慶應商学部2018 | 【慶應早稲田専門対策】個別指導塾ヒロアカ

2018年慶應大学商学部数学|過去問徹底研究大問3

2019.10.14

慶應大学商学部数学方針の立て方 (ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる． (ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない．コンビネーションの公式：は本問では度々使う．入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが，余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない．この公式を覚えてな

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慶應大学商学部数学方針の立て方

(ⅰ)は具体的に考えてみれば解答が得られる．
(ⅱ)(ⅲ)は誘導に乗っていければ解説以上の特筆事項はない．コンビネーションの公式： ${{_m^}\mathrm{C}}_n={{_{m-1}^}\mathrm{C}}_n+{{_{m-1}^}\mathrm{C}}_{n-1}$ は本問では度々使う．入試数学(特に文系数学)には必須の公式ではないが，余力のある受験生は覚えておいても良いかもしれない．この公式を覚えてなくとも本問では回答欄の形式から，どう変形していけば良いかが分かる．

解答例

(ⅰ)
(45) $0$
(46) $5$
(47)(48) $10$
(49) $0$
(50) $5$
(51)(52) $\frac{3}{8}$
(53)(54) $10$
(55)(56) $15$
(57)(58) $\frac{1}{8}$

(ⅱ)
(59) $3$
(60) $3$
(61) $2$
(62) $2$
(63) $4$
(64) $4$
(65) $2$
(66) $5$
(67) $7$
(68) $5$
(69) $7$
(70) $6$
(71) $5$
(72) $6$
(73) $5$
(74) $7$
(75) $5$
(76) $2$
(77) $5$

(ⅲ)
(ア) $k-1$
(イ) $\frac{k}{2}$
(ウ) $\frac{k}{2}$
(エ) $p-q$
(オ) $\frac{k}{2}$
(カ) $k$
(キ) $\frac{k}{2}$
(ク) $\frac{k+1}{2}$
(ケ) $\frac{k-1}{2}$
(コ) $\frac{k+1}{2}$
(サ) $\frac{k+1}{2}$
(シ) $t=0$

解説

(ⅰ)
客3の待ち時間は0,5,10分のいずれか．
$W\left(3,0\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)+\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}W\left(2,0\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}W\left(2,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
よって，
$W\left(3,0\right)=\frac{1}{2},W\left(3,5\right)=W\left(3,10\right)=\frac{1}{4}$ ……(答)
客4の待ち時間は0,5,10,15分のいずれか．
$W\left(4,0\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$
$W\left(4,5\right)=\frac{1}{2}W\left(3,0\right)+\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$
$W\left(4,10\right)=\frac{1}{2}W\left(3,5\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
$W\left(4,15\right)=\frac{1}{2}W\left(3,10\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
よって，
$W\left(4,0\right)=W\left(4,5\right)=\frac{3}{8},W\left(4,10\right)=W\left(4,15\right)=\frac{1}{8}$ ……(答)

(ⅱ)
〇(59)～(62)について
$W\left(k,5\left(k-1\right)\right)$ に対して帰納法の仮定が使える． $k+\left(k-1\right)=2k-1$ は奇数であるから，④の $n+t$ が奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(k-1\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k$ ……(答)
〇(63)～(65)について
$W\left(k,5\left(k-2\right)\right)$ に対して帰納法の仮定が使える． $k+\left(k-2\right)=2k-2$ は偶数であるから，④の $n+t$ が偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(k-2\right)\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(k-2\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_{k-1}=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_k$ ……(答)
〇(66)と(67)について
題意を満たす場合，時系列を図示すると，

上図．
Aの手続きは5分かかり，Bの手続きは15分かかることから， $W\left(k+1,5t\right)$ は，客 $k$ が $10+5t-5=5\left(t+1\right)$ 分待った後にAを行う確率と，客 $k$ が $10+5t-15=5\left(t-1\right)$ 分待った後にBを行う確率の和になる．……(答)

〇(68)～(72)について
$W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)$ は，④で $t\rightarrow t+1,t-1$ としたものと考える．すると $n+t$ が奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}$ ……(答)
これらを⑤に代入すれば，
$W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}$ ……(答)
(※最後の式変形の際， ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}-1\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}-1\right)!}=\left(\frac{k-t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}+\left(\frac{k+t}{2}\right)\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(\frac{k-t}{2}\right)!\left(\frac{k+t}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t}{2}$ を用いた)
〇(73)～(77)について
$W\left(k,5\left(t+1\right)\right),W\left(k,5\left(t-1\right)\right)$ は，④で $t\rightarrow t+1,t-1$ としたものと考える．すると $n+t$ が偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\left(t+1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2},W\left(k,5\left(t-1\right)\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}$ ……(答)
これらを⑤に代入すれば，
$W\left(k+1,5t\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t+1\right)}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+\left(t-1\right)}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+t+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+t+1}{2}$ ……(答)

