方針の立て方 (1) 上の点,上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる.そこで,題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える.すると,点からに垂線を引いたときを考えれば良いと分かる. (2) まずは,図を描いてみて情報を整理する. 円や球の接点に関する議論は,基本的には半径と
- …続きを読む
-
方針の立て方
(1)
上の点,上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる.そこで,題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える.すると,点からに垂線を引いたときを考えれば良いと分かる.(2)
まずは,図を描いてみて情報を整理する.
円や球の接点に関する議論は,基本的には半径と接線が直交することを応用して,内積が0となることを利用する.本問もそれを使おうと考える.すると,点についてはそれで上手くいくが,点はと直交するベクトルの情報を出すことが難しい.そこで,別の図形的性質がないかを考える.すると,とが平行であることが見つかるから,内積0の代わりにこれを使えばよいと分かる.
後はとの座標を文字を使って表し,解析していく.(3)
直円錐の体積を出すには,底面の半径と高さの情報が必要になると考える.底面の半径も高さも直接出すのは難しい(球面が内の半端な位置にいるために難しい)から,分割して考える.前問で点,の座標を求めさせたことから,点,の箇所で分割(とに分割)して考える.すると三角形で考えるという方針が立つ.については,(1)の議論や前問で得た「とが平行である」という知見を考えれば,に変換して考えることが思いつく.すると,高さについては点で分割(とに分割)して考えるという方針が立つ.解答例
球面の方程式はである.
(1)
題意を満たす上の点は,原点から直線に下ろした垂線(つまり,中心と直線の最短距離)と球面との交点である(下図).
の方程式は,実数を用いてと書ける.
よって,原点と上の点との距離は,
と書ける.はのとき最小値を取るから,原点と上の点を結ぶ線分の長さの最小値は,である.
よって,上の点と上の点を結ぶ線分の長さの最小値は,の半径が1であることから,……(答)(2)
〇点の座標
線分とは平行であるため,実数を用いてとおける.
また,点は上の点であるから,
の方向との方向は等しいため,が適当.
……(答)
〇点の座標
(は実数)と表せる.
点は上の点であるため,
……①
また,より,である.であるから,
……②
①②を連立すれば,
(複号同順)
となる.
との方向を考えれば,であるから,
が適当.
……(答)(3)
上図のように点,,を取る.
とはの半径に当たるから,である.
また,前問の結果よりであるから,
これらより,
より,
よって,
ところで,線分(図中の点線)の長さは(1)の途中で求めた原点と上の点との距離と等しくである.また,である.
よって,の底面の半径()は,
となる.更に線分の長さは6であるから,三平方の定理より,
である.また,であるから,の高さ()は,
よって,求める体積は,
……(答)