偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2017

2017年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問4

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)(2)は典型問題であり特筆事項なし.
(3)について,Sの中心が訊かれていることとSの半径の情報が与えられていることから,Sの中心を文字でおき,Sの方程式を立式することを考える.その後は交点の座標を出し,計算すれば良い.

解答例

(1)
l上の点を\left(x,y,z\right)とおくと,\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}}=\left(-2,2,1\right)であることより,実数tを用いて,
\left(x,y,z\right)=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)+t\left(-2,2,1\right)=\left(1-2t,2t,\frac{1}{2}+t\right)
と書ける.
よって,yz平面(x=0)との交点はt=\frac{1}{2}のときであり,座標は\left(0,1,1\right)……(答)

(2)
\mathrm{P}\left(1-2t,2t,\frac{1}{2}+t\right)(ただしtは実数)として,
\mathrm{CP}=\sqrt{\left(1-2t-9\right)^2+\left\{2t-\left(-3\right)\right\}^2+\left(\frac{1}{2}+t\right)^2}=\sqrt{9t^2+45t+\frac{293}{4}}=\sqrt{9\left(t+\frac{5}{2}\right)^2+67}
よって,t=-\frac{5}{2}のとき\mathrm{CP}は最小となる.
\therefore\mathrm{P}\left(6,-5,-2\right)……(答)

(3)
球面Sの中心の座標は直線\mathrm{OC}上になることから,実数sを用いて,\left(9s,-3s,0\right)と書ける.よって,球面Sの方程式は,
\left(x-9s\right)^2+\left(y+3s\right)^2+z^2=1
と書ける.
これと直線l\colon\left(x,y,z\right)=\left(1-2t,2t,\frac{1}{2}+t\right)との交点は,
\left(1-2t-9s\right)^2+\left(2t+3s\right)^2+\left(\frac{1}{2}+t\right)^2=1\Leftrightarrow9t^2+\left(48s-3\right)t+90s^2-18s+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow t=\frac{1-16s\pm2\sqrt{-26s^2+10s}}{6}
よって,
\mathrm{Q}\left(1-2\cdot\frac{1-16s+2\sqrt{-26s^2+10s}}{6},2\cdot\frac{1-16s+2\sqrt{-26s^2+10s}}{6},\frac{1}{2}+\frac{1-16s+2\sqrt{-26s^2+10s}}{6}\right),\mathrm{R}\left(1-2\cdot\frac{1-16s-2\sqrt{-26s^2+10s}}{6},2\cdot\frac{1-16s-2\sqrt{-26s^2+10s}}{6},\frac{1}{2}+\frac{1-16s-2\sqrt{-26s^2+10s}}{6}\right)
と表せる(t2\sqrt{-26s^2+10s}の係数の\pmのどちらを点\mathrm{Q},点\mathrm{R}とするかは本来決められないが,上記のように+の方を点\mathrm{Q}-の方を点\mathrm{R}とおいて一般性を失わない).
これより,
\vec{\mathrm{QR}}=\left(-\frac{4\sqrt{-26s^2+10s}}{3},\frac{4\sqrt{-26s^2+10s}}{3},\frac{2\sqrt{-26s^2+10s}}{3}\right)
\therefore\left|\vec{\mathrm{QR}}\right|=\sqrt{\left(-\frac{4\sqrt{-26s^2+10s}}{3}\right)^2+\left(\frac{4\sqrt{-26s^2+10s}}{3}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{-26s^2+10s}}{3}\right)^2}=2\sqrt{-26s^2+10s}=2\sqrt{-26\left(s-\frac{5}{26}\right)^2+\frac{25}{26}}
よって,s=\frac{5}{26}のとき,線分\mathrm{QR}の長さは最大値2\sqrt{\frac{25}{26}}=\frac{5\sqrt{26}}{13}を取る.……(答)
また,このとき中心の座標は,\left(9\cdot\frac{5}{26},-3\cdot\frac{5}{26},0\right)=\left(\frac{45}{26},-\frac{15}{26},0\right)……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。