(ⅲ)
〇(ア)～(ウ)について
$W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)$ は④の $n=k,t=1,0$ のパターンであり， $n+t$ が奇数，偶数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ ……(答)
〇(エ)について
${_p^}\mathrm{C}_q=\frac{p!}{\left(p-q\right)!q!}=\frac{p!}{\left\{p-\left(p-q\right)\right\}!\left(p-q\right)!}={_p^}\mathrm{C}_{p-q}$ ……(答)
〇(オ)～(キ)について
(エ)の結果より ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}={_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}$ である．
(ア)～(ウ)の結果を⑥に代入して，
$W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ ……(答)
(※最後の式変形の際， ${_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k}{2}-1}=\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}-1\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}-1\right)!}=\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}+\frac{k}{2}\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=k\cdot\frac{\left(k-1\right)!}{\left(\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}=\frac{k!}{\left(k-\frac{k}{2}\right)!\left(\frac{k}{2}\right)!}={_k^}\mathrm{C}_\frac{k}{2}$ を用いた)
〇(ク)～(ケ)について
$W\left(k,5\right),W\left(k,0\right)$ は④の $n=k,t=1,0$ のパターンであり， $n+t$ が偶数，奇数のときが適用される．
$\therefore W\left(k,5\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2},\ W\left(k,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+0-1}{2}=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}$ ……(答)
〇(コ)と(サ)について
(ク)～(ケ)の結果を⑥に代入して，
$W\left(k+1,0\right)=\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{k-1}}\cdot{_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k-1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}\left({_{k-1}^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}+{_{k-1}^}\mathrm{C}_{\frac{k+1}{2}-1}\right)=\frac{1}{2^k}\cdot{_k^}\mathrm{C}_\frac{k+1}{2}$ ……(答)
〇(シ)について
$W\left(k+1,0\right)$ は $n=k+1$ のときの中でも，(ⅱ)で考えられていなかった $t=0$ のときである．……(答)

2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.10.03

方針の立て方 (30)～(37)は基本問題であるため特筆事項なし． (38)～(42)も基本的には，2次関数の接線の問題であるが，が4の倍数であるという条件が付いていることから，について解いたときの分数を含む項の処理をしなければならないと考える．後は①を満たし，かつが4の倍数になるを探せば良い．「①

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方針の立て方
(30)～(37)は基本問題であるため特筆事項なし．
(38)～(42)も基本的には，2次関数の接線の問題であるが， $b_1$ が4の倍数であるという条件が付いていることから， $b_1$ について解いたときの分数を含む項の処理をしなければならないと考える．後は①を満たし，かつ $b_1$ が4の倍数になる $a_1$ を探せば良い．「①を満たす」と「 $b_1$ が4の倍数になる」を両方一気に考えるのは難しいため，最初は「 $b_1$ が整数になる」と条件を緩めて考えよう．
(C)は代入するだけ．
(43)と(44)について． $\left[a_n\right]$ の処理をせねばならないと考える．ガウス記号の問題では，まずガウス記号の基本性質 $\left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leqq x<n+1$ を使うことを考えよう．すると，本問は $a_n$ の評価をすることになるが， $a_n$ の中でも厄介なのは $\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ の項であるから， $\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ に焦点を当てて評価をしよう．
(D)について．(33)～(35)で求めた漸化式を解けば良い．そのためにまず， $a_n$ を削除する． $a_n$ は一般項が求まっているため， $a_n$ の削除は造作もない．すると，漸化式は $b_{n+1}=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+54+\frac{1}{3}b_n$ となる．この後の処理だが，累乗を含む漸化式の典型解法は使えない( $+54$ の項がネックになる)ため，隣接二項間漸化式の原理を応用することを考える．即ち，等比型の漸化式に帰着することを考える．今回ならば， $\alpha,\beta$ を実数として $b_{n+1}-\alpha\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-\beta=\frac{1}{3}\left\{b_n-\alpha\left(\frac{2}{3}\right)^n-\beta\right\}$ と変形することを考えればよい．後は，等比型漸化式の解法を取れば良い．

