偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2018

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

問題設定がやや奇天烈だか,題意を満たす関数を考えれば良く,それ以外は極めて平易な確率の問題である.
(1)~(3)の前半((12)~(26))までは,特筆事項なし.
(3)の後半((27)~(30))は,題意を満たす関数の特定がやや難しい.全ての関数の組み合わせに関して「0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となるか」を調べるのはパターン数も多くとても面倒である.そこで,「必要条件で可能性を絞って,虱潰しする」という方法を取ろう.この考え方はよく使う手段であるから,おさえておこう.具体的には,「0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる」の必要条件「f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる」を用いて,題意を満たす関数の組み合わせを絞っていく.「f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる」というのは,(3)の前半((22)~(26))で考えているから,すぐに\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)と分かる.後は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)と,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2つを虱潰しに調べればよい.

解答例

(12)(13)\frac{3}{4}
(14)(15)(16)\frac{7}{12}
(17)(18)(19)(20)(21)\frac{19}{120}
(22)(23)(24)(25)(26)\frac{19}{128}
(27)(28)(29)(30)\frac{3}{256}

解説

(1)
f\left(1\right)>8となる確率((12)と(13)について)
\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=1}=7,\left.6x\right|_{x=1}=6
であるから,f\left(1\right)>8を満たすには,f\left(x\right)=-6x+15または,f\left(x\right)=-3x^2+12であれば必要十分.
よって,f\left(1\right)>8となる確率は,
\frac{7+5}{16}=\frac{3}{4}……(答)
〇条件つき確率((14)~(16)について)
\int_{0}^{2}\left(-6x+15\right)dx=\left[-3x^2+15x\right]_0^2=18,\int_{0}^{2}\left(-3x^2+12\right)dx=\left[-x^3+12x\right]_0^2=16
であるから,f\left(1\right)>8かつ\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17となるのは,f\left(x\right)=-6x+15のとき.
f\left(1\right)>8かつ\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17となる確率は,\frac{7}{16}
よって,求める条件つき確率は,
\frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{7}{12}……(答)

(2)
\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=0}=15,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=0}=12,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=0}=11,\left.6x\right|_{x=0}=0
\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=2}=3,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=2}=0,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=2}=15,\left.6x\right|_{x=2}=12
であるから,f_1\left(0\right)>g_1\left(0\right)かつf_1\left(2\right)>g_1\left(2\right)となるような,f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)の組み合わせは,\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2通り.
よって,求める確率は,
\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{15}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{15}=\frac{19}{120}……(答)

(3)
f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる確率((22)~(26)について)
前問と同様に,f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となるのは\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の2通り.
よって,求める確率は,
\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{16}=\frac{19}{128}……(答)
0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる確率((27)~(30)について)
0\leqq x\leqq2を満たすすべての実数xに対してf_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)となる関数の組\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)を考える.
まず,x=0,2で満たす必要がある(つまり,f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)かつf_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)となる必要がある)ため,考えられる組は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)の高々2通り.
ここで,
6x^2-10x+11-6x=6x^2-16x+11=6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}
であり,全ての実数xに対して6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}>0であるから,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)は題意を満たす.
一方で
-6x+15-\left(-3x^2+12\right)=3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)^2であり,3\left(x-1\right)^2x=10となってしまうから,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)は題意を満たさない.
よって,求める確率は,\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)となる確率と等しく,
\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}=\frac{3}{256}……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。