慶應経済2016 | 【慶應早稲田専門対策】個別指導塾ヒロアカ

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問4

2019.10.09

方針の立て方どれも基本問題であり，特筆事項なし．解答例真数条件より，が必要． (1) 2次方程式の実数解が存在しないためには，判別式が負であれば必要十分．これは真数条件を満たす． ……(答) (2) 2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには，判別式が0であれば必要十分．このもとで，2次

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方針の立て方

どれも基本問題であり，特筆事項なし．

解答例

真数条件より， $0<t$ が必要．
(1)
2次方程式の実数解が存在しないためには，判別式が負であれば必要十分．
$\therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}<0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}<0\Leftrightarrow \begin{cases} {\mathrm{log}}_2{t}\neq0 \\ \left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4<0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t\neq1 \\ \frac{1}{4}<t<4 \end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{4}<t<1,1<t<4$
これは真数条件を満たす．
$\therefore\frac{1}{4}<t<1,1<t<4$ ……(答)

(2)
2次方程式の実数解がただ1つ存在するためには，判別式が0であれば必要十分．
$\therefore\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}=0\Leftrightarrow\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4\right\}=0\Leftrightarrow{\mathrm{log}}_2{t}=0,\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4},1,4$
このもとで，2次方程式の解は，
$x=f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1$
これより， $f\left(t\right)$ の最小値は $t=1$ で，最大値は $t=\frac{1}{4},4$ でとる．
よって， $f\left(t\right)$ の最小値は $f\left(1\right)=1$ ，最大値は $f\left(\frac{1}{4}\right)=f\left(4\right)=5$ ……(答)

(3)
$1\leqq\log_4{t}\leqq\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\leqq\log_2{t}\leqq3\Leftrightarrow4\leqq t\leqq8$
よって，2次方程式は2つの相異なる実数解をもち，その解は，
$x=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\sqrt{\left[-\left\{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}\right]^2-1\cdot\left\{6\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\right\}}=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1\pm\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}$
$\therefore f\left(t\right)=\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2+1-\log_2{t}\sqrt{\left({\mathrm{log}}_2{t}\right)^2-4}$
ここで ${\mathrm{log}}_2{t}=y$ と置き換えると，
$f\left(t\right)=y^2+1-y\sqrt{y^2-4}$ 　( $2\leqq y\leqq3$ )
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)=2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}$
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)=0$ となるのは，
$2y-\frac{2y^2-4}{\sqrt{y^2-4}}=0\Leftrightarrow y\sqrt{y^2-4}=y^2-2$
両辺を2乗して計算すると $0=4$ となり不適．つまり $\frac{d}{dy}f\left(t\right)\neq0$

$y$	$2$	$\cdots$	$3$
$\frac{d}{dy}f\left(t\right)$	$-$	$-$	$-$
$f\left(t\right)$	$\searrow$	$\searrow$	$\searrow$

よって，最小値は $y=3$ のときで， $3^2+1-3\sqrt{3^2-4}=10-3\sqrt5$ ……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問2

2019.10.09

方針の立て方 (1)はどれも基本問題であるため特筆事項なし． (2)について．は分子を和の形に直すと，約分ができ回答欄の形式に沿うと分かる．よって，を和の形に変形するが，これはの定義を用いれば容易い． (3)について．前問で求めたの分母を上手く約分できないかを考えれば，本解のような式変形ができる．

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方針の立て方

(1)はどれも基本問題であるため特筆事項なし．

(2)について． $\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}$ は分子を和の形に直すと，約分ができ回答欄の形式に沿うと分かる．よって， $b_k$ を和の形に変形するが，これは $b_k$ の定義を用いれば容易い．

(3)について．前問で求めた $S_n$ の分母を上手く約分できないかを考えれば，本解のような式変形ができる．

解答例

(13) $3$
(14) $2$
(15) $2$
(16) $1$
(17) $1$
(18)(19) $-1$
(20) $1$
(21) $2$
(22) $2$
(23)(24) $01$
(25)(26) $-1$
(27) $0$
(28) $2$
(29) $2$
(30) $2$
(31) $2$
(32)(33) $02$