解答例
(30)(31) $\frac{2}{3}$
(32) $6$
(33)(34) $\frac{1}{3}$
(35) $3$
(36)(37) $18$
(38)(39)(40) $\frac{55}{3}$
(41)(42) $84$
(C) $\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18$
(43)(44) $16$
(D) $\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+81$

解説
$f_{n+1}\left(x\right)=x^2+a_{n+1}x+b_{n+1}$
一方で， $f_{n+1}\left(x\right)$ は関数 $g\left(x\right)\cdot f_n\left(x\right)$ の導関数であるから，
$f_{n+1}\left(x\right)=\left\{g\left(x\right)\cdot f_n\left(x\right)\right\}^\prime=\left\{\left(\frac{1}{3}x+3\right)\left(x^2+a_nx+b_n\right)\right\}^\prime=\left\{\frac{1}{3}x^3+\left(\frac{1}{3}a_n+3\right)x^2+\left(\frac{1}{3}b_n+3a_n\right)x+3b_n\right\}^\prime=x^2+\left(\frac{2}{3}a_n+6\right)x+\frac{1}{3}b_n+3a_n$
である．これらより， $f_{n+1}\left(x\right)$ についての等式が立ち，
$x^2+a_{n+1}x+b_{n+1}=x^2+\left(\frac{2}{3}a_n+6\right)x+\frac{1}{3}b_n+3a_n$
係数比較をすると，
$\begin{cases} a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+6 \\ b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+3a_n \end{cases}$ ……(答)
が得られる．
$a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+6\Leftrightarrow a_{n+1}-18=\frac{2}{3}\left(a_n-18\right)$
より，
$a_n-18=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\Leftrightarrow a_n=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18$
となる．よって，全ての自然数 $n$ について $a_n>a_{n+1}$ が成り立つには,
$a_n>a_{n+1}\Leftrightarrow\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18>\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n+18\Leftrightarrow a_1-18>0\Leftrightarrow a_1>18$
が成り立つとき．よって，求める $a_1$ の条件は，
$a_1>18$ ……(答)
さて，放物線 $y=f_1\left(x\right)=x^2+a_1x+b_1$ について．
${f_1}^\prime\left(x\right)=2x+a_1$ である．
放物線 $y=f_1\left(x\right)$ と直線 $y=g\left(x\right)$ の接点の座標を $\left(t,t^2+a_1t+b_1\right)$ とすると，接線の方程式は $y=\left(2t+a_1\right)x-t^2+b_1$ と表せる．これと $y=g\left(x\right)=\frac{1}{3}x+3$ が一致する．係数比較すると，
$\begin{cases} 2t+a_1=\frac{1}{3} \\ -t^2+b_1=3 \end{cases}$
2式から $t$ を消去すると，
$b_1-3=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-a_1\right)^2$
となる．ここで $b_1$ が4の倍数のとき， $b_1-3$ は整数であるから， $\frac{1}{3}-a_1$ は2の倍数となる必要がある．
よって，①を満たし，かつ $\frac{1}{3}-a_1$ が2の倍数となる $a_1$ の最小値の候補は， $a_1=18+\frac{1}{3}=\frac{55}{3}$ がある．このとき， $a_1=\frac{55}{3}$ を $b_1-3=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-a_1\right)^2$ に代入して計算すると， $b_1=84$ となり，これは4の倍数となっている．
$\therefore\left(a_1,b_1\right)=\left(\frac{55}{3},84\right)$ ……(答)
数列 $\left\{a_n\right\}$ の一般項は $a_n=\left(a_1-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18$ であったから， $a_1=\frac{55}{3}$ のとき，
$a_n=\left(\frac{55}{3}-18\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+18=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18$ ……(答)
となる．
また，
$0<\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n\leqq\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^1=\frac{1}{3}<1$
より， $18<\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18<19\Leftrightarrow18<a_n<19$ であるから，
$\left[a_n\right]=18$
$\therefore a_n-\left[a_n\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n$
よって， $a_n-\left[a_n\right]<0.001$ となるような最小の $n$ は，
$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n<0.001\Leftrightarrow{\mathrm{log}}_{10}{\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}}<{\mathrm{log}}_{10}{0.001}\Leftrightarrow n\left({\mathrm{log}}_{10}{2}-{\mathrm{log}}_{10}{3}\right)-{\mathrm{log}}_{10}{2}\frac{3-{\mathrm{log}}_{10}{2}}{{\mathrm{log}}_{10}{3}-{\mathrm{log}}_{10}{2}}\fallingdotseq\frac{3-0.301}{0.477-0.301}=15.3\cdots\cdots$
より， $n=16$ ……(答)
更に，②，③で $a_1,b_1$ を定義すれば，
$b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+3a_n=\frac{1}{3}b_n+3\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+18\right\}=\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+54+\frac{1}{3}b_n\Leftrightarrow b_{n+1}-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-81=\frac{1}{3}\left\{b_n-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n-81\right\}$
であるから，
$b_n-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n-81=\left\{b_1-\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^1-81\right\}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\left\{84-\frac{9}{2}\cdot\frac{2}{3}-81\right\}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=0\Leftrightarrow b_n=\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+81$ ……(答)

