偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2017

2017年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
典型問題であるため特筆事項なし.

(2)
前問と同様の解法を用いると考える.
前問では,中心座標が与えられていたためここから考えられたが,本問では中心座標が与えられていない.そこで,まずは中心を文字で置くことから始める.すると前問の解法の流れが使える.

(3)
まずは,半径の情報が与えられている円C_1の議論をする.(1)や(2)と同様に中心座標を文字で置いて議論すれば良い.
解答に至るには円C_2の中心に関する議論が必要になるから,円C_1と円C_2の情報をつなげる(というより円C_1の情報を円C_2の情報に変換する)ことを考える.本問では線分\mathrm{P}_\mathrm{1}\mathrm{P}_\mathrm{2}の長さの情報が与えられているため,これを使ってやれば良い.直線l_aの傾きが三角比でよく見る\sqrt3という値であることから,図形的に考えれば良いと直観する.

解答例

(1)1
(2)3
(3)(4)16
(5)5
(6)9
(7)(8)-4
(9)3

解説

(1)
中心が\left(1,3+\sqrt{10}\right)であり,y軸と接することから,円Cの半径は1である.……(答)
また,円Cは直線l_aと接することから,中心\left(1,3+\sqrt{10}\right)と直線l_aとの距離は半径の長さ1と等しくなる.
\therefore\frac{\left|a\cdot1-\left(3+\sqrt{10}\right)\right|}{\sqrt{a^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left(a-3-\sqrt{10}\right)^2=a^2+1\Leftrightarrow a=3……(答)

(2)
円の中心の座標を\left(\alpha,\beta\right)(\alpha,\betaは実数)とおく.すると,円Cの方程式は,
\left(x-\alpha\right)^2+\left(y-\beta\right)^2=4
まず,y軸と接することから,\alpha=\pm2
また,円Cは直線l_a\colon y=2xと接することから,中心\left(\alpha,\beta\right)と直線l_aとの距離は半径の長さ2と等しくなる.
\therefore\frac{\left|2\cdot\alpha-\beta\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=2\Leftrightarrow\left|2\alpha-\beta\right|=2\sqrt5\Leftrightarrow2\alpha-\beta=\pm2\sqrt5\Leftrightarrow\beta=2\alpha\pm2\sqrt5
よって,円の中心は\left(-2,-4-2\sqrt5\right),\left(-2,-4+2\sqrt5\right),\left(2,4-2\sqrt5\right),\left(2,4+2\sqrt5\right)の4点.この4点からなる平行四辺形の面積が求める面積であり,
4\cdot4\sqrt5=16\sqrt5……(答)

(3)
C_1の中心座標を\left(1,\alpha\right)(\alphaは正の実数.また,x座標が1となることは,半径が1であることとy軸に接することから明らか)とおく.
すると,円C_1の方程式は,
\left(x-1\right)^2+\left(y-\alpha\right)^2=1
と書ける.これが直線l_a\colon y=\sqrt3xと接することから,中心\left(1,\alpha\right)と直線l_aとの距離は半径の長さ1と等しくなる.
\therefore\frac{\left|\sqrt3\cdot1-\alpha\right|}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=1\Leftrightarrow\left|\sqrt3-\alpha\right|=2\Leftrightarrow\sqrt3-\alpha=\pm2\Leftrightarrow\alpha=\sqrt3\pm2
\alphaは正の実数であることより,\alpha=\sqrt3+2が適当.
よって,円C_1の方程式は\left(x-1\right)^2+\left(y-\sqrt3-2\right)^2=1であり,直線l_a\colon y=\sqrt3xとの接点\mathrm{P}_1の座標を求めると\left(\frac{2+\sqrt3}{2},\frac{3+2\sqrt3}{2}\right)と分かる.
下図のように考えると,\mathrm{P}_2の座標は\left(\frac{2+\sqrt3}{2}+2,\frac{3+2\sqrt3}{2}+2\sqrt3\right)=\left(\frac{6+\sqrt3}{2},\frac{3+6\sqrt3}{2}\right)と分かる.

C_2の中心の座標を\left(\beta,\gamma\right)(\beta,\gammaはともに正の実数)とすると,y軸と接することから円C_2の半径は\betaとなる.
また,中心\left(\beta,\gamma\right)は,点\mathrm{P}_2\left(\frac{6+\sqrt3}{2},\frac{3+6\sqrt3}{2}\right)を通る直線l_a\colon y=\sqrt3xの法線上にある.その法線の方程式は,y=-\frac{1}{\sqrt3}x+2+4\sqrt3であるから,\gamma=-\frac{1}{\sqrt3}\beta+2+4\sqrt3となる.
更に,中心\left(\beta,\gamma\right)と直線l_a\colon y=\sqrt3xとの距離は半径\betaと等しくなるから,
\frac{\left|\sqrt3\beta-\gamma\right|}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\beta\Leftrightarrow\sqrt3\beta-\gamma=\pm2\beta
\gamma=-\frac{1}{\sqrt3}\beta+2+4\sqrt3と連立し,更に\betaが正の実数であることを用いれば,
\beta=9-4\sqrt3……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。