解説

(1)
$a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10}\Leftrightarrow a_{n+1}-\frac{10}{99}=\frac{1}{100}\left(a_n-\frac{10}{99}\right)$
と変形できる．
$\therefore a_n-\frac{10}{99}=\left(a_1-\frac{10}{99}\right)\cdot\left(\frac{1}{100}\right)^{n-1}=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n\Leftrightarrow a_n=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n+\frac{10}{99}$
よって，階差数列 $\left\{b_n\right\}$ は，
$b_n=a_{n+1}-a_n=-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^{n+1}+\frac{10}{99}-\left\{-\frac{10}{99}\left(\frac{1}{100}\right)^n+\frac{10}{99}\right\}=\frac{1}{{10}^3}\left(\frac{1}{{10}^2}\right)^{n-1}=\frac{1}{{10}^{2n+1}}$
となる．よって， $p=3,q=2,r=2,s=1$ ……(答)
更に，
$a_n=a_1+\left(a_2-a_1\right)+\left(a_3-a_2\right)+\cdots\cdots+\left(a_n-a_{n-1}\right)=a_1+\left(b_1+b_2+\cdots\cdots+b_{n-1}\right)=a_1+\sum_{k=1}^{n+\left(-1\right)}b_k$ ……(答)
また，
$a_1+\sum_{k=1}^{n+\left(-1\right)}b_k=\frac{1}{10}+\frac{\frac{1}{{10}^3}\left\{1-\left(\frac{1}{{10}^2}\right)^{n-1}\right\}}{1-\frac{1}{{10}^2}}=\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{{10}^{2n}}\right)}{1-\frac{1}{{10}^2}}$
であるから， $t=1,u=2,v=2$ ……(答)

(2)
$b_n=a_{n+1}-a_n$ より，
$\frac{b_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{a_k}+\frac{-1}{a_{k+1}}$ ……(答)
これに， $b_k=\frac{1}{{10}^{2k+1}}$ を代入すれば，
$\frac{\frac{1}{{10}^{2k+1}}}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{a_ka_{k+1}}={10}^{2k+1}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)$
これを利用すれば，
$S_n=\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{{10}^{2k}}\cdot{10}^{2k+1}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)\right\}=10\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)=10\left\{\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}\right)+\left(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_2}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\right\}=10\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)=10\left[10-\frac{1-\frac{1}{{10}^2}}{\frac{1}{10}\left\{1-\frac{1}{{10}^{2\left(n+1\right)}}\right\}}\right]=\frac{1-\frac{1}{{10}^{2n}}}{1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}}$
となるから， $w=0,x=2,y=2,z=2$ ……(答)

(3)
$\left({100}^{n+1}-1\right)S_n={10}^{2n+2}\left(1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}\right)\cdot\frac{1-\frac{1}{{10}^{2n}}}{1-\frac{1}{{10}^{2n+2}}}={10}^{2n+2}-{10}^2$
よって， $2n+2$ 桁……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問3

2019.10.09

方針の立て方 (1)(3)(4)は基本問題であり，特筆事項なし．(4)は本解ではと丁寧に記述したが，であることと，解答形式は穴埋め形式である(途中の計算を記述しない)ため，本番では直ちに11と答えても良いだろう． (2)は少々考えにくい問題であるが，相関係数とは，1つのデータで決まるものではなく，他

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方針の立て方

(1)(3)(4)は基本問題であり，特筆事項なし．(4)は本解では $\sqrt{120.8}=10.9\cdots\cdots\fallingdotseq11$ と丁寧に記述したが， ${11}^2=121$ であることと，解答形式は穴埋め形式である(途中の計算を記述しない)ため，本番では直ちに11と答えても良いだろう．
(2)は少々考えにくい問題であるが，相関係数とは，1つのデータで決まるものではなく，他のデータとの関係で決まるものであるから，複数のデータを比較することが必要だと考える．
相関係数0.95以上というのは大変強い正の相関であり，殆ど比例の関係だと見做せる．

