方針の立て方

(1)(2)は典型問題であり特筆事項なし．
(3)について， $S$ の中心が訊かれていることと $S$ の半径の情報が与えられていることから， $S$ の中心を文字でおき， $S$ の方程式を立式することを考える．その後は交点の座標を出し，計算すれば良い．

解答例

(1)
$l$ 上の点を $\left(x,y,z\right)$ とおくと， $\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}}=\left(-2,2,1\right)$ であることより，実数 $t$ を用いて，
$\left(x,y,z\right)=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)+t\left(-2,2,1\right)=\left(1-2t,2t,\frac{1}{2}+t\right)$
と書ける．
よって， $yz$ 平面( $x=0$ )との交点は $t=\frac{1}{2}$ のときであり，座標は $\left(0,1,1\right)$ ……(答)

(2)
$\mathrm{P}\left(1-2t,2t,\frac{1}{2}+t\right)$ (ただし $t$ は実数)として，
$\mathrm{CP}=\sqrt{\left(1-2t-9\right)^2+\left\{2t-\left(-3\right)\right\}^2+\left(\frac{1}{2}+t\right)^2}=\sqrt{9t^2+45t+\frac{293}{4}}=\sqrt{9\left(t+\frac{5}{2}\right)^2+67}$
よって， $t=-\frac{5}{2}$ のとき $\mathrm{CP}$ は最小となる．
$\therefore\mathrm{P}\left(6,-5,-2\right)$ ……(答)

(3)
球面 $S$ の中心の座標は直線 $\mathrm{OC}$ 上になることから，実数 $s$ を用いて， $\left(9s,-3s,0\right)$ と書ける．よって，球面 $S$ の方程式は，
$\left(x-9s\right)^2+\left(y+3s\right)^2+z^2=1$
と書ける．
これと直線 $l\colon\left(x,y,z\right)=\left(1-2t,2t,\frac{1}{2}+t\right)$ との交点は，
$\left(1-2t-9s\right)^2+\left(2t+3s\right)^2+\left(\frac{1}{2}+t\right)^2=1\Leftrightarrow9t^2+\left(48s-3\right)t+90s^2-18s+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow t=\frac{1-16s\pm2\sqrt{-26s^2+10s}}{6}$
よって，
$\mathrm{Q}\left(1-2\cdot\frac{1-16s+2\sqrt{-26s^2+10s}}{6},2\cdot\frac{1-16s+2\sqrt{-26s^2+10s}}{6},\frac{1}{2}+\frac{1-16s+2\sqrt{-26s^2+10s}}{6}\right),\mathrm{R}\left(1-2\cdot\frac{1-16s-2\sqrt{-26s^2+10s}}{6},2\cdot\frac{1-16s-2\sqrt{-26s^2+10s}}{6},\frac{1}{2}+\frac{1-16s-2\sqrt{-26s^2+10s}}{6}\right)$
と表せる( $t$ の $2\sqrt{-26s^2+10s}$ の係数の $\pm$ のどちらを点 $\mathrm{Q}$ ，点 $\mathrm{R}$ とするかは本来決められないが，上記のように $+$ の方を点 $\mathrm{Q}$ ， $-$ の方を点 $\mathrm{R}$ とおいて一般性を失わない)．
これより，
$\vec{\mathrm{QR}}=\left(-\frac{4\sqrt{-26s^2+10s}}{3},\frac{4\sqrt{-26s^2+10s}}{3},\frac{2\sqrt{-26s^2+10s}}{3}\right)$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{QR}}\right|=\sqrt{\left(-\frac{4\sqrt{-26s^2+10s}}{3}\right)^2+\left(\frac{4\sqrt{-26s^2+10s}}{3}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{-26s^2+10s}}{3}\right)^2}=2\sqrt{-26s^2+10s}=2\sqrt{-26\left(s-\frac{5}{26}\right)^2+\frac{25}{26}}$
よって， $s=\frac{5}{26}$ のとき，線分 $\mathrm{QR}$ の長さは最大値 $2\sqrt{\frac{25}{26}}=\frac{5\sqrt{26}}{13}$ を取る．……(答)
また，このとき中心の座標は， $\left(9\cdot\frac{5}{26},-3\cdot\frac{5}{26},0\right)=\left(\frac{45}{26},-\frac{15}{26},0\right)$ ……(答)