偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2018

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)(2)は典型問題であるため特筆事項なし.
(3)は三角形\mathrm{PQR}が二等辺三角形になることを利用する.
(4)は角度に関する情報が与えられているため,ベクトルの内積を用いて求めるか,或いはその方法の原理となっている余弦定理から攻めると判断する.

前問の議論と合わせると,三角形\mathrm{PQR}の全ての辺の長さの情報が分かっているので,本解答ではベクトルによる解法ではなく,余弦定理による解法を用いた.

解答例

(1)5
(2)5
(3)4
(4)5
(5)4
(6)1
(7)9
(8)(9)16
(10)8
(11)3

解説

x^2+y^2-8x-2ay+a^2=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y-a\right)^2=16
よって,\mathrm{P}\left(4,a\right)であり,半径は4である.
(1)
\mathrm{P}\left(4,a\right)l\colon y=x+1上の点であるならば,
a=4+1=5……(答)

(2)
\mathrm{P}\left(4,a\right)l\colon y=x+1の距離は,点と直線の距離の公式より,
\frac{\left|4-a+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}
これが半径4より小さければ必要十分であるため,
\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}<4\Leftrightarrow\left|5-a\right|<4\sqrt2\Leftrightarrow-4\sqrt2<5-a<4\sqrt2\Leftrightarrow5-4\sqrt2<a<5+4\sqrt2……(答)

(3)
\begin{cases} y=x+1 \\ \left(x-4\right)^2+\left(y-a\right)^2=16 \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(\frac{3+a\pm\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a\pm\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right)(複号同順)
よって,
\mathrm{Q}\left(\frac{3+a+\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a+\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right),\mathrm{R}\left(\frac{3+a-\sqrt{-a^2+10a+7}}{2},\frac{5+a-\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}\right)と表せる(\sqrt{-a^2+10a+7}の係数の\pmのどちらを点\mathrm{Q},点\mathrm{R}とするかは本来決められないが,上記のように+の方を点\mathrm{Q}-の方を点\mathrm{R}とおいて一般性を失わない).
これより,
\vec{\mathrm{QR}}=\left(\sqrt{-a^2+10a+7},\sqrt{-a^2+10a+7}\right)
\therefore\left|\vec{\mathrm{QR}}\right|=\sqrt{\left(\sqrt{-a^2+10a+7}\right)^2+\left(\sqrt{-a^2+10a+7}\right)^2}=\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}
\mathrm{P}と辺\mathrm{QR}との距離は\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}であるから,三角形\mathrm{PQR}の面積は
\frac{1}{2}\cdot\frac{\left|5-a\right|}{\sqrt2}\cdot\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}=\frac{\left|5-a\right|\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}
これが8となるのは,
\frac{\left|5-a\right|\sqrt{-a^2+10a+7}}{2}=8\Leftrightarrow a^4-20a^3+118a^2-180a+81=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a-9\right)^2=0\Leftrightarrow a=1,9……(答)

(4)
\mathrm{PQ}\mathrm{PR}は円Cの半径にあたるから,長さは4である.
よって,余弦定理より,
{\mathrm{QR}}^2={\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2-2\cdot \mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PR}\cdot\cos{\angle\mathrm{QPR}}\Leftrightarrow\left(\sqrt{2\left(-a^2+10a+7\right)}\right)^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cdot\mathrm{cos} {{150}^\circ}\Leftrightarrow\left(a-5\right)^2=16-8\sqrt3……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。