2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.03

方針の立て方 (ⅰ) 3次元の図形は作図が難しく考えにくいため，適当な平面で切って2次元の問題に帰着する．(8)と(9)は(3)と(4)の問題を一般化したパターンである．そのため(3)と(4)の考え方を応用すればよい． (ⅱ) (10)～(20)までは基本問題であり特筆事項なし． (21)～(25)

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方針の立て方
(ⅰ)
3次元の図形は作図が難しく考えにくいため，適当な平面で切って2次元の問題に帰着する．(8)と(9)は(3)と(4)の問題を一般化したパターンである．そのため(3)と(4)の考え方を応用すればよい．

(ⅱ)
(10)～(20)までは基本問題であり特筆事項なし．
(21)～(25)について．「 $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{BD}}$ が平行である」という情報と「 $\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ 」という情報を数式化する．「2つのベクトルが平行である」という情報は「2つのベクトルが実数倍だけ違う」という情報に，「2つのベクトルが垂直である」という情報は「2つのベクトルの内積が0となる」という情報に言い換えると数式化できる．後は， $\vec{\mathrm{BD}}$ のみ始点が $\mathrm{O}$ でないため，始点を $\mathrm{O}$ に揃えるという変形が思いつく．
(26)～(29)について．これも始点がバラバラであるから，始点を $\mathrm{O}$ に揃えると解法を得られる．
(A)と(B)は，ベクトルによる三角形の面積公式を利用すれば良い．本解答では座標を用いた三角形の面積公式を応用している．

解答例
(ⅰ)
(1)(2) $15$
(3)(4) $10$
(5) $5$
(6)(7) $10$
(8)(9) $14$

(ⅱ)
(10) $6$
(11)(12) $24$
(13)(14) $-6$
(15)(16) $-3$
(17) $3$
(18)(19) $-3$
(20) $3$
(21) $4$
(22)(23) $\frac{1}{2}$
(24)(25) $\frac{1}{2}$
(26)(27) $\frac{1}{4}$
(28)(29) $\frac{1}{6}$
(A) $3\sqrt3$
(B) $24\sqrt3$

解説
(ⅰ)
〇 $r_1=\sqrt5$ のとき((1)と(2)について)
断面図を考えると，

$S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の半径は上図の破線に当たる．
両円の中心と交点で作られる三角形は正三角形であるから，破線の長さは， $\sqrt5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$ ．
よって，求める円周の長さは $2\pi\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}\pi$ ……(答)

〇 $S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の円周の長さが最大となるとき((3)～(7)について)

上図のように， $S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の半径が $S_0$ の半径と一致するとき，円周が最大となる．
三平方の定理より，
$r_1=\sqrt{\left(\sqrt5\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2}=\sqrt{10}$ ……(答)
また，直線 $l$ と $S_0$ と $S_1$ の位置関係について作図すると，