解答例

(34)(35)52
(36)(37)74
(38)0
(39)1
(40)3
(41)5
(42)6
(43)(44)(45)68.2
(46)(47)(48)68.4
(49)9
(50)(51)11

解説

(1)
表より，最小値は52，最大値は74……(答)

(2)
番号2の個体と比較して，「体長が大きく，体重も大きい」か「体長が小さく，体重も小さい」のどちらかに該当する番号の個体は種類Bに分類される可能性があり，該当する番号は(2を除いて)4,5,6,7,8,9である．
逆にこれに該当しない番号0,1,3の個体は種類Aに分類される．
番号0の個体と比較して，「体長が大きく，体重も大きい」か「体長が小さく，体重も小さい」のどちらかに該当する番号の個体は種類Aに分類される可能性があり，該当する番号は(0,1,3を除いて)5,6である．よって，種類Aの5匹の番号は小さい方から0,1,3,5,6……(答)
また，種類Aの5匹の体長の平均値は， $\frac{60+66+69+72+74}{5}=68.2$ ……(答)

(3)
10匹のうち体長の大きい方から5匹の個体の番号は1,3,5,6,9であり，この5匹の体長の平均値は， $\frac{66+69+72+74+61}{5}=68.4$ ……(答)
種類Bの5匹の番号は2,4,7,8,9であるから，体長の大きい5匹のうち種類Bの個体の番号は9……(答)

(4)
$\sqrt{\left(60-68.2\right)^2+\left(66-68.2\right)^2+\left(69-68.2\right)^2+\left(72-68.2\right)^2+\left(74-68.2\right)^2}=\sqrt{120.8}=10.9\cdots\cdots\fallingdotseq11$ ……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.09

方針の立て方 (1) の二変数を考えるのは困難であるため，三角関数を導入することで一変数化する． (2) 基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし． (3) 前問と同様に基本対称式の問題．基本対称式の問題であるためとしないでとすると良い．解答例 (1)(2) (3)(4) (5) (6) (7)

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方針の立て方

(1)
$x,y$ の二変数を考えるのは困難であるため，三角関数を導入することで一変数化する．

(2)
基本対称式の典型問題であるため特筆事項なし．

(3)
前問と同様に基本対称式の問題．基本対称式の問題であるため $\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ としないで $\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)$ とすると良い．

解答例

(1)(2) $-2$
(3)(4) $06$
(5) $6$
(6) $1$
(7)(8)(9) $\frac{-7}{2}$
(10) $2$
(11)(12) $10$

解説

円 $C$ の式は $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8\Leftrightarrow x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6$ である．
(1)
円 $C$ 上の点は $\begin{cases} x-1=2\sqrt2\cos{\theta} \\ y-1=2\sqrt2\sin{\theta} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1,2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)$ とおくことができる( $\theta$ は任意の実数)．
$\therefore t=\left(2\sqrt2\cos{\theta}+1\right)+\left(2\sqrt2\sin{\theta}+1\right)=4\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}+2$
(※途中で三角関数の合成公式を用いた)
$\theta$ は任意の実数を取りうるため， $-1\leqq\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\leqq1． \therefore-2\leqq t\leqq6$ ……(答)
また， $t=0$ のとき， $x+y=0$ が成り立つから，円 $C$ の式に代入すれば，
$x^2+y^2=6$ ……(答)

(2)
$t^2=\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy$
円 $C$ の式より， $x^2+y^2-2\left(x+y\right)=6\Leftrightarrow x^2+y^2=2t+6$ であるから，上式に代入すると，
$t^2=2t+6+2xy\Leftrightarrow xy=\frac{1}{2}t^2-t-3=\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}$ となる． $-2\leqq t\leqq6$ のもとでの $\frac{1}{2}\left(t-1\right)^2-\frac{7}{2}$ の最小値は， $t=1$ のときの $-\frac{7}{2}$ ．
よって， $xy$ の値は $t=1$ のとき最小値 $-\frac{7}{2}$ をとる．……(答)

