三角形\mathrm{PQR}が二等辺三角形になることを利用する.
    (4)は角度に関する情報が与えられているため,ベクトルの内積を用いて求めるか,或いはその方法の原理となっている余弦定理から攻めると判断する.

    前問の議論と合わせると,三角形\mathrm{PQR}の全ての辺の長さの情報が分かっているので,本解答ではベクトルによる解法ではなく,余弦定理による解法を用いた.

    解答例

    (1)5
    (2)5
    (3)4
    (4)5
    (5)4
    (6)1
    (7)9
    (8)(9)16
    (10)8
    (11)3

    解説

    x^2+y^2-8x-2ay+a^2=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y-a\right)^2=16
    よって,\mathrm{P}\left(4,a\right)であり,半径は4である.
    (1)
    \mathrm{P}\left(4,a\right)l\colon y=x+1上の点であるならば,
    a=4+1=5……(答)

    (2)
    \mathrm{P}\left(4,a\right)l\colon y=x+1の距離は,点と直線の距離の公式より,
    \frac{\left|4-a+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}
    これが半径4より小さければ必要十分であるため,
    \frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}<4\Leftrightarrow\left|5-a\right|<4\sqrt2\Leftrightarrow-4\sqrt2<5-a<4\sqrt2\Leftrightarrow5-4\sqrt2<a<5+4\sqrt2……(答)

    (3)
    \begin{cases} y=x+1 \\ \left(x-4\right)^2+\left(y-a\right)^2=16 \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(\frac{3+a\pm\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a\pm\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right)(複号同順)
    よって,
    \mathrm{Q}\left(\frac{3+a+\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a+\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right),\mathrm{R}\left(\frac{3+a-\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a-\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right)と表せる(\sqrt{-a^2+10a+7}の係数の\pmのどちらを点\mathrm{Q},点\mathrm{R}とするかは本来決められないが,上記のように+の方を点\mathrm{Q}-の方を点\mathrm{R}とおいて一般性を失わない).
    これより,
    \vec{\mathrm{QR}}=\left(\sqrt{-a^2+10a+7},\sqrt{-a^2+10a+7}\right)
    \therefore\left|\vec{\mathrm{QR}}\right|=\sqrt{\left(\sqrt{-a^2+10a+7}\right)^2+\left(\sqrt{-a^2+10a+7}\right)^2}=\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}
    \mathrm{P}と辺\mathrm{QR}との距離は\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}であるから,三角形\mathrm{PQR}の面積は
    \frac{1}{2}\cdot\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}\cdot\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}=\frac{\left|5-a\right|\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}
    これが8となるのは,
    \frac{\left|5-a\right|\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}=8\Leftrightarrow a^4-20a^3+118a^2-180a+81=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a-9\right)^2=0\Leftrightarrow a=1,9……(答)

    (4)
    \mathrm{PQ}\mathrm{PR}は円Cの半径にあたるから,長さは4である.
    よって,余弦定理より,
    {\mathrm{QR}}^2={\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2-2\cdot \mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PR}\cdot\cos{\angle\mathrm{QPR}}\Leftrightarrow\left(\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}\right)^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cdot\mathrm{cos} {{150}^\circ}\Leftrightarrow\left(a-5\right)^2=16-8\sqrt3……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問5

2019.10.07

方針の立て方 (1) 特筆事項なし. (2) 考えるべき条件は『「2戦1敗」し,かつ「優勝する」こと』である.よって,「2戦1敗」する場合をまず考え,その中から「優勝する」場合を考えればよい.ここで,『「2戦1敗」し,かつ「優勝しない」』という場合の数が少ないということに気付けば,「優勝しない」場合

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  • 方針の立て方

    (1)
    特筆事項なし.

    (2)
    考えるべき条件は『「2戦1敗」し,かつ「優勝する」こと』である.よって,「2戦1敗」する場合をまず考え,その中から「優勝する」場合を考えればよい.ここで,『「2戦1敗」し,かつ「優勝しない」』という場合の数が少ないということに気付けば,「優勝しない」場合を求め,それを取り除く方がよいと判断する.(※これは実は余事象の考え方である)

    (3)
    前問と同様に「1戦2敗」する場合をまず考え,その中から「優勝する」場合を考えればよいが,これを満たすことはないため,0である.

    (4)
    (1)~(3)までの解答を合わせれば,リーグ戦でチームAが優勝する確率は求まる.よって,トーナメント戦でチームAが優勝する確率を求め,素直に比較すればよいと判断する.

