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慶應経済2016

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問1

方針の立て方

(1)
x,yの二変数を考えるのは困難であるため,三角関数を導入することで一変数化する.

(2)
基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし.

(3)
前問と同様に基本対称式の問題.基本対称式の問題であるため\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3としないで\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)とすると良い.

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解答例

(1)(2)-2
(3)(4)06
(5)6
(6)1
(7)(8)(9)\frac{-7}{2}
(10)2
(11)(12)10

解説

Cの式は\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8\Leftrightarrow x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6である.
(1)
C上の点は\begin{cases} x-1=2\sqrt2\cos{\theta} \\ y-1=2\sqrt2\sin{\theta} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1,2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)とおくことができる(\thetaは任意の実数).
\therefore t=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1\right)+\left(2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)=4\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}+2
(※途中で三角関数の合成公式を用いた)
\thetaは任意の実数を取りうるため,-1\leqq\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\leqq1. \therefore-2\leqq t\leqq6……(答)
また,t=0のとき,x+y=0が成り立つから,円Cの式に代入すれば,
x^2+y^2=6……(答)

(2)
t^2=\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy
Cの式より,x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6\Leftrightarrow x^2+y^2=2t+6であるから,上式に代入すると,
t^2=2t+6+2xy\Leftrightarrow xy=\frac{1}{2}t^2-t-3=\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}となる.-2\leqq t\leqq6のもとでの\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}の最小値は,t=1のときの-\frac{7}{2}
よって,xyの値はt=1のとき最小値-\frac{7}{2}をとる.……(答)

(3)
t^3=\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=x^3+y^3+3\left(\frac{1}{2}t^2-t-3\right)t\Leftrightarrow x^3+y^3=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9t
f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9tとおくと,f^\prime\left(t\right)=-\frac{3}{2}t^2+6t+9=-\frac{3}{2}\left\{t-\left(2-\sqrt{10}\right)\right\}\left\{t-\left(2+\sqrt{10}\right)\right\}
-2\leqq t\leqq6に注意して増減表を描くと,

t -2 \cdots 2-\sqrt{10} \cdots 2+\sqrt{10} \cdots 6
f^\prime\left(t\right) - - 0 + 0 - -
f\left(t\right) -2 \searrow \qquad \nearrow 26+10\sqrt{10} \searrow \searrow

よって,t=2+\sqrt{10}のとき\left(f\left(t\right)=\right)x^3+y^3は最大となる.……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。