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2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問3

2019.10.14

方針の立て方 (ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる. (ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない.コンビネーションの公式:は本問では度々使う.入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが,余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない.この公式を覚えてなくとも本問では回答

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  • 方針の立て方

    (ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる.
    (ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない.コンビネーションの公式:{{_m^}\mathrm{C}}_n={{_{m-1}^}\mathrm{C}}_n+{{_{m-1}^}\mathrm{C}}_{n-1}は本問では度々使う.入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが,余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない.この公式を覚えてなくとも本問では回答欄の形式から,どう変形していけば良いかが分かる.

    解答例

    (ⅰ)
    (45)0
    (46)5
    (47)(48)10
    (49)0
    (50)5
    (51)(52)\frac{3}{8}
    (53)(54)10
    (55)(56)15
    (57)(58)\frac{1}{8}

    (ⅱ)
    (59)3
    (60)3
    (61)2
    (62)2
    (63)4
    (64)4
    (65)2
    (66)5
    (67)7
    (68)5
    (69)7
    (70)6
    (71)5
    (72)6
    (73)5
    (74)7
    (75)5
    (76)2
    (77)5

    (ⅲ)
    (ア)k-1
    (イ)\frac{k}{2}
    (ウ)\frac{k}{2}
    (エ)p-q
    (オ)\frac{k}{2}
    (カ)k
    (キ)\frac{k}{2}
    (ク)\frac{k+1}{2}
    (ケ)\frac{k-1}{2}
    (コ)\frac{k+1}{2}
    (サ)\frac{k+1}{2}
    (シ)t=0

    解説

    (ⅰ)
    客3の待ち時間は0,5,10分のいずれか.
    W\left(3,0\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)+\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
    W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}
    W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}
    よって,
    W\left(3,0\right)=\frac{1}{2},W\left(3,5\right)=W\left(3,10\right)=\frac{1}{4}……(答)
    客4の待ち時間は0,5,10,15分のいずれか.
    W\left(4,0\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}
    W\left(4,5\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}
    W\left(4,10\right)=\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}
    W\left(4,15\right)=\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}
    よって,
    W\left(4,0\right)=W\left(4,5\right)=\frac{3}{8},W\left(4,10\right)=W\left(4,15\right)=\frac{1}{8}……(答)

    (ⅱ)
    〇(59)~(62)について
    W\left(k,5\left(k-1\right)\right)に対して帰納法の仮定が使える.k+\left(k-1\right)=2k-1は奇数であるから,④のn+tが奇数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\left(k-1\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k……(答)
    〇(63)~(65)について
    W\left(k,5\left(k-2\right)\right)に対して帰納法の仮定が使える.k+\left(k-2\right)=2k-2は偶数であるから,④のn+tが偶数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\left(k-2\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-2\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k……(答)
    〇(66)と(67)について
    題意を満たす場合,時系列を図示すると,

    上図.
    Aの手続きは5分かかり,Bの手続きは15分かかることから,W\left(k+1,5t\right)は,客k10+5t-5=5\left(t+1\right)分待った後にAを行う確率と,客k10+5t-15=5\left(t-1\right)分待った後にBを行う確率の和になる.……(答)

    〇(68)~(72)について
    W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)は,④でt\rightarrow t+1,t-1としたものと考える.するとn+tが奇数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}……(答)
    これらを⑤に代入すれば,
    W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}……(答)
    (※最後の式変形の際,{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}-1\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}-1\right)!}=\left(\frac{k-t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\left(\frac{k+t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}を用いた)
    〇(73)~(77)について
    W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)は,④でt\rightarrow t+1,t-1としたものと考える.するとn+tが偶数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}……(答)
    これらを⑤に代入すれば,
    W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}……(答)

