方針の立て方

問題設定がやや奇天烈だか，題意を満たす関数を考えれば良く，それ以外は極めて平易な確率の問題である．
(1)～(3)の前半((12)～(26))までは，特筆事項なし．
(3)の後半((27)～(30))は，題意を満たす関数の特定がやや難しい．全ての関数の組み合わせに関して「 $0\leqq x\leqq2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)$ となるか」を調べるのはパターン数も多くとても面倒である．そこで，「必要条件で可能性を絞って，虱潰しする」という方法を取ろう．この考え方はよく使う手段であるから，おさえておこう．具体的には，「 $0\leqq x\leqq2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)$ となる」の必要条件「 $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となる」を用いて，題意を満たす関数の組み合わせを絞っていく．「 $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となる」というのは，(3)の前半((22)～(26))で考えているから，すぐに $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ と分かる．後は, $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)$ と， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ の2つを虱潰しに調べればよい．

解答例

(12)(13) $\frac{3}{4}$
(14)(15)(16) $\frac{7}{12}$
(17)(18)(19)(20)(21) $\frac{19}{120}$
(22)(23)(24)(25)(26) $\frac{19}{128}$
(27)(28)(29)(30) $\frac{3}{256}$

解説

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(1)
〇 $f\left(1\right)>8$ となる確率((12)と(13)について)
$\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=1}=9,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=1}=7,\left.6x\right|_{x=1}=6$
であるから， $f\left(1\right)>8$ を満たすには， $f\left(x\right)=-6x+15$ または， $f\left(x\right)=-3x^2+12$ であれば必要十分．
よって， $f\left(1\right)>8$ となる確率は，
$\frac{7+5}{16}=\frac{3}{4}$ ……(答)
〇条件つき確率((14)～(16)について)
$\int_{0}^{2}\left(-6x+15\right)dx=\left[-3x^2+15x\right]_0^2=18,\int_{0}^{2}\left(-3x^2+12\right)dx=\left[-x^3+12x\right]_0^2=16$
であるから， $f\left(1\right)>8$ かつ $\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17$ となるのは， $f\left(x\right)=-6x+15$ のとき．
$f\left(1\right)>8$ かつ $\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx>17$ となる確率は， $\frac{7}{16}$ ．
よって，求める条件つき確率は，
$\frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{7}{12}$ ……(答)

(2)
$\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=0}=15,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=0}=12,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=0}=11,\left.6x\right|_{x=0}=0$
$\left.\left(-6x+15\right)\right|_{x=2}=3,\left.\left(-3x^2+12\right)\right|_{x=2}=0,\left.\left(6x^2-10x+11\right)\right|_{x=2}=15,\left.6x\right|_{x=2}=12$
であるから， $f_1\left(0\right)>g_1\left(0\right)$ かつ $f_1\left(2\right)>g_1\left(2\right)$ となるような， $f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)$ の組み合わせは， $\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ の2通り．
よって，求める確率は，
$\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{15}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{15}=\frac{19}{120}$ ……(答)

(3)
〇 $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となる確率((22)～(26)について)
前問と同様に， $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となるのは $\left(f_1\left(x\right),g_1\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ の2通り．
よって，求める確率は，
$\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}+\frac{7}{16}\cdot\frac{5}{16}=\frac{19}{128}$ ……(答)
〇 $0\leqq x\leqq2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)$ となる確率((27)～(30)について)
$0\leqq x\leqq2$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f_2\left(x\right)>g_2\left(x\right)$ となる関数の組 $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)$ を考える．
まず， $x=0,2$ で満たす必要がある(つまり， $f_2\left(0\right)>g_2\left(0\right)$ かつ $f_2\left(2\right)>g_2\left(2\right)$ となる必要がある)ため，考えられる組は， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right),\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ の高々2通り．
ここで，
$6x^2-10x+11-6x=6x^2-16x+11=6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}$
であり，全ての実数 $x$ に対して $6\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{1}{3}>0$ であるから， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)$ は題意を満たす．
一方で
$-6x+15-\left(-3x^2+12\right)=3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)^2$ であり， $3\left(x-1\right)^2$ は $x=1$ で $0$ となってしまうから， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(-6x+15,-3x^2+12\right)$ は題意を満たさない．
よって，求める確率は， $\left(f_2\left(x\right),g_2\left(x\right)\right)=\left(6x^2-10x+11,6x\right)$ となる確率と等しく，
$\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{16}=\frac{3}{256}$ ……(答)