偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2017

2017年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問6

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
絶対値の問題では,絶対値の中身の正負で場合分けをする.すると,x=-1,0を境目にして場合分けが生じることが分かるため,本解答の(ⅰ)~(ⅲ)のように場合分けすることが分かる.

(2)
考える図形を図示して,どこの面積を求めれば良いかを特定する.後は積分計算を行うだけ.

(3)
解析を行うには,点\mathrm{A},\mathrm{B}の座標を具体的に書き下す必要があるが,そのままでは全部で(点\mathrm{A},\mathrm{B}がどの関数上に乗っているかで)6通りを考えることになる.高々6通りであるから,このまま考えても良いが,もう少し絞れないかを検討してみる.実際に満たす点\mathrm{A},\mathrm{B}を具体的に考えると,点\mathrm{A}y軸の左側,点\mathrm{B}y軸の右側になければならないと分かるから,点\mathrm{B}は必ずF\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}上に乗っていると分かる.これより,考えるべきパターンは2通りに減少する.後は,本解答のように解析するのみ.

解答例

(1)
\left|x+1\right|=\begin{cases} -x-1\left(x\leqq-1\right) \\ x+1\left(-1\leqq x\right) \end{cases},\int_{-1}^{x}\left(1-\left|t\right|\right)dt=\begin{cases} \int_{-1}^{x}\left(1+t\right)dt\left(x\leqq0\right) \\ \int_{-1}^{0}\left(1+t\right)dt+\int_{0}^{x}\left(1-t\right)dt\left(0\leqq\ x\right) \end{cases}となる.
(ⅰ)x\leqq-1のとき
F\left(x\right)=-x-1+\int_{-1}^{x}\left(1+t\right)dt=-x-1+\left[t+\frac{1}{2}t^2\right]_{-1}^x=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}
(ⅱ)-1\leqq x\leqq0のとき
F\left(x\right)=x+1+\int_{-1}^{x}\left(1+t\right)dt=x+1+\left[t+\frac{1}{2}t^2\right]_{-1}^x=\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}
(ⅲ)0\leqq xのとき
F\left(x\right)=x+1+\int_{-1}^{0}\left(1+t\right)dt+\int_{0}^{x}\left(1-t\right)dt=x+1+\left[t+\frac{1}{2}t^2\right]_{-1}^0+\left[t-\frac{1}{2}t^2\right]_0^x=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}
以上,(ⅰ)~(ⅲ)より,
F\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\left(x\leqq-1\right) \\ \frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}\left(-1\leqq x\leqq0\right) \\ -\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}\left(0\leqq x\right) \end{cases}……(答)

(2)
前問で求めたF\left(x\right)のグラフを描くと,

上図.
よって,求める面積は,
\int_{-1}^{0}\left(\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}\right)dx+\int_{0}^{2+\sqrt7}\left(-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}\right)dx=\left[\frac{1}{6}x^3+x^2+\frac{3}{2}x\right]_{-1}^0+\left[-\frac{1}{6}x^3+x^2+\frac{3}{2}x\right]_0^{2+\sqrt7}=\frac{19+7\sqrt7}{3}……(答)

(3)
a<0かつ0<bが必要であり,\mathrm{B}\left(b,-\frac{1}{2}b^2+2b+\frac{3}{2}\right)となる.
(ⅰ)a\leqq-1のとき
\mathrm{A}\left(a,\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}\right)となる.
よって,\mathrm{A},\mathrm{B}を結ぶ線分の中点の座標は,\left(\frac{a+b}{2},\frac{a^2-b^2}{4}+b+\frac{1}{2}\right)と書ける.これが\left(0,\frac{3}{2}\right)であるとき,
\begin{cases} \frac{a+b}{2}=0 \\ \frac{a^2-b^2}{4}+b+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=-1 \\ b=1 \end{cases}
これはa\leqq-1かつ0<bを満たす.よって,\mathrm{A}\left(-1,0\right),\mathrm{B}\left(1,3\right)となる.
このとき傾きmは,m=\frac{3}{2}となる.
(ⅱ)-1\leqq a<0のとき
\mathrm{A}\left(a,\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{3}{2}\right)となる.
よって,\mathrm{A},\mathrm{B}を結ぶ線分の中点の座標は,\left(\frac{a+b}{2},\frac{a^2-b^2}{4}+a+b+\frac{3}{2}\right)と書ける.これが\left(0,\frac{3}{2}\right)であるとき,
\begin{cases} \frac{a+b}{2}=0 \\ \frac{a^2-b^2}{4}+a+b+\frac{3}{2}=\frac{3}{2} \end{cases}\Leftrightarrow a+b=0
-1\leqq a<0より,0<b\leqq1.これは0<bを満たす.よって,\mathrm{A}\left(a,\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{3}{2}\right),\mathrm{B}\left(-a,-\frac{1}{2}a^2-2a+\frac{3}{2}\right)となる.
このとき傾きmは,m=\frac{-\frac{1}{2}a^2-2a+\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{3}{2}\right)}{-a-a}=\frac{a+4}{2}となる.
-1\leqq a<0より,\frac{3}{2}\leqq\frac{a+4}{2}<2\Leftrightarrow\frac{3}{2}\leqq m<2
以上,(ⅰ)と(ⅱ)より,求める範囲は,
0<b\leqq1,\frac{3}{2}\leqq m<2……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。