    (ⅲ)
    〇(ア)~(ウ)について
    W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)は④のn=k,t=1,0のパターンであり,n+tが奇数,偶数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}……(答)
    〇(エ)について
    {_p^}\mathrm{C}_q=\frac{p!}{\left(p-q\right)!q!}=\frac{p!}{\left\{p-\left(p-q\right)\right\}!\left(p-q\right)!}={_p^}\mathrm{C}_{p-q}……(答)
    〇(オ)~(キ)について
    (エ)の結果より{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}={_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}である.
    (ア)~(ウ)の結果を⑥に代入して,
    W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}……(答)
    (※最後の式変形の際,{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}-1\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}-1\right)!}=\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(k-\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}を用いた)
    〇(ク)~(ケ)について
    W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)は④のn=k,t=1,0のパターンであり,n+tが偶数,奇数のときが適用される.
    \therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}……(答)
    〇(コ)と(サ)について
    (ク)~(ケ)の結果を⑥に代入して,
    W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}……(答)
    〇(シ)について
    W\left(k+1,0\right)n=k+1のときの中でも,(ⅱ)で考えられていなかったt=0のときである.……(答)

2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問2

2019.10.03

方針の立て方 (30)~(37)は基本問題であるため特筆事項なし. (38)~(42)も基本的には,2次関数の接線の問題であるが,が4の倍数であるという条件が付いていることから,について解いたときの分数を含む項の処理をしなければならないと考える.後は①を満たし,かつが4の倍数になるを探せば良い.「①

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  • 方針の立て方
    (30)~(37)は基本問題であるため特筆事項なし.
    (38)~(42)も基本的には,2次関数の接線の問題であるが,b_1が4の倍数であるという条件が付いていることから,b_1について解いたときの分数を含む項の処理をしなければならないと考える.後は①を満たし,かつb_1が4の倍数になるa_1を探せば良い.「①を満たす」と「b_1が4の倍数になる」を両方一気に考えるのは難しいため,最初は「b_1が整数になる」と条件を緩めて考えよう.
    (C)は代入するだけ.
    (43)と(44)について.\left[a_n\right]の処理をせねばならないと考える.ガウス記号の問題では,まずガウス記号の基本性質\left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leqq x<n+1を使うことを考えよう.すると,本問はa_nの評価をすることになるが,a_nの中でも厄介なのは\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^nの項であるから,\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^nに焦点を当てて評価をしよう.
    (D)について.(33)~(35)で求めた漸化式を解けば良い.そのためにまず,a_nを削除する.a_nは一般項が求まっているため,a_nの削除は造作もない.すると,漸化式はb_{n+1}=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+54+\frac{1}{3}b_nとなる.この後の処理だが,累乗を含む漸化式の典型解法は使えない(+54の項がネックになる)ため,隣接二項間漸化式の原理を応用することを考える.即ち,等比型の漸化式に帰着することを考える.今回ならば,\alpha,\betaを実数としてb_{n+1}-\alpha\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-\beta=\frac{1}{3}\left\{b_n-\alpha\left(\frac{2}{3}\right)^n-\beta\right\}と変形することを考えればよい.後は,等比型漸化式の解法を取れば良い.

    解答例
    (30)(31)\frac{2}{3}
    (32)6
    (33)(34)\frac{1}{3}
    (35)3
    (36)(37)18
    (38)(39)(40)\frac{55}{3}
    (41)(42)84
    (C)\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18
    (43)(44)16
    (D)\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+81