(3)
$t^3=\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=x^3+y^3+3\left(\frac{1}{2}t^2-t-3\right)t\Leftrightarrow x^3+y^3=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9t$
$f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^3+3t^2+9t$ とおくと， $f^\prime\left(t\right)=-\frac{3}{2}t^2+6t+9=-\frac{3}{2}\left\{t-\left(2-\sqrt{10}\right)\right\}\left\{t-\left(2+\sqrt{10}\right)\right\}$
$-2\leqq t\leqq6$ に注意して増減表を描くと，

$t$	$-2$	$\cdots$	$2-\sqrt{10}$	$\cdots$	$2+\sqrt{10}$	$\cdots$	$6$
$f^\prime\left(t\right)$	$-$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$-$
$f\left(t\right)$	$-2$	$\searrow$	$\qquad$	$\nearrow$	$26+10\sqrt{10}$	$\searrow$	$\searrow$

よって， $t=2+\sqrt{10}$ のとき $\left(f\left(t\right)=\right)x^3+y^3$ は最大となる．……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問6

2019.10.05

方針の立て方 (1)は積分方程式の典型問題であるため特筆事項なし． (2)は前問での議論を踏まえれば良い．が2つ出てきてしまうから，等式を満たすが2つ出てきてしまうのである．よって，が1つだけ出てくるならば，等式を満たすも1つしか出てこないと考える． (3)は，まずは積分計算を素直に行えば良い．「に

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方針の立て方

(1)は積分方程式の典型問題であるため特筆事項なし．
(2)は前問での議論を踏まえれば良い． $A$ が2つ出てきてしまうから，等式を満たす $f\left(x\right)$ が2つ出てきてしまうのである．よって， $A$ が1つだけ出てくるならば，等式を満たす $f\left(x\right)$ も1つしか出てこないと考える．
(3)は，まずは積分計算を素直に行えば良い．「 $a$ によらない」という条件が考えにくいが，実際に $a$ に適当な値を代入して，それらが全てイコールになると考えると，分子が0になるという結論に達する．
(4)計算するだけ．

解答例

(1)
$\int_{0}^{2}f\left(t\right)dt=A$ ( $A$ は定数)とおくと，
$f\left(x\right)=\frac{3}{a}x^2-\frac{1}{a}x+A^2=-3x^2+x+A^2$
よって，
$A=\int_{0}^{2}f\left(t\right)dt=\int_{0}^{2}\left(-3t^2+t+A^2\right)dt=\left[-t^3+\frac{1}{2}t^2+A^2t\right]_0^2=2A^2-6\Leftrightarrow2A^2-A-6=0\Leftrightarrow\left(2A+3\right)\left(A-2\right)=0$
$\therefore A=-\frac{3}{2},2$
これを $f\left(x\right)=-3x^2+x+A^2$ に代入すれば，
$f\left(x\right)=-3x^2+x+\frac{9}{4}$ または $-3x^2+x+4$ ……(答)

(2)
$\int_{0}^{2}f\left(t\right)dt=A$ ( $A$ は定数)とおくと，
$f\left(x\right)=\frac{3}{a}x^2-\frac{1}{a}x+A^2$
よって，
$A=\int_{0}^{2}f\left(t\right)dt=\int_{0}^{2}\left(\frac{3}{a}t^2-\frac{1}{a}t+A^2\right)dt=\left[\frac{1}{a}t^3-\frac{1}{2a}t^2+A^2t\right]_0^2=2A^2+\frac{6}{a}\Leftrightarrow2A^2-A+\frac{6}{a}=0$
題意を満たすには， $A$ に関する二次方程式： $2A^2-A+\frac{6}{a}=0$ の解が重解となれば必要十分．
よって，判別式が0であれば必要十分であるから，
$\left(-1\right)^2-4\cdot2\cdot\frac{6}{a}=0\Leftrightarrow a=48$ ……(答)

