偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2018

2018年慶応大学経済学部|過去問徹底研究 大問6

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
xおよびx-1で割り切れるということはx\left(x-1\right)で割り切れるということである.これに気付けなくとも,F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)と表せることから,P\left(x\right)x-1を因数に持ち,Q\left(x\right)xを因数に持つということが分かれば,結局同じ議論ができる.後は,本解答のようにR\left(x\right)を導入し解析していく.R\left(x\right)の導入は「F\left(x\right)xで割り切れる」という情報と「F\left(x\right)x-1で割り切れる」という情報の両方ともを加味しているため,F\left(x\right)=xP\left(x\right)F\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)で考えるよりも都合が良い.
求めるのは最小の次数のものであるため,R\left(x\right)を0次,1次,2次,……と考えていけば良い.

(2)(3)は,(1)でf\left(x\right)が特定できてしまえば,典型問題の三次関数の接線の問題となる.特に捻りもなく,典型的な解法を取れば良い.

解答例

F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)と表せる.
(1)
F\left(x\right)はx\left(x-1\right)で割り切ることができる.その商をR\left(x\right)とおく.
すると,
F\left(x\right)=xP\left(x\right)=\left(x-1\right)Q\left(x\right)=x\left(x-1\right)R\left(x\right)
と表せる.
これより,
\begin{cases} P\left(x\right)=\left(x-1\right)R\left(x\right) \\ Q\left(x\right)=xR\left(x\right) \end{cases}……(*)
となる.
P\left(0\right)=-4より,(*)の上式にx=0を代入すると,
-4=-R\left(0\right)\Leftrightarrow R\left(0\right)=4
Q\left(1\right)=2より,(*)の下式にx=1を代入すると,
2=1\cdot R\left(1\right)\Leftrightarrow R\left(1\right)=2
よって,
\begin{cases} R\left(0\right)=4 \\ R\left(1\right)=2 \end{cases}
これを満たすR\left(x\right)で次数が最小のものは,R\left(x\right)=-2x+4である.
\therefore f\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(-2x+4\right)=-2x\left(x-1\right)\left(x-2\right)……(答)

(2)
f\left(x\right)=-2x^3+6x^2-4xであるから,f^\prime\left(x\right)=-6x^2+12x-4である.
よって,点\left(r,f\left(r\right)\right)=\left(r,-2r^3+6r^2-4r\right)における接線は,
y=\left(-6r^2+12r-4\right)x+4r^3-6r^2
よって,求める傾きは-6r^2+12r-4,y切片は4r^3-6r^2……(答)

(3)
接線y=\left(-6r^2+12r-4\right)x+4r^3-6r^2が点\left(s,t\right)を通るので,
t=\left(-6r^2+12r-4\right)s+4r^3-6r^2……(※)
が成り立つ.
y=f\left(x\right)=-2x^3+6x^2-4xは三次関数であり,複接線は引けないから,接線の本数と接点の個数は等しくなる.よって,(※)をrの三次方程式
4r^3+\left(-6s-6\right)r^2+12sr-4s-t=0
の解がちょうど2個存在すれば必要十分である.
g\left(r\right)=4r^3+\left(-6s-6\right)r^2+12sr-4s-t
とおくと,
g^\prime\left(r\right)=12r^2+\left(-12s-12\right)r+12s=12\left(r-s\right)\left(r-1\right)
である.
(ⅰ)s=1のとき
g^\prime\left(r\right)=12\left(r-1\right)^2となり,g^\prime\left(r\right)\geqq0(等号成立はr=1のときのみ)であるからg\left(r\right)は単調増加となる.このとき,g\left(r\right)=0となるrはただ1つしか存在しないため不適.
(ⅱ)s\neq1のとき
g^\prime\left(r\right)=0となるrは2つ(r=s,1)あり,かつr=s,1それぞれの前後でg^\prime\left(r\right)の符号が変化するから,g\left(r\right)は極大値を極小値を1つずつ持つ(r=s,1のどちらが極大値,極小値になるかはsと1の大小関係に依存する).この極大値もしくは極小値が0となるとき,g\left(r\right)=0となる解はちょうど2つ存在し,題意を満たす.
g\left(s\right)=4s^3+\left(-6s-6\right)s^2+12s\cdot s-4s-t=-2s^3+6s^2-4s-t
g\left(1\right)=4\cdot1^3+\left(-6s-6\right)\cdot1^2+12s\cdot1-4s-t=2s-t-2
より,極大値もしくは極小値が0となるのは,
-2s^3+6s^2-4s-t=0または,2s-t-2=0
のとき.
以上,(ⅰ)と(ⅱ)より,求める条件は,
-2s^3+6s^2-4s-t=0または,2s-t-2=0(ただし,s\neq1)……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。