早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問4
方針の立て方
(1)
素直に微分すればよい.
(2)
(ⅰ)通常の極値問題と同様に微分して考えればよい.
(ⅱ)これも典型的な回転体の体積の問題であるため特筆事項なし.
(ⅲ)実際にをはじめの数項を書き出してみれば,数列の和の問題だと分かる.
解答例
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(1)
積の微分法則を使えば,
……(答)
(2)
(ⅰ)
積の微分法則と三角関数の合成を用いれば,
よって,となるのは,(は任意の整数)のとき.
が偶数のとき,その前後での符号は負から正となる.故に極小値は,
が奇数のとき,その前後での符号は正から負となる.故に極大値は,
よって,を任意の整数として,
極大値は……(答)
極小値は……(答)
(ⅱ)
ここで,
更にとして置換積分を行えば,
である.
……(答)
(ⅲ)
……(答)
(※無限等比級数の第2項と第3項,第4項と第5項,第6項と第7項,……が相殺される)
(別解)
は,初項,公比の等比数列 (なお,である).
……(答)
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