偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2018

2018年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問5

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
S上の点,l上の点の両方を動かして解析しようとするととても複雑になる.そこで,題意を満たすのはどのような線分なのかを定性的に考える.すると,点\mathrm{O}からlに垂線を引いたときを考えれば良いと分かる.

(2)
まずは,図を描いてみて情報を整理する.
円や球の接点に関する議論は,基本的には半径と接線が直交することを応用して,内積が0となることを利用する.本問もそれを使おうと考える.すると,点\mathrm{Q}についてはそれで上手くいくが,点\mathrm{P}\vec{\mathrm{OP}}と直交するベクトルの情報を出すことが難しい.そこで,別の図形的性質がないかを考える.すると,\mathrm{OP}\mathrm{AB}が平行であることが見つかるから,内積0の代わりにこれを使えばよいと分かる.
後は\mathrm{P}\mathrm{Q}の座標を文字を使って表し,解析していく.

(3)
直円錐Cの体積を出すには,底面の半径と高さの情報が必要になると考える.底面の半径も高さも直接出すのは難しい(球面SC内の半端な位置にいるために難しい)から,分割して考える.前問で点\mathrm{P}\mathrm{Q}の座標を求めさせたことから,点\mathrm{P}\mathrm{Q}の箇所で分割(\mathrm{RP}\mathrm{PU}に分割)して考える.すると三角形\mathrm{ORP}で考えるという方針が立つ.\mathrm{PU}については,(1)の議論や前問で得た「\mathrm{OP}\mathrm{AB}が平行である」という知見を考えれば,\mathrm{OT}に変換して考えることが思いつく.すると,高さについては点\mathrm{T}で分割(\mathrm{AT}\mathrm{TU}に分割)して考えるという方針が立つ.

解答例

球面Sの方程式はx^2+y^2+z^2=1である.
(1)
題意を満たすS上の点は,原点から直線lに下ろした垂線(つまり,中心と直線の最短距離)と球面Sとの交点である(下図).

lの方程式は,実数tを用いて\left(x,y,z\right)=\left(6,0,0\right)+t\left(3-6,-6-0,-6-0\right)=\left(6-3t,-6t,-6t\right)と書ける.
よって,原点とl上の点との距離は,
\sqrt{\left(6-3t\right)^2+\left(-6t\right)^2+\left(-6t\right)^2}=3\sqrt{9\left(t-\frac{2}{9}\right)^2+\frac{32}{9}}
と書ける.9\left(t-\frac{2}{9}\right)^2+\frac{32}{9}t=\frac{2}{9}のとき最小値\frac{32}{9}を取るから,原点とl上の点を結ぶ線分の長さの最小値は,3\sqrt{\frac{32}{9}}=4\sqrt2である.
よって,S上の点とl上の点を結ぶ線分の長さの最小値は,Sの半径が1であることから,4\sqrt2-1……(答)

(2)

〇点\mathrm{P}の座標
線分\mathrm{PO}lは平行であるため,実数tを用いて\vec{\mathrm{OP}}=t\vec{\mathrm{AB}}=\left(-3t,-6t,-6t\right)とおける.
また,点\mathrm{P}S上の点であるから,
\left(-3t\right)^2+\left(-6t\right)^2+\left(-6t\right)^2=1\Leftrightarrow t=\pm\frac{1}{9}
\vec{\mathrm{OP}}の方向と\vec{\mathrm{AB}}の方向は等しいため,t=\frac{1}{9}が適当.
\therefore\mathrm{P}\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)……(答)
〇点\mathrm{Q}の座標
\vec{\mathrm{OQ}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{\mathrm{OB}}=\left(6\alpha+3\beta,-6\beta,-6\beta\right)(\alpha,\betaは実数)と表せる.
\mathrm{Q}S上の点であるため,
\left(6\alpha+3\beta\right)^2+\left(-6\beta\right)^2+\left(-6\beta\right)^2=1\Leftrightarrow36\alpha^2+81\beta^2+36\alpha\beta=1……①
また,\mathrm{OQ}\bot\mathrm{AQ}より,\vec{\mathrm{OQ}}\cdot\vec{\mathrm{AQ}}=0である.\vec{\mathrm{AQ}}=\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OA}}=\left(6\alpha+3\beta-6,-6\beta,-6\beta\right)であるから,
\left(6\alpha+3\beta,-6\beta,-6\beta\right)\cdot\left(6\alpha+3\beta-6,-6\beta,-6\beta\right)=0\Leftrightarrow36\alpha^2+81\beta^2+36\alpha\beta-36\alpha-18\beta=0……②
①②を連立すれば,
\left(\alpha,\beta\right)=\left(\frac{4\pm\sqrt{70}}{144},\frac{\mp\sqrt{70}}{72}\right)(複号同順)
となる.
\vec{\mathrm{OQ}}\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OB}}の方向を考えれば,0<\alpha,\beta<0であるから,
\left(\alpha,\beta\right)=\left(\frac{4+\sqrt{70}}{144},-\frac{\sqrt{70}}{72}\right)
が適当.
\thereforeQ\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)……(答)

(3)

上図のように点\mathrm{R}\mathrm{T}\mathrm{U}を取る.
\mathrm{OP}\mathrm{OQ}Sの半径に当たるから,\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|=\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=1である.
\therefore\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left|\vec{\mathrm{OP}}\right|\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|\cos{\angle\mathrm{POQ}}=\cos{\angle\mathrm{POQ}}
また,前問の結果より\vec{\mathrm{OP}}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right),\vec{\mathrm{OQ}}=\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)であるから,
\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{6},\frac{\sqrt{70}}{12},\frac{\sqrt{70}}{12}\right)=-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}
これらより,
\cos{\angle\mathrm{POQ}}=-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}
\angle\mathrm{POR}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{POQ}より,
\cos{\angle\mathrm{POR}}=\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{POQ}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{POQ}}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1+2\sqrt{70}}{18}}{2}}=\frac{\sqrt{17-2\sqrt{70}}}{6}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt7}{6}
\therefore\tan{\angle\mathrm{POR}}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2{\angle\mathrm{POR}}}-1}=\sqrt{\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{10}-\sqrt7}{6}\right)^2}-1}=\sqrt{35}+4\sqrt2
よって,
\mathrm{RP}=\mathrm{OP}\tan{\angle\mathrm{POR}}=\sqrt{35}+4\sqrt2
ところで,線分\mathrm{OT}(図中の点線)の長さは(1)の途中で求めた原点とl上の点との距離と等しく4\sqrt2である.また,\mathrm{PU}=\mathrm{OT}=4\sqrt2である.
よって,Cの底面の半径(\mathrm{RU})は,
\mathrm{RU}=\mathrm{RP}+\mathrm{PU}=\sqrt{35}+4\sqrt2+4\sqrt2=\sqrt{35}+8\sqrt2
となる.更に線分\mathrm{OA}の長さは6であるから,三平方の定理より,
\mathrm{AT}=\sqrt{{\mathrm{OA}}^2-{\mathrm{OT}}^2}=\sqrt{6^2-\left(4\sqrt2\right)^2}=2
である.また,\mathrm{TU}=\mathrm{OP}=1であるから,Cの高さ(\mathrm{AU})は,
\mathrm{AU}=\mathrm{AT}+\mathrm{TU}=2+1=3
よって,求める体積は,
\frac{1}{3}\cdot\pi\left(\sqrt{35}+8\sqrt2\right)^2\cdot3=\left(163+16\sqrt{70}\right)\pi……(答)

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