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早稲田理工2018

2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究 大問1

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早稲田大学理工過去問徹底研究 2018年 大問1

方針の立て方

(1)
実際にP,A,Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる.「3点を結ぶと三角形をなす」ことと,「3点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと.

(2)
前問と同様にP,A,Bの位置関係を図に描いてみると,ABを底辺と見ると都合がいいことが分かる.複素共役な2つの複素数は,複素数平面上では実軸対称となることは,複素数と図形の融合問題では頻出の考え方のためおさえておくこと.

(3)
外心の定義と外心の作図の仕方を考えれば解法を得られる.

解答例

(1)
3次方程式\left(x-p\right)\left(x^2+qx+r\right)=0の解は,x=p,\alpha,\betaの3つ.
3点P,A,Bが三角形をなすには,3点P,A,Bが一直線上になければ必要十分.そのためには,\alpha,\betaが虚数解であり(\alpha,\betaが実数解ならば,pが実数であるため,3点P,A,Bが一直線上に並んでしまう),かつ\alpha,\betaの実部がpでなければ必要十分.
x^2+qx+r=0を解くと,x=\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4r}}{2}であるから,求める条件は,
\begin{cases} q^2-4r<0 \\ \frac{-q}{2}\neq p \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} q^2-4r<0 \\ q\neq-2p \end{cases}……(答)

(2)

3点P,A,Bの位置関係は上図の通り.
q^2-4r0(\because(1))より,\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r
\therefore R=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}……(答)

(3)
三角形の外接円の中心は,各辺の垂直二等分線の交点である.
辺ABの垂直二等分線は,実軸である.よって,求める中心Qはx(xは実数)とおける.QとP,QとAの距離が等しいことより,
\left|p-x\right|=\sqrt{\left(x+\frac{q}{2}\right)^2\left(-\frac{\sqrt{4r-q^2}}{2}\right)^2}
が成り立ち,これを解くと,x=\frac{p^2-r}{2p+q}……(答)
また,半径Rは,
R=\left|p-x\right|=\left|p-\frac{p^2-r}{2p+q}\right|=\left|\frac{p^2+pq+r}{2p+q}\right|=\frac{\left|p^2+pq+r\right|}{\left|2p+q\right|}
p^2+pq+r=\left(p+\frac{q}{2}\right)^2+\frac{4r-q^2}{4}\geqq\frac{4r-q^2}{4}>0(\because(1))より,\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r
\thereforeR=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}……(答)

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大問1

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。