(3)
$\int_{0}^{b}\left\{f\left(x\right)-f\left(b\right)\right\}dx=\int_{0}^{b}\left\{\frac{3}{a}x^2-\frac{1}{a}x-\frac{3}{a}b^2+\frac{1}{a}b\right\}dx=\left[\frac{1}{a}x^3-\frac{1}{2a}x^2-\frac{3}{a}b^2x+\frac{1}{a}bx\right]_0^b=-\frac{b^2\left(4b-1\right)}{2a}$
よって， $-\frac{b^2\left(4b-1\right)}{2a}$ の値が $a$ によらない場合を考えると，分子が0となるとき． $b$ が正の実数であることから，
$b=\frac{1}{4}$ ……(答)

(4)
$\left(a,b\right)=\left(48,\frac{1}{4}\right)$ である．また， $a=48$ のとき，(2)で考えた $A$ に関する二次方程式の解は， $A=\frac{1}{4}$ ．
よって， $\bigmf\left(x\right)=\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{48}x+\frac{1}{16}$
$\int_{b}^{2}f\left(x\right)dx=\int_{\frac{1}{4}}^{2}\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{48}x+\frac{1}{16}\right)dx=\frac{1}{48}\left[x^3-\frac{1}{2}x^2+3x\right]_{\frac{1}{4}}^2=\frac{721}{3072}$ ……(答)

2016年慶應大学経済学部|過去問徹底研究大問5

2019.10.05

方針の立て方全体的にベクトルの始点が統一されていないため，まずはベクトルの始点をに揃える作業を行う．また，次々と新しい点を定義されていくため，次第にこんがらがってくるが，全て点を元に定義されているため，困ったらまで戻せば良い． (1)は特筆事項なし． (2)について．「線分の中点」という情報と「と

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方針の立て方

全体的にベクトルの始点が統一されていないため，まずはベクトルの始点を $\mathrm{O}$ に揃える作業を行う．また，次々と新しい点を定義されていくため，次第にこんがらがってくるが，全て点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を元に定義されているため，困ったら $\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OB}},\vec{\mathrm{OC}}$ まで戻せば良い．
(1)は特筆事項なし．
(2)について．「線分 $\mathrm{PR}$ の中点 $\mathrm{M}$ 」という情報と「 $\mathrm{QM}$ と $\mathrm{OD}$ が平行になる」という情報を数式的にどのように表せるかを考える．「線分 $\mathrm{PR}$ の中点 $\mathrm{M}$ 」という情報は「 $\vec{\mathrm{OM}}=\frac{1}{2}\left(\vec{\mathrm{OP}}+\vec{\mathrm{OR}}\right)$ 」と直し，「 $\mathrm{QM}$ と $\mathrm{OD}$ が平行になる」という情報は「ある実数 $k$ を用いて $k\vec{\mathrm{QM}}=\vec{\mathrm{OD}}$ と書ける」と直す．
(3)について．実際に切り口の図形を想定する．切り口の様子は平面 $\alpha$ が底面に対してどのぐらい傾いているかで様子が違うことは直観できるだろう．ここで，前問(2)の結果を用いれば，点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{OB}$ を $2\colon3$ に内分する点であり，点 $\mathrm{P},\mathrm{R}$ に比べると大分点 $\mathrm{O}$ 寄りに存在していることが分かるから，平面 $\alpha$ は底面に対して大分傾いていることが分かる．よって，平面 $\alpha$ は辺 $\mathrm{AD}$ と辺 $\mathrm{CD}$ と共有点を持つと直観できる．すると求める面積は五角形の面積であるから，三角形3つに分けて面積を求めていけば良いという方針が立つ．体積の方も，図形が中々に複雑であるが，切り口の面積を求めさせていることから，ここを底面を見て考えるのが良さそうだと考えると方針が立つ．