    解説
    f_{n+1}\left(x\right)=x^2+a_{n+1}x+b_{n+1}
    一方で,f_{n+1}\left(x\right)は関数g\left(x\right)\cdot f_n\left(x\right)の導関数であるから,
    f_{n+1}\left(x\right)=\left\{g\left(x\right)\cdot f_n\left(x\right)\right\}^\prime=\left\{\left(\frac{1}{3}x+3\right)\left(x^2+a_nx+b_n\right)\right\}^\prime=\left\{\frac{1}{3}x^3+\left(\frac{1}{3}a_n+3\right)x^2+\left(\frac{1}{3}b_n+3a_n\right)x+3b_n\right\}^\prime=x^2+\left(\frac{2}{3}a_n+6\right)x+\frac{1}{3}b_n+3a_n
    である.これらより,f_{n+1}\left(x\right)についての等式が立ち,
    x^2+a_{n+1}x+b_{n+1}=x^2+\left(\frac{2}{3}a_n+6\right)x+\frac{1}{3}b_n+3a_n
    係数比較をすると,
    \begin{cases} a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+6 \\ b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+3a_n \end{cases}……(答)
    が得られる.
    a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+6\Leftrightarrow a_{n+1}-18=\frac{2}{3}\left(a_n-18\right)
    より,
    a_n-18=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\Leftrightarrow a_n=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18
    となる.よって,全ての自然数nについてa_n>a_{n+1}が成り立つには,
    a_n>a_{n+1}\Leftrightarrow\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18>\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n+18\Leftrightarrow a_1-18>0\Leftrightarrow a_1>18
    が成り立つとき.よって,求めるa_1の条件は,
    a_1>18……(答)
    さて,放物線y=f_1\left(x\right)=x^2+a_1x+b_1について.
    {f_1}^\prime\left(x\right)=2x+a_1である.
    放物線y=f_1\left(x\right)と直線y=g\left(x\right)の接点の座標を\left(t,t^2+a_1t+b_1\right)とすると,接線の方程式はy=\left(2t+a_1\right)x-t^2+b_1と表せる.これとy=g\left(x\right)=\frac{1}{3}x+3が一致する.係数比較すると,
    \begin{cases} 2t+a_1=\frac{1}{3} \\ -t^2+b_1=3 \end{cases}
    2式からtを消去すると,
    b_1-3=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-a_1\right)^2
    となる.ここでb_1が4の倍数のとき,b_1-3は整数であるから,\frac{1}{3}-a_1は2の倍数となる必要がある.
    よって,①を満たし,かつ\frac{1}{3}-a_1が2の倍数となるa_1の最小値の候補は,a_1=18+\frac{1}{3}=\frac{55}{3}がある.このとき,a_1=\frac{55}{3}b_1-3=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-a_1\right)^2に代入して計算すると,b_1=84となり,これは4の倍数となっている.
    \therefore\left(a_1,b_1\right)=\left(\frac{55}{3},84\right)……(答)
    数列\left\{a_n\right\}の一般項はa_n=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18であったから,a_1=\frac{55}{3}のとき,
    a_n=\left(\frac{55}{3}-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18……(答)
    となる.
    また,
    0<\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n\leqq\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^1=\frac{1}{3}<1
    より,18<\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18<19\Leftrightarrow18<a_n<19であるから,
    \left[a_n\right]=18
    \therefore a_n-\left[a_n\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n
    よって,a_n-\left[a_n\right]<0.001となるような最小のnは,
    \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n<0.001\Leftrightarrow{\mathrm{log}}_{10}{\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}}<{\mathrm{log}}_{10}{0.001}\Leftrightarrow n\left({\mathrm{log}}_{10}{2}-{\mathrm{log}}_{10}{3}\right)-{\mathrm{log}}_{10}{2}\frac{3-{\mathrm{log}}_{10}{2}}{{\mathrm{log}}_{10}{3}-{\mathrm{log}}_{10}{2}}\fallingdotseq\frac{3-0.301}{0.477-0.301}=15.3\cdots\cdots
    より,n=16……(答)
    更に,②,③でa_1,b_1を定義すれば,
    b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+3a_n=\frac{1}{3}b_n+3\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18\right\}=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+54+\frac{1}{3}b_n\Leftrightarrow b_{n+1}-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-81=\frac{1}{3}\left\{b_n-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n-81\right\}
    であるから,
    b_n-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n-81=\left\{b_1-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^1-81\right\}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\left\{84-\frac{9}{2}\cdot\frac{2}{3}-81\right\}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=0\Leftrightarrow b_n=\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+81……(答)

