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早稲田理工2016

2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問2

方針の立て方

(1)
\frac{1}{3}\times(立体の表面積)\times(内接球の半径)=(立体の体積)となることを利用する.内接球の半径の問題ではまずこの公式を疑いたい.

(2)
表面積の比については素直に計算すれば解答が得られる.その後の最大値も,単純な微分法の問題である.

(3)
aのみしか使えないため,bを消去することを考えれば良い.前問の結果を用いれば容易に消去できる.

解答例

(1)
線分CDの中点をNとすると,\trianglePMNについて,下図のように,Pから線分MNにおろした垂線の足をHとして,三平方の定理より,

PH=\sqrt{b^2-a^2}であり,これが正四角錐PABCDの高さ.
底面積は,底面が一辺2aの正方形であることから,4a^2
よって,正四角錐PABCDの体積は,
\frac{1}{3}\times4a^2\times\sqrt{b^2-a^2}=\frac{4a^2\sqrt{b^2-a^2}}{3}
一方,正四角錐PABCDの表面積は,
4a^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot2a\cdot b=4a^2+4ab
よって,求める内接球の半径をrとすると,表面積と体積の関係から,
\frac{1}{3}\cdot\left(4a^2+4ab\right)\cdot r=\frac{4a^2\sqrt{b^2-a^2}}{3}\Leftrightarrow r=a\sqrt{\frac{b-a}{b+a}}……(答)

(2)
内接する球の表面積は,
4\pi r^2=4\pi a^2\cdot\frac{b-a}{b+a}=4\pi a^2\cdot\frac{\frac{b}{a}-1}{\frac{b}{a}+1}=4\pi a^2\cdot\frac{x-1}{x+1}
正四角錐PABCDの表面積は,4a^2+4ab=4a^2\left(1+\frac{b}{a}\right)=4a^2\left(1+x\right)
\therefore\frac{4\pi a^2\cdot\frac{x-1}{x+1}}{4a^2\left(1+x\right)}=\frac{x-1}{\left(x+1\right)^2}\pi……(答)
f\left(x\right)=\frac{x-1}{\left(x+1\right)^2}\piとおくと,f^\prime\left(x\right)=\frac{3-x}{\left(x+1\right)^3}\pi
x>0に注意して増減表を描くと,

x 0 \cdots 3 \cdots
f\left(x\right) \mathrm{+} \mathrm{+} 0 -
f^\prime\left(x\right) \nearrow \nearrow 最大 \searrow

よって,求める最大値は,f\left(3\right)=\frac{\pi}{8}……(答)

(3)
x=3より,b=3a.よって,求める体積は,
\frac{4a^2\sqrt{\left(3a\right)^2-a^2}}{3}=\frac{8\sqrt2}{3}a^3……(答)

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大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。