解答例

$\vec{\mathrm{OP}}=\frac{4}{5}\vec{\mathrm{OA}},\vec{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{1+r}\vec{\mathrm{OB}},\vec{\mathrm{OR}}=\frac{4}{5}\vec{\mathrm{OC}}$
(1)
$\vec{\mathrm{PQ}}\cdot\vec{\mathrm{QR}}=\left(\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)\cdot\left(\vec{\mathrm{OR}}-\vec{\mathrm{OQ}}\right)=\left(\frac{1}{1+r}\vec{\mathrm{OB}}-\frac{4}{5}\vec{\mathrm{OA}}\right)\cdot\left(\frac{4}{5}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{1}{1+r}\vec{\mathrm{OB}}\right)=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1+r}\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}-\left(\frac{1}{1+r}\right)^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2-\frac{16}{25}\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1+r}\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}$
ここで， $\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|=\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|=\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=\sqrt2,\angle\mathrm{AOB}=\angle\mathrm{BOC}=\frac{1}{3}\pi,\angle\mathrm{AOC}=\frac{1}{2}\pi$ より， $\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|\cos{\frac{1}{3}\pi}=1,\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2=2,\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=0,\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|\cos{\frac{1}{3}\pi}=1$ であるから，
$\vec{\mathrm{PQ}}\cdot\vec{\mathrm{QR}}=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1+r}-2\left(\frac{1}{1+r}\right)^2+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1+r}=\frac{8r-2}{5\left(1+r\right)^2}$ ……(答)
$\vec{\mathrm{PR}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\left(\vec{\mathrm{OR}}-\vec{\mathrm{OP}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\vec{\mathrm{OR}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1+r}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}-\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1+r}\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1+r}-\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{1+r}=0$ ……(答)

(2)
$\vec{\mathrm{OM}}=\frac{1}{2}\left(\vec{\mathrm{OP}}+\vec{\mathrm{OR}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{4}{5}\vec{\mathrm{OC}}\right)=\frac{2}{5}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{2}{5}\vec{\mathrm{OC}}$
$\therefore\vec{\mathrm{QM}}=\vec{\mathrm{OM}}-\vec{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{5}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{1+r}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{2}{5}\vec{\mathrm{OC}}$
$\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OC}}+\vec{\mathrm{CD}}=\vec{\mathrm{OC}}+\vec{\mathrm{BA}}=\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}$
$\mathrm{QM}$ と $\mathrm{OD}$ が平行であるから，ある実数 $k$ を用いて $k\vec{\mathrm{QM}}=\vec{\mathrm{OD}}\Leftrightarrow\frac{2}{5}k\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{1+r}k\vec{\mathrm{OB}}+\frac{2}{5}k\vec{\mathrm{OC}}=\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}$ と書ける．係数比較をすると，
$\begin{cases} \frac{2}{5}k=1 \\ -\frac{1}{1+r}k=-1 \\ \frac{2}{5}k=1 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} k=\frac{5}{2} \\ r=\frac{3}{2} \end{cases}$
$\therefore r=\frac{3}{2}$ ……(答)

(3)
$r=\frac{3}{2}$ であるから， $\vec{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{1+\frac{3}{2}}\vec{\mathrm{OB}}=\frac{2}{5}\vec{\mathrm{OB}}$
〇切り口の図形の面積
平面 $\alpha$ は辺 $\mathrm{AD}$ と辺 $\mathrm{CD}$ と共有点を持つ．この共有点をそれぞれ点 $\mathrm{S},\mathrm{T}$ とおく．

