2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究大問1

方針の立て方

(1)
実際に $f\left(2,1\right)$ や $f\left(3,1\right)$ ， $f\left(1,2\right)$ や $f\left(3,1\right)$ 等を求めることで方針及び解答が得られる． $f\left(m,1\right)$ について考えるときには， $f\left(m,1\right)$ の形を作るために与えられた式に $n=1$ を代入することも見抜きたい．

(2)
前問での考察から， $f\left(m,n\right)$ を数列と見做すと都合がいいことが分かる．そこで， $f\left(m,1\right)$ や $f\left(1,n\right)$ がどういう種類の数列なのかを考える．すると方針が得られる．本問は $m$ と $n$ の二変数であるが， $f\left(1,n\right)$ から $f\left(m,n\right)$ を考えるという解法は，「 $n$ を固定して $m$ を動かす」という考え方であり，一文字固定法の考え方を応用したものである．

(3)
$f\left(m,n\right)$ の具体的な表式が得られているので， $\left(2n-1\right)\cdot2^{m-1}$ が任意の正の整数を取れることを示せばよい．奇数が $2n-1$ で表されること， $2^{m-1}$ が偶数となることから，偶奇で別個に考えると良いという方針が立つ．

解答例

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(1)
$m\geqq2$ のとき， $n=1$ とすることで，
$f\left(m,1\right)=2f\left(m-1,1\right)$
$\therefore f\left(m,1\right)=2^{m-1}f\left(1,1\right)=2^{m-1}$
$f\left(1,1\right)=1=2^{1-1}$ より， $f\left(m,1\right)=2^{m-1}$ は $m=1$ のときも成立．
$\therefore f\left(m,1\right)=2^{m-1}$ ……(答)
続いて， $f\left(1,n\right)=2n-1$ を数学的帰納法により示す．
$n=1$ のとき， $f\left(1,1\right)=1$ ， $2n-1=1$ より，成立．
$n=2$ のとき， $f\left(1,2\right)=\frac{1}{2}f\left(2,2\right)=3$ ， $2n-1=3$ より，成立．
$n=3$ のとき， $f\left(1,3\right)=\frac{1}{2}f\left(2,3\right)=\frac{1}{2^2}f\left(3,3\right)=5$ ， $2n-1=5$ より，成立．
次に， $n=k,k+1,k+2$ のとき $f\left(1,n\right)=2n-1$ が成り立つことを仮定する．
すると，
$f\left(1,k+3\right)=3f\left(1,k+2\right)-3f\left(1,k+1\right)+f\left(1,k\right)\bigm=3\left\{2\left(k+2\right)-1\right\}-3\left\{2\left(k+1\right)-1\right\}+\left(2k+1\right)\bigm=2k+5\bigm=2\left(k+3\right)-1$
これは， $n=k+3$ のときの成立を表す．
よって， $f\left(1,n\right)=2n-1$ ……(答)

(2)
$f\left(1,n\right)=2n-1$ と $f\left(m,n\right)=2f\left(m-1,n\right)$ より， $f\left(m,n\right)$ は $m$ について初項 $2n-1$ ，公比2の等比数列とみなせるから，
$f\left(m,n\right)=\left(2n-1\right)\cdot2^{m-1}$
$\therefore f\left(6,32\right)=\left(2\cdot32-1\right)\cdot2^{6-1}=2016$ ……(答)

(3)
$f\left(m,n\right)=\left(2n-1\right)\cdot2^{m-1}$ で， $m=1$ とすれば， $n$ を任意に設定することで，任意の奇数を取ることができる．
一方，任意の偶数については，全ての偶数は素因数分解によって， $2^x\times$ (奇数)とすることできるから， $m-1=x\Leftrightarrow m=x+1$ として， $n$ を任意に設定することで，任意の偶数を取ることができる．
証明終了．