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慶應経済2018

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問2

方針の立て方

問題設定がやや奇天烈だか,題意を満たす関数を考えれば良く,それ以外は極めて平易な確率の問題である.
(1)~(3)の前半((12)~(26))までは,特筆事項なし.
(3)の後半((27)~(30))は,題意を満たす関数の特定がやや難しい.全ての関数の組み合わせに関して「0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となるか」を調べるのはパターン数も多くとても面倒である.そこで,「必要条件で可能性を絞って,虱潰しする」という方法を取ろう.この考え方はよく使う手段であるから,おさえておこう.具体的には,「0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる」の必要条件「f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる」を用いて,題意を満たす関数の組み合わせを絞っていく.「f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる」というのは,(3)の前半((22)~(26))で考えているから,すぐに\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)と分かる.後は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)と,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2つを虱潰しに調べればよい.

解答例

(12)(13)\frac{3}{4}
(14)(15)(16)\frac{7}{12}
(17)(18)(19)(20)(21)\frac{19}{120}
(22)(23)(24)(25)(26)\frac{19}{128}
(27)(28)(29)(30)\frac{3}{256}

解説

(1)
f\left(1\right)>8となる確率((12)と(13)について)
\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=1}=7,\left.6x\right|_{x=1}=6
であるから,f\left(1\right)>8を満たすには,f\left(x\right)=-6x+15または,f\left(x\right)=-3x^2+12であれば必要十分.
よって,f\left(1\right)>8となる確率は,
\frac{7+5}{16}=\frac{3}{4}……(答)
〇条件つき確率((14)~(16)について)
\int_{0}^{2}\left(-6x+15\right)dx=\left[-3x^2+15x\right]_0^2=18,\int_{0}^{2}\left(-3x^2+12\right)dx=\left[-x^3+12x\right]_0^2=16
であるから,f\left(1\right)>8かつ\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17となるのは,f\left(x\right)=-6x+15のとき.
f\left(1\right)>8かつ\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17となる確率は,\frac{7}{16}
よって,求める条件つき確率は,
\frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{7}{12}……(答)

(2)
\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=0}=15,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=0}=12,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=0}=11,\left.6x\right|_{x=0}=0
\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=2}=3,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=2}=0,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=2}=15,\left.6x\right|_{x=2}=12
であるから,f_1\left(0\right)>g_1\left(0\right)かつf_1\left(2\right)>g_1\left(2\right)となるような,f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)の組み合わせは,\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2通り.
よって,求める確率は,
\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{15}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{15}=\frac{19}{120}……(答)

(3)
f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる確率((22)~(26)について)
前問と同様に,f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となるのは\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2通り.
よって,求める確率は,
\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{16}=\frac{19}{128}……(答)
0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる確率((27)~(30)について)
0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる関数の組\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)を考える.
まず,x=0,2で満たす必要がある(つまり,f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる必要がある)ため,考えられる組は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の高々2通り.
ここで,
6x^2-10x+11-6x=6x^2-16x+11=6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}
であり,全ての実数xに対して6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}>0であるから,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)は題意を満たす.
一方で
-6x+15-\left(-3x^2+12\right)=3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)^2であり,3\left(x-1\right)^2x=10となってしまうから,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)は題意を満たさない.
よって,求める確率は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)となる確率と等しく,
\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}=\frac{3}{256}……(答)

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