    解答例

    (1)p^3

    (2)
    チームAが2勝1敗となる確率を求める.
    どのチームに負けるかで3通りあるので,3\times p^2\left(1-p\right)=3p^2\left(1-p\right)
    チームAの戦績が2勝1敗だったとしても,チームAに勝ったチームが全勝すると,チームAは優勝できない.チームAが2勝1敗で,かつ,チームAに勝ったチームが全勝する確率は,チームAとの対戦以外の対戦2回にも勝つ確率を考えればいいので,3p^2\left(1-p\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)
    よって,求める確率は,
    3p^2\left(1-p\right)-\frac{3}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)……(答)

    (3)
    チームAを負かした2チームについて着目する.チームAに勝っているので,両チームとも1勝はしていることになる.ここで,この2チーム同士の試合を考えると,必ずどちらかが勝つので,どちらかのチームの勝利数は,この段階で2となるはずである.よって,1勝2敗のチームAが優勝することはない.
    よって,求める確率は0……(答)

    (4)
    結論:リーグ戦……(答)
    理由:0勝3敗で優勝することはないため,リーグ戦でAが優勝する確率は(1)~(3)の結果と合わせて考えると,p^3+\frac{9}{4}p^2\left(1-p\right)=\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)である.一方,トーナメント戦で優勝する確率はp^2である(\because2回勝てば優勝する).ここで,両者の差を取って考えると,
    \left\{\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)\right\}-\left\{p^2\right\}=\frac{5}{4}p^2\left(1-p\right)>0より,p^2<\frac{1}{4}p^2\left(9-5p\right)
    これはリーグ戦で優勝する確率が,トーナメント戦で優勝する確率より大きいことに他ならない.

    解説

    (1)
    A対B…確率pで勝つ
    A対C…確率pで勝つ
    A対D…確率pで勝つ
    よって,チームAが全試合に勝利する確率はp^3となる.
    全勝すれば優勝するので,求める確率はp^3……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問4

2019.10.07

方針の立て方 (1) 実数解の範囲についての問題であるから,解の配置問題の解法で解けばよい. (2) 一先ずは素直に複素数の絶対値の定義に従って計算することを考え,を求める.二次方程式の解は,公式を用いれば直接表現できるため,が求まり後は絶対値を求めればよい. (3) 前問でを考えたため,「かつ」の

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  • 方針の立て方

    (1)
    実数解の範囲についての問題であるから,解の配置問題の解法で解けばよい.

    (2)
    一先ずは素直に複素数の絶対値の定義に従って計算することを考え,\alphaを求める.二次方程式の解は,公式を用いれば直接表現できるため,\alphaが求まり後は絶対値を求めればよい.

    (3)
    前問で\left|\alpha\right|を考えたため,「\left|\alpha\right|<1かつ\left|\beta\right|<1」の条件はa,bを用いて書き下せる.後は\alpha,\betaが虚数であるという条件をa,bを用いて書き下し,合わせればよい.

    解答例

    (1)

    上図斜線部.但し境界はb=-\frac{1}{4}a^2-2<a<2の区間のみを含み,他は含まない.……(答)

    (2)\left|\alpha\right|=\sqrt{-b}

    (3)

    上図斜線部.但し境界は含まない.……(答)

    解説

    (1)
    f\left(x\right)=x^2-ax-bとおいて,y=f\left(x\right)x軸の交点が-1<x<1の範囲になるようにすれば必要十分.
    判別式の条件より,a^2+4b\geqq0\Leftrightarrow b\geqq-\frac{1}{4}a^2……①
    軸の条件より,-1<\frac{a}{2}<1\Leftrightarrow-2< a <2……②
    端点(x=\pm1)の条件より,\begin{cases} f\left(-1\right)>0 \\ f\left(1\right)>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 1+a-b>0 \\ 1-a-b>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a+1>b \\ -a+1>b \end{cases}……③
    ①~③を図示すれば,

    上図斜線部.但し境界はb=-\frac{1}{4}a^2-2<a<2の区間のみを含み,他は含まない.……(答)

    (2)
    判別式は負となることに注意して,2次方程式:x^2-ax-b=0を解くと,
    x=\frac{a\pm\sqrt{-a^2-4b}i}{2}
    \therefore\left|\alpha\right|=\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{-a^2-4b}i}{2}\cdot\frac{a\mp\sqrt{-a^2-4b}i}{2}}=\sqrt{-b}……(答)

    (3)
    判別式は負となるから,b<-\frac{1}{4}a^2……①
    \left|\alpha\right|=\left|\beta\right|=\sqrt{-b}であるから,\left|\alpha\right|<1かつ\left|\beta\right|<1という条件は,0\leqq-b<1\Leftrightarrow-1<b\leqq0……②となる.
    ①と②を図示すれば,

    上図斜線部.但し境界は含まない.……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問3

2019.10.07

方針の立て方 (1) 売り上げがになる.これは二変数関数であるが,を用いれば一変数関数になり,後は通常の最大最小問題で考えればよい. (2)(3)利益がとなる.後は(1)と同様に一変数関数に直して考えればよい. 解答例 (1) (2) よって,のとき利益が最大となる.よって, ……(答) (3) よ

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    (1)
    売り上げがpyになる.これは二変数関数であるが,y=10-pを用いれば一変数関数になり,後は通常の最大最小問題で考えればよい.
    (2)(3)利益がpy-c\left(y\right)となる.後は(1)と同様に一変数関数に直して考えればよい.