求める面積は五角形 $\mathrm{QPSTR}$ であり，その面積は $\triangle\mathrm{QPR}$ と $\triangle\mathrm{PSR}$ と $\triangle\mathrm{STR}$ の面積の和に等しい．
点 $\mathrm{S}$ は平面 $\alpha$ 上の点であるから，ある実数 $x,y$ を用いて，
$\vec{\mathrm{QS}}=x\vec{\mathrm{QP}}+y\vec{\mathrm{QR}}=x\vec{\mathrm{OP}}+y\vec{\mathrm{OR}}-\left(x+y\right)\vec{\mathrm{OQ}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OS}}=x\vec{\mathrm{OP}}+y\vec{\mathrm{OR}}-\left(x+y-1\right)\vec{\mathrm{OQ}}=\frac{4}{5}x\vec{\mathrm{OA}}+\frac{2}{5}\left(1-x-y\right)\vec{\mathrm{OB}}+\frac{4}{5}y\vec{\mathrm{OC}}$
と書ける．
一方，点 $\mathrm{S}$ は辺 $\mathrm{AD}$ 上の点であるから，ある実数 $i$ を用いて
$\vec{\mathrm{OS}}=\vec{\mathrm{OA}}+i\vec{\mathrm{AD}}=\vec{\mathrm{OA}}+i\vec{\mathrm{BC}}=\vec{\mathrm{OA}}-i\vec{\mathrm{OB}}+i\vec{\mathrm{OC}}$
と書ける．これらを係数比較すると，
$\begin{cases} \frac{4}{5}x=1 \\ \frac{2}{5}\left(1-x-y\right)=-i \\ \frac{4}{5}y=i \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{5}{4} \\ y=\frac{1}{4} \\ i=\frac{1}{5} \end{cases}$
$\therefore\vec{\mathrm{OS}}=\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{5}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{1}{5}\vec{\mathrm{OC}}$
同様に，点 $\mathrm{T}$ も平面 $\alpha$ 上の点であるから，ある実数 $x,y$ を用いて，
$\vec{\mathrm{QT}}=x\vec{\mathrm{QP}}+y\vec{\mathrm{QR}}=x\vec{\mathrm{OP}}+y\vec{\mathrm{OR}}-\left(x+y\right)\vec{\mathrm{OQ}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OT}}=x\vec{\mathrm{OP}}+y\vec{\mathrm{OR}}-\left(x+y-1\right)\vec{\mathrm{OQ}}=\frac{4}{5}x\vec{\mathrm{OA}}+\frac{2}{5}\left(1-x-y\right)\vec{\mathrm{OB}}+\frac{4}{5}y\vec{\mathrm{OC}}$
と書ける．
一方，点 $\mathrm{T}$ は辺 $\mathrm{CD}$ 上の点であるから，ある実数 $i$ を用いて
$\vec{\mathrm{OT}}=\vec{\mathrm{OC}}+i\vec{\mathrm{CD}}=\vec{\mathrm{OC}}+i\vec{\mathrm{BA}}=i\vec{\mathrm{OA}}-i\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}$
と書ける．これらを係数比較すると，
$\begin{cases} \frac{4}{5}x=i \\ \frac{2}{5}\left(1-x-y\right)=-i \\ \frac{4}{5}y=1 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{5}{4} \\ i=\frac{1}{5} \end{cases}$
$\therefore\vec{\mathrm{OT}}=\frac{1}{5}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{5}\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}$
これらより，
$\vec{\mathrm{ST}}=\vec{\mathrm{OT}}-\vec{\mathrm{OS}}=\frac{1}{5}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{5}\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}-\left(\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{5}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{1}{5}\vec{\mathrm{OC}}\right)=\frac{4}{5}\left(\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OA}}\right)=\frac{4}{5}\vec{\mathrm{AC}}$
となる．
ところで，
$\vec{\mathrm{PR}}=\vec{\mathrm{OR}}-\vec{\mathrm{OP}}=\frac{4}{5}\left(\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OA}}\right)=\frac{4}{5}\vec{\mathrm{AC}},\vec{\mathrm{PQ}}=\vec{\mathrm{OQ}}-\vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{5}\vec{\mathrm{OB}}-\frac{4}{5}\vec{\mathrm{OA}}$ より， $\left|\vec{\mathrm{PR}}\right|=\frac{8}{5},\left|\vec{\mathrm{PQ}}\right|=\frac{2\sqrt6}{5},\vec{\mathrm{PR}}\cdot\vec{\mathrm{PQ}}=\frac{32}{5}$ であるから，
