偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應経済2017

2017年慶応大学経済学部|過去問徹底研究 大問5

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

全て基本問題であり,特筆事項なし.

解答例

(1)
z\bar{z}=\left|z\right|^2=\left(a^x\mathrm{cos} {y}\right)^2+\left(a^x\mathrm{sin} {y}\right)^2=a^{2x}
よって,z\bar{z}の実部はa^{2x}で,虚部は0……(答)
z^2=\left\{a^x\mathrm{cos} {y}+\left(a^x\mathrm{sin} {y}\right)i\right\}^2=a^{2x}\left\{{\mathrm{cos}}^2y-{\mathrm{sin}}^2y+2i\mathrm{sin} {y}\mathrm{cos} {y}\right\}=a^{2x}\mathrm{cos} {2y}+ia^{2x}\mathrm{sin} {2y}
よって,z^2の実部はa^{2x}\mathrm{cos} {2y}で,虚部はa^{2x}\mathrm{sin} {2y}……(答)

(2)
x=0のとき,z^2=\mathrm{cos} {2y}+i\mathrm{sin} {2y}z=\cos{y}-i\sin{y}
\therefore z^2+\bar{z}=0\Leftrightarrow\left(\mathrm{cos}{2y}+\mathrm{cos} {y}\right)+i\left(\mathrm{sin}{2y}-\mathrm{sin} {y}\right)=0
\therefore\begin{cases} \mathrm{cos}{2y}+\mathrm{cos} {y}=0 \\ \mathrm{sin}{2y}-\mathrm{sin} {y}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 2{\mathrm{cos}}^2y+\mathrm{cos} {y}-1=0 \\ 2\mathrm{sin}{y}\mathrm{cos} {y}-\mathrm{sin} {y}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \left(2\mathrm{cos}{y}-1\right)\left(\mathrm{cos}{y}+1\right) \\ \mathrm{sin}{y}\left(2\mathrm{cos}{y}-1\right)=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \mathrm{cos}{y}=-1,\frac{1}{2} \\ \mathrm{sin}{y}=0,\mathrm{cos} {y}=\frac{1}{2} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=\frac{1}{3}\pi,\pi,\frac{5}{3}\pi \\ y=0,\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5}{3}\pi \end{cases}\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}\pi,\pi,\frac{5}{3}\pi……(答)

(3)
\bar{z}=a^x\mathrm{cos} {y}-ia^x\mathrm{sin} {y}より,\bar{z}の実部はa^x\mathrm{cos} {y}で,虚部は-a^x\mathrm{sin} {y}である.
\therefore a^x\mathrm{cos} {y}>-a^x\mathrm{sin} {y}\Leftrightarrow\mathrm{cos} {y}+\mathrm{sin} {y}>0\Leftrightarrow\sqrt2\sin{\left(y+\frac{\pi}{4}\right)}>0\Leftrightarrow0\leqq y<\frac{3}{4}\pi,\frac{7}{4}\pi<y<2\pi
よって,求める範囲は
xは全ての実数,0\leqq y<\frac{3}{4}\pi,\frac{7}{4}\pi<y<2\pi……(答)

(4)
真数条件より,
\begin{cases} a^x\mathrm{cos} {y}>0 \\ a^x\mathrm{sin} {y}>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \mathrm{cos}{y}>0 \\ \mathrm{sin}{y}>0 \end{cases}\Leftrightarrow 0<y<\frac{1}{2}\pi
wの実部は\log_a{\left(a^x\cos{y}\right)}=x+\log_a{\cos{y}}で,虚部は\log_a{\left(a^x\sin{y}\right)}=x+\log_a{\sin{y}}であるから,x+\log_a{\cos{y}}>x+\log_a{\sin{y}}\Leftrightarrow\log_a{\frac{\cos{y}}{\sin{y}}}>0
0<a<1より,
0<\frac{\cos{y}}{\sin{y}}<1
真数条件0<y<\frac{1}{2}\piを考慮すれば,0<\frac{\cos{y}}{\sin{y}}は必ず満たされ,\frac{\cos{y}}{\sin{y}}<1\Leftrightarrow\cos{y}-\sin{y}<0\Leftrightarrow\sqrt2\sin{\left(y+\frac{3}{4}\pi\right)}<0\Leftrightarrow\frac{\pi}{4}<y<\frac{\pi}{2}となる.
よって,求める範囲は
xは全ての実数,\frac{1}{4}\pi<y<\frac{1}{2}\pi……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。