    解答例

    (1)\left(p,y\right)=\left(5,5\right)

    (2)
    py-c\left(y\right)=p\left(10-p\right)-\left(10-p\right)^2=-2p^2+30p-100=-2\left(p-\frac{15}{2}\right)^2+\frac{25}{2}
    よって,p=7,8のとき利益が最大となる.よって,y=3,2
    \therefore\left(p,y\right)=\left(7,3\right),\left(8,2\right)……(答)

    (3)
    py-c\left(y\right)=-2y^2-10y+20=-2\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{65}{2}
    1\leqq yより,y=1のとき利益が最大となる.よって,p=10-y=9
    \therefore\left(p,y\right)=\left(9,1\right)……(答)

    解説

    1\leqq yより,p\leqq9である.
    (1)
    売上は,
    py=p\left(10-p\right)=-p^2+10p=-\left(p-5\right)^2+25
    \therefore p=5のとき売上は最大値となる.よって,y=10-p=5
    \therefore\left(p,y\right)=\left(5,5\right)……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問2

2019.10.07

方針の立て方 (1)特筆事項なし. (2)(3)領域が指定されている上での最大最小問題であるため,線形計画法で考える. 解答例 (1)と (2) (3) 解説 (1) 上図のように補助線を引いて考えれば,求める座標は,と……(答) (2) 線形計画法の考え方を用いれば,最大値を取るときのは(1)で求

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    (1)特筆事項なし.
    (2)(3)領域が指定されている上での最大最小問題であるため,線形計画法で考える.

    解答例

    (1)\left(a,a+b\right)\left(a+b,b\right)
    (2)\sqrt{2a^2+2ab+b^2}
    (3)\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}

    解説


    (1)
    上図のように補助線を引いて考えれば,求める座標は,\left(a,a+b\right)\left(a+b,b\right)……(答)

    (2)
    線形計画法の考え方を用いれば,最大値を取るときのPは(1)で求めた2点の内のいずれかだと分かる.
    原点と\left(a,a+b\right)との距離は\sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}
    原点と\left(a+b,b\right)との距離は\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}
    a>bより,\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}<\sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}となる.
    よって,求める最大値は,
    \sqrt{a^2+\left(a+b\right)^2}=\sqrt{2a^2+2ab+b^2}・・・・・・(答)

    (3)
    \mathrm{P}が線分\mathrm{AB}上にあり,かつ\mathrm{OP}\mathrm{AB}が直交するとき,線分\mathrm{OP}の長さは最小となる.
    直線\mathrm{AB}の式はy=-\frac{a}{b}x+aであるから,直線\mathrm{OP}の式はy=\frac{b}{a}xとなる.
    よって,直線\mathrm{AB}と直線\mathrm{OP}の交点は\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2},\frac{{ab}^2}{a^2+b^2}\right)である.
    よって,求める最小値は,
    \sqrt{\left(\frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{{ab}^2}{a^2+b^2}\right)^2}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}……(答)

2018年早稲田大学政治経済学部|過去問徹底研究 大問1

2019.10.07

方針の立て方 (1) 円の問題(それも半径の情報が与えられている問題)であるため,中心を基準に考える. (2) はとの二変数関数であるため,何とかして一変数化したい.するとを用いることが思いつく. (3) 定義通り計算すればよい. 解答例 (1) (2) (3)平均値:点 標準偏差: 解説 (1)

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  • 方針の立て方

    (1)
    円の問題(それも半径の情報が与えられている問題)であるため,中心を基準に考える.

    (2)
    zxyの二変数関数であるため,何とかして一変数化したい.するとxy=4を用いることが思いつく.

    (3)
    定義通り計算すればよい.

    解答例
    (1)2\sqrt3
    (2)0\leqq z<4
    (3)平均値:75
    標準偏差:25\sqrt3

    解説

    (1)

    左図のように,正三角形に分割して考えると,
    求める面積は,
    6\times\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}\cdot1=2\sqrt3……(答)

    (2)
    z=\left(\log_2{x}\right)^2\left(\log_2{\frac{8}{x}}\right)=\left(\log_2{x}\right)^2\left(\log_2{8}-\log_2{x}\right)=\left(\log_2{x}\right)^2\left(3-\log_2{x}\right)=-\left(\log_2{x}\right)^3+3\left(\log_2{x}\right)^2
    y>1より,\frac{4}{x}>1x\geqq 1と合わせると,1\leqq x<4
    0\leqq\log_2{x}<2
    ここで,\log_2{x}=Xとおけば,
    z=-X^3+3X^2(0\leqq X<2)
    \frac{dz}{dX}=-3X^2+6X=-3X\left(X-2\right)
    増減表を描くと,

    X 0 \cdots 2
    \frac{dz}{dX} 0 + 0
    z 0 \nearrow 4

    \therefore0\leqq z<4……(答)

    (3)
    平均値:\frac{25\cdot0+75\cdot100}{100}=75点……(答)
    標準偏差:\sqrt{\frac{25\cdot\left(0-75\right)^2+75\cdot\left(100-75\right)^2}{100}}=25\sqrt3……(答)

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