$\triangle\mathrm{QPR}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{PR}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{PQ}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{PR}}\cdot\vec{\mathrm{PQ}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2\cdot\left(\frac{2\sqrt6}{5}\right)^2-\left(\frac{32}{5}\right)^2}=\frac{8\sqrt2}{25} \vec{\mathrm{PS}}=\vec{\mathrm{OS}}-\vec{\mathrm{OP}}=\frac{1}{5}\left(\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)$ より， $\left|\vec{\mathrm{PS}}\right|=\frac{\sqrt2}{5},\vec{\mathrm{PS}}\cdot\vec{\mathrm{PR}}=0$ であるから，
$\triangle\mathrm{PSR}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{PS}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{PR}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{PS}}\cdot\vec{\mathrm{PR}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{\sqrt2}{5}\right)^2\cdot\left(\frac{8}{5}\right)^2-0^2}=\frac{4\sqrt2}{25}$
$\vec{\mathrm{TS}}=-\vec{\mathrm{ST}}=-\frac{4}{5}\vec{\mathrm{AC}},\vec{\mathrm{TR}}=\vec{\mathrm{OR}}-\vec{\mathrm{OT}}=-\frac{1}{5}\left(\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}+\vec{\mathrm{OC}}\right)$ より， $\left|\vec{\mathrm{TS}}\right|=\frac{8}{5},\left|\vec{\mathrm{TR}}\right|=\frac{\sqrt2}{5},\vec{\mathrm{TS}}\cdot\vec{\mathrm{TR}}=0$ であるから，
$\triangle\mathrm{STR}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{TS}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{TR}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{TS}}\cdot\vec{\mathrm{TR}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2\cdot\left(\frac{\sqrt2}{5}\right)^2-0^2}=\frac{4\sqrt2}{25}$
となる．
五角形 $\mathrm{QPSTR}$ の面積はこれら3つの三角形の面積の和と等しいから，求める面積は，
$\frac{8\sqrt2}{25}+\frac{4\sqrt2}{25}+\frac{4\sqrt2}{25}=\frac{16\sqrt2}{25}$ ……(答)
〇多面体の体積
体積を求める多面体は点 $\mathrm{O},\mathrm{D},\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T}$ からなる多面体である．その体積は五角錐 $\mathrm{O}-\mathrm{PQRST}$ の体積と三角錐 $\mathrm{O}-\mathrm{DST}$ の体積の和と等しい．
ここで， $\vec{\mathrm{PR}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}=0$ かつ $\left|\vec{\mathrm{PR}}\right|\neq0,\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|\neq0$ より， $\mathrm{PR}\bot\mathrm{OQ}$ ．また， $\mathrm{QM}$ と $\mathrm{OD}$ が平行で， $\mathrm{OD}$ と $\mathrm{OB}$ が垂直であることから， $\mathrm{QM}\bot\mathrm{OB}$ ．よって， $\vec{\mathrm{OQ}}$ は平面 $\alpha$ と直交し，その長さは $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=\frac{2}{5}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|=\frac{2\sqrt2}{5}$ である．
よって，五角錐 $\mathrm{O}-\mathrm{PQRST}$ の体積は，
$\frac{1}{3}\cdot\frac{16\sqrt2}{25}\cdot\frac{2\sqrt2}{5}=\frac{64}{375}$
となる．
また， $\vec{\mathrm{OS}}=\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1}{5}\vec{\mathrm{AD}}$ より $\left|\vec{\mathrm{DS}}\right|=\frac{4}{5}\left|\vec{\mathrm{AD}}\right|=\frac{4\sqrt2}{5}$ ， $\vec{\mathrm{OT}}=\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{5}\vec{\mathrm{CD}}$ より $\left|\vec{\mathrm{DT}}\right|=\frac{4}{5}\left|\vec{\mathrm{CD}}\right|=\frac{4\sqrt2}{5}$ であるから， $\triangle\mathrm{DST}$ の面積は， $\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt2}{5}\cdot\frac{4\sqrt2}{5}=\frac{16}{25}$ である．
更に点 $\mathrm{O}$ から底面 $\mathrm{ABCD}$ へ下ろした垂線の長さは1であるから，三角錐 $\mathrm{O}-\mathrm{DST}$ の体積は，
$\frac{1}{3}\cdot\frac{16}{25}\cdot1=\frac{16}{75}$ となる．
点 $\mathrm{O},\mathrm{D},\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S},\mathrm{T}$ からなる多面体の体積は，これら2つの体積の和と等しいから，求める体積は，
$\frac{64}{375}+\frac{16}{75}=\frac{48}{125}$ ……(答)