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慶應経済2018

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問3

方針の立て方

(1)
数列の総和S_nからa_1を求めるには,普通a_1=S_1を用いるが,S_1を計算するとa_2が入ってしまうため,上手くいかないことに気付く.逆に,この失敗を活かすと,S_0を計算するとa_1が出てくると判断できる.そこで,S_0に関する考察を行う.
また,これを一般化すれば,S_nを使えばa_{n+1}を出せると分かる.\left\{a_n\right\}の漸化式はここから求めれば良い.ただし,S_nは用いることができないから,S_n-S_{n-1}=a_nとなることを用いてS_nを消去する.
後は普通の計算問題である.

(2)
前半((40))については,解答欄の形式からa_{k-1}を用いてはならないことからa_{k-1}を消去することをまず考える.更に解答欄の形式からa_kのみを使うことからa_{k-1}\rightarrow a_kの変換をすれば良いと判断する.この変換には漸化式を使えば良い.
後半((41)~(43))は,前半で導いた関係式をT_nを用いた式に変換する必要があるから,\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}\sum_{k=1}^{n+1}{ka_{k-1}},或いはこれに近い形を作り出す必要があると考える.そうすると,前半で導いた関係式の両辺の総和を取れば良いと判断できる.

(3)
③の式をT_nについて解けば,解答欄の左辺を得られる.解答欄の形式からS_n,a_nは使えないから,これらを消すために②と一般項:a_n=nr^{n-1}を用いる.

解答例

(31)1
(32)1
(33)1
(34)1
(35)1
(36)1
(37)1
(38)1
(39)0
(40)2
(41)2
(42)1
(43)0
(44)2
(45)1
(46)2
(47)2
(48)2
(49)1
(50)1
(51)3

解説

ronin
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(1)
S_0=0=\frac{1-r^{0+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_{0+1}}{1-r}=\frac{1-a_1}{1-r}\Leftrightarrow a_1=1……(答)
また,n\geqq1に対して,
a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1-r^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_{n+1}}{1-r}-\left(\frac{1-r^n}{\left(1-r\right)^2}-\frac{a_n}{1-r}\right)\Leftrightarrow a_{n+1}=ra_n+r^n……(答)
a_{n+1}=ra_n+r^nの両辺をr^nで割れば,
\frac{a_{n+1}}{r^n}=\frac{a_n}{r^{n-1}}+1\Leftrightarrow b_{n+1}=b_n+1
であるから,数列\left\{b_n\right\}は初項b_1=\frac{a_1}{r^{1-1}}=1,公差1の等差数列になる.……(答)
よって,
b_n=1+\left(n-1\right)\cdot1=n\Leftrightarrow\frac{a_n}{r^{n-1}}=n\Leftrightarrow a_n=nr^{n-1}……(答)
これを①に代入すれば,
S_n=\frac{1-r^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-\frac{\left(n+1\right)r^n}{1-r}=\frac{1-\left(n+1\right)r^n+nr^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}……(答)

(2)
前問で求めた漸化式:a_{n+1}=ra_n+r^nより,a_{k-1}=\frac{a_k-r^{k-1}}{r}であるから,
\left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}=\left(k+1\right)a_k-rk\cdot\frac{a_k-r^{k-1}}{r}=a_k+kr^{k-1}
更に前問で求めた一般項:a_n=nr^{n-1}より,kr^{k-1}=a_kであるから,
\left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}=a_k+a_k=2a_k……(答)
最左辺と最右辺の1からnまでの総和を取ると,
\sum_{k=1}^{n}\left(\left(k+1\right)a_k-rka_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n}{2a_k}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}-r\sum_{k=1}^{n}{ka_{k-1}}=2\sum_{k=1}^{n}a_k
ここで,
\sum_{k=1}^{n}{\left(k+1\right)a_k}=T_n
\sum_{k=1}^{n}{ka_{k-1}}=\sum_{k=1}^{n+1}{ka_{k-1}}-\left(n+1\right)a_n=T_n-\left(n+1\right)a_n
\sum_{k=1}^{n}a_k=S_n
より,
T_n-r\left\{T_n-\left(n+1\right)a_n\right\}=2S_n\Leftrightarrow\left(1-r\right)T_n=2S_n-r\left(n+1\right)a_n……(答)

(3)
(1)で求めた一般項:a_n=nr^{n-1}と②を③に代入して,
\left(1-r\right)T_n=2\cdot\frac{1-\left(n+1\right)r^n+nr^{n+1}}{\left(1-r\right)^2}-r\left(n+1\right)nr^{n-1}\Leftrightarrow T_n=\frac{1}{\left(1-r\right)^3}\left\{2-\left(n+1\right)\left(n+2\right)r^n+2n\left(n+2\right)r^{n+1}-n\left(n+1\right)r^{\ n+2}\right\}……(答)

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