2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問1

2019.10.03

方針の立て方 (ⅰ) 3次元の図形は作図が難しく考えにくいため,適当な平面で切って2次元の問題に帰着する.(8)と(9)は(3)と(4)の問題を一般化したパターンである.そのため(3)と(4)の考え方を応用すればよい. (ⅱ) (10)~(20)までは基本問題であり特筆事項なし. (21)~(25)

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  • 方針の立て方
    (ⅰ)
    3次元の図形は作図が難しく考えにくいため,適当な平面で切って2次元の問題に帰着する.(8)と(9)は(3)と(4)の問題を一般化したパターンである.そのため(3)と(4)の考え方を応用すればよい.

    (ⅱ)
    (10)~(20)までは基本問題であり特筆事項なし.
    (21)~(25)について.「\vec{\mathrm{OA}}\vec{\mathrm{BD}}が平行である」という情報と「\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}」という情報を数式化する.「2つのベクトルが平行である」という情報は「2つのベクトルが実数倍だけ違う」という情報に,「2つのベクトルが垂直である」という情報は「2つのベクトルの内積が0となる」という情報に言い換えると数式化できる.後は,\vec{\mathrm{BD}}のみ始点が\mathrm{O}でないため,始点を\mathrm{O}に揃えるという変形が思いつく.
    (26)~(29)について.これも始点がバラバラであるから,始点を\mathrm{O}に揃えると解法を得られる.
    (A)と(B)は,ベクトルによる三角形の面積公式を利用すれば良い.本解答では座標を用いた三角形の面積公式を応用している.

    解答例
    (ⅰ)
    (1)(2)15
    (3)(4)10
    (5)5
    (6)(7)10
    (8)(9)14

    (ⅱ)
    (10)6
    (11)(12)24
    (13)(14)-6
    (15)(16)-3
    (17)3
    (18)(19)-3
    (20)3
    (21)4
    (22)(23)\frac{1}{2}
    (24)(25)\frac{1}{2}
    (26)(27)\frac{1}{4}
    (28)(29)\frac{1}{6}
    (A)3\sqrt3
    (B)24\sqrt3

    解説
    (ⅰ)
    r_1=\sqrt5のとき((1)と(2)について)
    断面図を考えると,

    S_0S_1が交わってできる円の半径は上図の破線に当たる.
    両円の中心と交点で作られる三角形は正三角形であるから,破線の長さは,\sqrt5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}
    よって,求める円周の長さは2\pi\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}\pi……(答)

    S_0S_1が交わってできる円の円周の長さが最大となるとき((3)~(7)について)

    上図のように,S_0S_1が交わってできる円の半径がS_0の半径と一致するとき,円周が最大となる.
    三平方の定理より,
    r_1=\sqrt{\left(\sqrt5\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2}=\sqrt{10}……(答)
    また,直線lS_0S_1の位置関係について作図すると,

    上図(実際にはx軸対称にもう1本直線lが存在するが,求める座標は同じになるため,上図の1本のみ考える).直線lの方程式をy=ax+b\left(0<a,b\right)とすると,S_0S_1の接線であるから,
    \begin{cases} \frac{\left|-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{5} \\ \frac{\left|-5a-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{10} \end{cases}\Leftrightarrow \left(a,b\right)=\left(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}},\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}}\right)
    よって,直線lの方程式は,y=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}.よって,求める座標のx座標は,
    0=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}\Leftrightarrow x=-\sqrt5-\sqrt{10}
    よって,求める座標は,\left(-\sqrt5-\sqrt{10},0,0\right)……(答)
    r_kr_0の100倍以上となるとき((8)と(9)について)
    (3)と(4)を考えたときと同様に考えると,S_{k-1}S_kが交わってできる円の円周の長さが最大となるのは,S_{k-1}S_kが交わってできる円の半径がS_{k-1}の半径と一致するときである.
    \therefore r_k=\sqrt2r_{k-1}
    この漸化式を解くと,
    r_k=r_0\left(\sqrt2\right)^k\Leftrightarrow\frac{r_k}{r_0}=\left(\sqrt2\right)^k
    となる.r_kr_0の100倍以上となるのは,
    100r_0\leqq r_k\Leftrightarrow100\leqq\frac{r_k}{r_0}\Leftrightarrow100\leqq\left(\sqrt2\right)^k
    が成り立つとき.この不等式が成り立つのは14\leqq kのときである.……(答)

