偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2018

2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる.
(ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない.コンビネーションの公式:{{_m^}\mathrm{C}}_n={{_{m-1}^}\mathrm{C}}_n+{{_{m-1}^}\mathrm{C}}_{n-1}は本問では度々使う.入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが,余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない.この公式を覚えてなくとも本問では回答欄の形式から,どう変形していけば良いかが分かる.

解答例

(ⅰ)
(45)0
(46)5
(47)(48)10
(49)0
(50)5
(51)(52)\frac{3}{8}
(53)(54)10
(55)(56)15
(57)(58)\frac{1}{8}

(ⅱ)
(59)3
(60)3
(61)2
(62)2
(63)4
(64)4
(65)2
(66)5
(67)7
(68)5
(69)7
(70)6
(71)5
(72)6
(73)5
(74)7
(75)5
(76)2
(77)5

(ⅲ)
(ア)k-1
(イ)\frac{k}{2}
(ウ)\frac{k}{2}
(エ)p-q
(オ)\frac{k}{2}
(カ)k
(キ)\frac{k}{2}
(ク)\frac{k+1}{2}
(ケ)\frac{k-1}{2}
(コ)\frac{k+1}{2}
(サ)\frac{k+1}{2}
(シ)t=0

解説

(ⅰ)
客3の待ち時間は0,5,10分のいずれか.
W\left(3,0\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)+\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}
W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}
よって,
W\left(3,0\right)=\frac{1}{2},W\left(3,5\right)=W\left(3,10\right)=\frac{1}{4}……(答)
客4の待ち時間は0,5,10,15分のいずれか.
W\left(4,0\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}
W\left(4,5\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}
W\left(4,10\right)=\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}
W\left(4,15\right)=\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}
よって,
W\left(4,0\right)=W\left(4,5\right)=\frac{3}{8},W\left(4,10\right)=W\left(4,15\right)=\frac{1}{8}……(答)

(ⅱ)
〇(59)~(62)について
W\left(k,5\left(k-1\right)\right)に対して帰納法の仮定が使える.k+\left(k-1\right)=2k-1は奇数であるから,④のn+tが奇数のときが適用される.
\therefore W\left(k,5\left(k-1\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k……(答)
〇(63)~(65)について
W\left(k,5\left(k-2\right)\right)に対して帰納法の仮定が使える.k+\left(k-2\right)=2k-2は偶数であるから,④のn+tが偶数のときが適用される.
\therefore W\left(k,5\left(k-2\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-2\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k……(答)
〇(66)と(67)について
題意を満たす場合,時系列を図示すると,

上図.
Aの手続きは5分かかり,Bの手続きは15分かかることから,W\left(k+1,5t\right)は,客k10+5t-5=5\left(t+1\right)分待った後にAを行う確率と,客k10+5t-15=5\left(t-1\right)分待った後にBを行う確率の和になる.……(答)

〇(68)~(72)について
W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)は,④でt\rightarrow t+1,t-1としたものと考える.するとn+tが奇数のときが適用される.
\therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}……(答)
これらを⑤に代入すれば,
W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}……(答)
(※最後の式変形の際,{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}-1\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}-1\right)!}=\left(\frac{k-t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\left(\frac{k+t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}を用いた)
〇(73)~(77)について
W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)は,④でt\rightarrow t+1,t-1としたものと考える.するとn+tが偶数のときが適用される.
\therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}……(答)
これらを⑤に代入すれば,
W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}……(答)

(ⅲ)
〇(ア)~(ウ)について
W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)は④のn=k,t=1,0のパターンであり,n+tが奇数,偶数のときが適用される.
\therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}……(答)
〇(エ)について
{_p^}\mathrm{C}_q=\frac{p!}{\left(p-q\right)!q!}=\frac{p!}{\left\{p-\left(p-q\right)\right\}!\left(p-q\right)!}={_p^}\mathrm{C}_{p-q}……(答)
〇(オ)~(キ)について
(エ)の結果より{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}={_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}である.
(ア)~(ウ)の結果を⑥に代入して,
W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}……(答)
(※最後の式変形の際,{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}-1\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}-1\right)!}=\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(k-\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}を用いた)
〇(ク)~(ケ)について
W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)は④のn=k,t=1,0のパターンであり,n+tが偶数,奇数のときが適用される.
\therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}……(答)
〇(コ)と(サ)について
(ク)~(ケ)の結果を⑥に代入して,
W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}……(答)
〇(シ)について
W\left(k+1,0\right)n=k+1のときの中でも,(ⅱ)で考えられていなかったt=0のときである.……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。