上図(実際には $x$ 軸対称にもう1本直線 $l$ が存在するが，求める座標は同じになるため，上図の1本のみ考える)．直線 $l$ の方程式を $y=ax+b\left(0<a,b\right)$ とすると， $S_0$ と $S_1$ の接線であるから，
$\begin{cases} \frac{\left|-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{5} \\ \frac{\left|-5a-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{10} \end{cases}\Leftrightarrow \left(a,b\right)=\left(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}},\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}}\right)$
よって，直線lの方程式は， $y=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}$ ．よって，求める座標の $x$ 座標は，
$0=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}\Leftrightarrow x=-\sqrt5-\sqrt{10}$
よって，求める座標は， $\left(-\sqrt5-\sqrt{10},0,0\right)$ ……(答)
〇 $r_k$ が $r_0$ の100倍以上となるとき((8)と(9)について)
(3)と(4)を考えたときと同様に考えると， $S_{k-1}$ と $S_k$ が交わってできる円の円周の長さが最大となるのは， $S_{k-1}$ と $S_k$ が交わってできる円の半径が $S_{k-1}$ の半径と一致するときである．
$\therefore r_k=\sqrt2r_{k-1}$
この漸化式を解くと，
$r_k=r_0\left(\sqrt2\right)^k\Leftrightarrow\frac{r_k}{r_0}=\left(\sqrt2\right)^k$
となる． $r_k$ が $r_0$ の100倍以上となるのは，
$100r_0\leqq r_k\Leftrightarrow100\leqq\frac{r_k}{r_0}\Leftrightarrow100\leqq\left(\sqrt2\right)^k$
が成り立つとき．この不等式が成り立つのは $14\leqq k$ のときである．……(答)

(ⅱ)
〇 $\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2,\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2,\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}$ の値((10)～(14)について)
$\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2=\left(-\sqrt3\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2=6$ ……(答)
$\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2=\left(3+\sqrt3\right)^2+\left(3-\sqrt{3}\right)^2=24$ ……(答)
$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=-\sqrt3\cdot\left(3+\sqrt3\right)+\sqrt3\cdot\left(3-\sqrt3\right)=-6$ ……(答)
〇点 $\mathrm{C}$ の座標((15)～(20)について)
$\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}=-2\cdot\left(-\sqrt3,\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$
よって，点 $\mathrm{C}$ の座標は $\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$ ……(答)
〇 $\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|$ と $\vec{\mathrm{OA}}$ ((21)～(25)について)
$\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{BD}}$ は平行であるから，実数 $k$ を用いて $\vec{\mathrm{BD}}=k\vec{\mathrm{OA}}$ と書ける．
$\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OB}}$ であるから，
$\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}$
と書ける．
$\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ より，
$\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=0\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}\right)=0\Leftrightarrow24-6k=0\Leftrightarrow k=4$
(※途中で(11)～(14)の結果を用いた)
よって， $\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}$ であり，これより， $\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|=4\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|$ ……(答)
また， $\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}$ であり， $\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}$ であるから，連立すると，
$\vec{\mathrm{OD}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}+4\vec{\mathrm{OA}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}$ ……(答)

〇 $\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}$ の値((26)と(27)について)
点 $\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{OB}$ 上の点であるから， $\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}$ ( $k$ は実数)と表せる．
また，点 $\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{CD}$ 上の点でもあるから， $\vec{\mathrm{OE}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}$ ( $s$ は実数)とも表せる．
ここで，
$\vec{\mathrm{OB}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\vec{\mathrm{OA}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\left(\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}\right)=-2\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}$
より， $\vec{\mathrm{OE}}$ について等式を立てると，
$-2k\vec{\mathrm{OC}}-k\vec{\mathrm{OD}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}$
両辺の係数比較をすると，
$\begin{cases} -2k=s \\ -k=1-s \end{cases}\Leftrightarrow\left(k,s\right)=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$
$\therefore\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}$
$\therefore\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OB}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\left(-3\vec{\mathrm{OE}}\right)\right|}=\frac{1}{4}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{AE}}$ ((28)と(29)について)
$\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}$ より，
$\vec{\mathrm{AE}}=\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OA}}=-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}$
一方， $\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}$ と $\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}$ より，
$\vec{\mathrm{DC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}=\left(-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\right)-\left(\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}\right)=-6\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OB}}=6\left(-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\right)$
これらより，
$\vec{\mathrm{DC}}=6\vec{\mathrm{AE}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AE}}=\frac{1}{6}\vec{\mathrm{DC}}$ ……(答)

〇 $\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{BCD}$ の面積((A)と(B)について)
$\vec{\mathrm{OA}}=\left(-\sqrt3,\sqrt3\right),\vec{\mathrm{OC}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$ より，
$\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\left|-\sqrt3\left(-3-\sqrt3\right)-\sqrt3\left(-3+\sqrt3\right)\right|=3\sqrt3$ ……(答)
$\vec{\mathrm{BC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OB}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-6,-6\right),\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}=\left(-4\sqrt3,4\sqrt3\right)$ より，
$\triangle\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\left|-6\cdot4\sqrt3-\left(-6\right)\cdot\left(-4\sqrt3\right)\right|=24\sqrt3$ ……(答)