    (ⅱ)
    \left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2,\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2,\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}の値((10)~(14)について)
    \left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2=\left(-\sqrt3\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2=6……(答)
    \left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2=\left(3+\sqrt3\right)^2+\left(3-\sqrt{3}\right)^2=24……(答)
    \vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=-\sqrt3\cdot\left(3+\sqrt3\right)+\sqrt3\cdot\left(3-\sqrt3\right)=-6……(答)
    〇点\mathrm{C}の座標((15)~(20)について)
    \vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}=-2\cdot\left(-\sqrt3,\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)
    よって,点\mathrm{C}の座標は\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)……(答)
    \left|\vec{\mathrm{BD}}\right|\vec{\mathrm{OA}}((21)~(25)について)
    \vec{\mathrm{OA}}\vec{\mathrm{BD}}は平行であるから,実数kを用いて\vec{\mathrm{BD}}=k\vec{\mathrm{OA}}と書ける.
    \vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OB}}であるから,
    \vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}
    と書ける.
    \vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}より,
    \vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=0\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}\right)=0\Leftrightarrow24-6k=0\Leftrightarrow k=4
    (※途中で(11)~(14)の結果を用いた)
    よって,\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}であり,これより,\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|=4\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|……(答)
    また,\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}であり,\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}であるから,連立すると,
    \vec{\mathrm{OD}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}+4\vec{\mathrm{OA}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}……(答)

    \frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}の値((26)と(27)について)
    \mathrm{E}は直線\mathrm{OB}上の点であるから,\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}(kは実数)と表せる.
    また,点\mathrm{E}は直線\mathrm{CD}上の点でもあるから,\vec{\mathrm{OE}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}(sは実数)とも表せる.
    ここで,
    \vec{\mathrm{OB}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\vec{\mathrm{OA}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\left(\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}\right)=-2\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}
    より,\vec{\mathrm{OE}}について等式を立てると,
    -2k\vec{\mathrm{OC}}-k\vec{\mathrm{OD}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}
    両辺の係数比較をすると,
    \begin{cases} -2k=s \\ -k=1-s \end{cases}\Leftrightarrow\left(k,s\right)=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
    \therefore\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}
    \therefore\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OB}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\left(-3\vec{\mathrm{OE}}\right)\right|}=\frac{1}{4}……(答)
    \vec{\mathrm{AE}}((28)と(29)について)
    \vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}より,
    \vec{\mathrm{AE}}=\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OA}}=-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}
    一方,\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}より,
    \vec{\mathrm{DC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}=\left(-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\right)-\left(\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}\right)=-6\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OB}}=6\left(-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\right)
    これらより,
    \vec{\mathrm{DC}}=6\vec{\mathrm{AE}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AE}}=\frac{1}{6}\vec{\mathrm{DC}}……(答)

    \triangle\mathrm{OAC}\triangle\mathrm{BCD}の面積((A)と(B)について)
    \vec{\mathrm{OA}}=\left(-\sqrt3,\sqrt3\right),\vec{\mathrm{OC}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)より,
    \triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\left|-\sqrt3\left(-3-\sqrt3\right)-\sqrt3\left(-3+\sqrt3\right)\right|=3\sqrt3……(答)
    \vec{\mathrm{BC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OB}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-6,-6\right),\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}=\left(-4\sqrt3,4\sqrt3\right)より,
    \triangle\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\left|-6\cdot4\sqrt3-\left(-6\right)\cdot\left(-4\sqrt3\right)\right|=24\sqrt3……(答)

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