方針の立て方
(1)
数列の総和からを求めるには,普通を用いるが,を計算するとが入ってしまうため,上手くいかないことに気付く.逆に,この失敗を活かすと,を計算するとが出てくると判断できる.そこで,に関する考察を行う.
また,これを一般化すれば,を使えばを出せると分かる.の漸化式はここから求めれば良い.ただし,は用いることができないから,となることを用いてを消去する.
後は普通の計算問題である.
(2)
前半((40))については,解答欄の形式からを用いてはならないことからを消去することをまず考える.更に解答欄の形式からのみを使うことからの変換をすれば良いと判断する.この変換には漸化式を使えば良い.
後半((41)~(43))は,前半で導いた関係式をを用いた式に変換する必要があるから,や,或いはこれに近い形を作り出す必要があると考える.そうすると,前半で導いた関係式の両辺の総和を取れば良いと判断できる.
(3)
③の式をについて解けば,解答欄の左辺を得られる.解答欄の形式からは使えないから,これらを消すために②と一般項:を用いる.
解答例
(31)1
(32)1
(33)1
(34)1
(35)1
(36)1
(37)1
(38)1
(39)0
(40)2
(41)2
(42)1
(43)0
(44)2
(45)1
(46)2
(47)2
(48)2
(49)1
(50)1
(51)3
解説
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(1)
……(答)
また,に対して,
……(答)
の両辺をで割れば,
であるから,数列は初項,公差の等差数列になる.……(答)
よって,
……(答)
これを①に代入すれば,
……(答)
(2)
前問で求めた漸化式:より,であるから,
更に前問で求めた一般項:より,であるから,
……(答)
最左辺と最右辺のからまでの総和を取ると,
ここで,
より,
……(答)
(3)
(1)で求めた一般項:と②を③に代入して,
……(答)
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