偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2018

2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(30)~(37)は基本問題であるため特筆事項なし.
(38)~(42)も基本的には,2次関数の接線の問題であるが,b_1が4の倍数であるという条件が付いていることから,b_1について解いたときの分数を含む項の処理をしなければならないと考える.後は①を満たし,かつb_1が4の倍数になるa_1を探せば良い.「①を満たす」と「b_1が4の倍数になる」を両方一気に考えるのは難しいため,最初は「b_1が整数になる」と条件を緩めて考えよう.
(C)は代入するだけ.
(43)と(44)について.\left[a_n\right]の処理をせねばならないと考える.ガウス記号の問題では,まずガウス記号の基本性質\left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leqq x<n+1を使うことを考えよう.すると,本問はa_nの評価をすることになるが,a_nの中でも厄介なのは\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^nの項であるから,\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^nに焦点を当てて評価をしよう.
(D)について.(33)~(35)で求めた漸化式を解けば良い.そのためにまず,a_nを削除する.a_nは一般項が求まっているため,a_nの削除は造作もない.すると,漸化式はb_{n+1}=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+54+\frac{1}{3}b_nとなる.この後の処理だが,累乗を含む漸化式の典型解法は使えない(+54の項がネックになる)ため,隣接二項間漸化式の原理を応用することを考える.即ち,等比型の漸化式に帰着することを考える.今回ならば,\alpha,\betaを実数としてb_{n+1}-\alpha\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-\beta=\frac{1}{3}\left\{b_n-\alpha\left(\frac{2}{3}\right)^n-\beta\right\}と変形することを考えればよい.後は,等比型漸化式の解法を取れば良い.

解答例
(30)(31)\frac{2}{3}
(32)6
(33)(34)\frac{1}{3}
(35)3
(36)(37)18
(38)(39)(40)\frac{55}{3}
(41)(42)84
(C)\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18
(43)(44)16
(D)\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+81

解説
f_{n+1}\left(x\right)=x^2+a_{n+1}x+b_{n+1}
一方で,f_{n+1}\left(x\right)は関数g\left(x\right)\cdot f_n\left(x\right)の導関数であるから,
f_{n+1}\left(x\right)=\left\{g\left(x\right)\cdot f_n\left(x\right)\right\}^\prime=\left\{\left(\frac{1}{3}x+3\right)\left(x^2+a_nx+b_n\right)\right\}^\prime=\left\{\frac{1}{3}x^3+\left(\frac{1}{3}a_n+3\right)x^2+\left(\frac{1}{3}b_n+3a_n\right)x+3b_n\right\}^\prime=x^2+\left(\frac{2}{3}a_n+6\right)x+\frac{1}{3}b_n+3a_n
である.これらより,f_{n+1}\left(x\right)についての等式が立ち,
x^2+a_{n+1}x+b_{n+1}=x^2+\left(\frac{2}{3}a_n+6\right)x+\frac{1}{3}b_n+3a_n
係数比較をすると,
\begin{cases} a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+6 \\ b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+3a_n \end{cases}……(答)
が得られる.
a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+6\Leftrightarrow a_{n+1}-18=\frac{2}{3}\left(a_n-18\right)
より,
a_n-18=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\Leftrightarrow a_n=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18
となる.よって,全ての自然数nについてa_n>a_{n+1}が成り立つには,
a_n>a_{n+1}\Leftrightarrow\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18>\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n+18\Leftrightarrow a_1-18>0\Leftrightarrow a_1>18
が成り立つとき.よって,求めるa_1の条件は,
a_1>18……(答)
さて,放物線y=f_1\left(x\right)=x^2+a_1x+b_1について.
{f_1}^\prime\left(x\right)=2x+a_1である.
放物線y=f_1\left(x\right)と直線y=g\left(x\right)の接点の座標を\left(t,t^2+a_1t+b_1\right)とすると,接線の方程式はy=\left(2t+a_1\right)x-t^2+b_1と表せる.これとy=g\left(x\right)=\frac{1}{3}x+3が一致する.係数比較すると,
\begin{cases} 2t+a_1=\frac{1}{3} \\ -t^2+b_1=3 \end{cases}
2式からtを消去すると,
b_1-3=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-a_1\right)^2
となる.ここでb_1が4の倍数のとき,b_1-3は整数であるから,\frac{1}{3}-a_1は2の倍数となる必要がある.
よって,①を満たし,かつ\frac{1}{3}-a_1が2の倍数となるa_1の最小値の候補は,a_1=18+\frac{1}{3}=\frac{55}{3}がある.このとき,a_1=\frac{55}{3}b_1-3=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-a_1\right)^2に代入して計算すると,b_1=84となり,これは4の倍数となっている.
\therefore\left(a_1,b_1\right)=\left(\frac{55}{3},84\right)……(答)
数列\left\{a_n\right\}の一般項はa_n=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18であったから,a_1=\frac{55}{3}のとき,
a_n=\left(\frac{55}{3}-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18……(答)
となる.
また,
0<\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n\leqq\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^1=\frac{1}{3}<1
より,18<\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18<19\Leftrightarrow18<a_n<19であるから,
\left[a_n\right]=18
\therefore a_n-\left[a_n\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n
よって,a_n-\left[a_n\right]<0.001となるような最小のnは,
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n<0.001\Leftrightarrow{\mathrm{log}}_{10}{\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}}<{\mathrm{log}}_{10}{0.001}\Leftrightarrow n\left({\mathrm{log}}_{10}{2}-{\mathrm{log}}_{10}{3}\right)-{\mathrm{log}}_{10}{2}\frac{3-{\mathrm{log}}_{10}{2}}{{\mathrm{log}}_{10}{3}-{\mathrm{log}}_{10}{2}}\fallingdotseq\frac{3-0.301}{0.477-0.301}=15.3\cdots\cdots
より,n=16……(答)
更に,②,③でa_1,b_1を定義すれば,
b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+3a_n=\frac{1}{3}b_n+3\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18\right\}=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+54+\frac{1}{3}b_n\Leftrightarrow b_{n+1}-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-81=\frac{1}{3}\left\{b_n-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n-81\right\}
であるから,
b_n-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n-81=\left\{b_1-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^1-81\right\}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\left\{84-\frac{9}{2}\cdot\frac{2}{3}-81\right\}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=0\Leftrightarrow b_n=\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+81……(答)

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