偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2018

2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(ⅰ)
3次元の図形は作図が難しく考えにくいため,適当な平面で切って2次元の問題に帰着する.(8)と(9)は(3)と(4)の問題を一般化したパターンである.そのため(3)と(4)の考え方を応用すればよい.

(ⅱ)
(10)~(20)までは基本問題であり特筆事項なし.
(21)~(25)について.「\vec{\mathrm{OA}}\vec{\mathrm{BD}}が平行である」という情報と「\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}」という情報を数式化する.「2つのベクトルが平行である」という情報は「2つのベクトルが実数倍だけ違う」という情報に,「2つのベクトルが垂直である」という情報は「2つのベクトルの内積が0となる」という情報に言い換えると数式化できる.後は,\vec{\mathrm{BD}}のみ始点が\mathrm{O}でないため,始点を\mathrm{O}に揃えるという変形が思いつく.
(26)~(29)について.これも始点がバラバラであるから,始点を\mathrm{O}に揃えると解法を得られる.
(A)と(B)は,ベクトルによる三角形の面積公式を利用すれば良い.本解答では座標を用いた三角形の面積公式を応用している.

解答例
(ⅰ)
(1)(2)15
(3)(4)10
(5)5
(6)(7)10
(8)(9)14

(ⅱ)
(10)6
(11)(12)24
(13)(14)-6
(15)(16)-3
(17)3
(18)(19)-3
(20)3
(21)4
(22)(23)\frac{1}{2}
(24)(25)\frac{1}{2}
(26)(27)\frac{1}{4}
(28)(29)\frac{1}{6}
(A)3\sqrt3
(B)24\sqrt3

解説
(ⅰ)
r_1=\sqrt5のとき((1)と(2)について)
断面図を考えると,

S_0S_1が交わってできる円の半径は上図の破線に当たる.
両円の中心と交点で作られる三角形は正三角形であるから,破線の長さは,\sqrt5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}
よって,求める円周の長さは2\pi\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}\pi……(答)

S_0S_1が交わってできる円の円周の長さが最大となるとき((3)~(7)について)

上図のように,S_0S_1が交わってできる円の半径がS_0の半径と一致するとき,円周が最大となる.
三平方の定理より,
r_1=\sqrt{\left(\sqrt5\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2}=\sqrt{10}……(答)
また,直線lS_0S_1の位置関係について作図すると,

上図(実際にはx軸対称にもう1本直線lが存在するが,求める座標は同じになるため,上図の1本のみ考える).直線lの方程式をy=ax+b\left(0<a,b\right)とすると,S_0S_1の接線であるから,
\begin{cases} \frac{\left|-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{5} \\ \frac{\left|-5a-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{10} \end{cases}\Leftrightarrow \left(a,b\right)=\left(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}},\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}}\right)
よって,直線lの方程式は,y=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}.よって,求める座標のx座標は,
0=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}\Leftrightarrow x=-\sqrt5-\sqrt{10}
よって,求める座標は,\left(-\sqrt5-\sqrt{10},0,0\right)……(答)
r_kr_0の100倍以上となるとき((8)と(9)について)
(3)と(4)を考えたときと同様に考えると,S_{k-1}S_kが交わってできる円の円周の長さが最大となるのは,S_{k-1}S_kが交わってできる円の半径がS_{k-1}の半径と一致するときである.
\therefore r_k=\sqrt2r_{k-1}
この漸化式を解くと,
r_k=r_0\left(\sqrt2\right)^k\Leftrightarrow\frac{r_k}{r_0}=\left(\sqrt2\right)^k
となる.r_kr_0の100倍以上となるのは,
100r_0\leqq r_k\Leftrightarrow100\leqq\frac{r_k}{r_0}\Leftrightarrow100\leqq\left(\sqrt2\right)^k
が成り立つとき.この不等式が成り立つのは14\leqq kのときである.……(答)

(ⅱ)
\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2,\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2,\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}の値((10)~(14)について)
\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2=\left(-\sqrt3\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2=6……(答)
\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2=\left(3+\sqrt3\right)^2+\left(3-\sqrt{3}\right)^2=24……(答)
\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=-\sqrt3\cdot\left(3+\sqrt3\right)+\sqrt3\cdot\left(3-\sqrt3\right)=-6……(答)
〇点\mathrm{C}の座標((15)~(20)について)
\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}=-2\cdot\left(-\sqrt3,\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)
よって,点\mathrm{C}の座標は\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)……(答)
\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|\vec{\mathrm{OA}}((21)~(25)について)
\vec{\mathrm{OA}}\vec{\mathrm{BD}}は平行であるから,実数kを用いて\vec{\mathrm{BD}}=k\vec{\mathrm{OA}}と書ける.
\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OB}}であるから,
\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}
と書ける.
\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}より,
\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=0\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}\right)=0\Leftrightarrow24-6k=0\Leftrightarrow k=4
(※途中で(11)~(14)の結果を用いた)
よって,\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}であり,これより,\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|=4\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|……(答)
また,\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}であり,\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}であるから,連立すると,
\vec{\mathrm{OD}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}+4\vec{\mathrm{OA}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}……(答)

\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}の値((26)と(27)について)
\mathrm{E}は直線\mathrm{OB}上の点であるから,\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}(kは実数)と表せる.
また,点\mathrm{E}は直線\mathrm{CD}上の点でもあるから,\vec{\mathrm{OE}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}(sは実数)とも表せる.
ここで,
\vec{\mathrm{OB}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\vec{\mathrm{OA}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\left(\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}\right)=-2\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}
より,\vec{\mathrm{OE}}について等式を立てると,
-2k\vec{\mathrm{OC}}-k\vec{\mathrm{OD}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}
両辺の係数比較をすると,
\begin{cases} -2k=s \\ -k=1-s \end{cases}\Leftrightarrow\left(k,s\right)=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
\therefore\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}
\therefore\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OB}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\left(-3\vec{\mathrm{OE}}\right)\right|}=\frac{1}{4}……(答)
\vec{\mathrm{AE}}((28)と(29)について)
\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}より,
\vec{\mathrm{AE}}=\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OA}}=-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}
一方,\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}より,
\vec{\mathrm{DC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}=\left(-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\right)-\left(\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}\right)=-6\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OB}}=6\left(-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\right)
これらより,
\vec{\mathrm{DC}}=6\vec{\mathrm{AE}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AE}}=\frac{1}{6}\vec{\mathrm{DC}}……(答)

\triangle\mathrm{OAC}\triangle\mathrm{BCD}の面積((A)と(B)について)
\vec{\mathrm{OA}}=\left(-\sqrt3,\sqrt3\right),\vec{\mathrm{OC}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)より,
\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\left|-\sqrt3\left(-3-\sqrt3\right)-\sqrt3\left(-3+\sqrt3\right)\right|=3\sqrt3……(答)
\vec{\mathrm{BC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OB}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-6,-6\right),\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}=\left(-4\sqrt3,4\sqrt3\right)より,
\triangle\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\left|-6\cdot4\sqrt3-\left(-6\right)\cdot\left(-4\sqrt3\right)\right|=24\sqrt3……(答)

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