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早稲田理工2016

2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問4

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問4

方針の立て方

(1)
「接線の問題は接点から始める」という基本的な解法から考える.

(2)(3)は典型的な三次関数と接線の問題であり特筆事項なし.

解答例

(1)
f^\prime\left(x\right)=3x^2-1
よって,接点\left(t,t^3-t\right)での接線は,
y=\left(3t^2-1\right)x-2t^3
\therefore\begin{cases} m=3t^2-1\Leftrightarrow t=\pm\sqrt{\frac{m+1}{3}}\left(m\geqq-1\right) \\ -mp+q=-2t^3 \end{cases}
\therefore q=mp\pm2\left(\frac{m+1}{3}\right)^\frac{3}{2} \left(m\geqq-1\right)……(答)

(2)
三次関数に複接線が存在しないことに注意すれば,(1)の接線の方程式に\left(p,q\right)を代入したtについての三次方程式:q=\left(3t^2-1\right)p-2t^3の解が相異なる3つの実数解となれば必要十分.
f\left(t\right)=2t^3-3pt^2+p+q((右辺)̠-(左辺))として,f\left(t\right)が極大値と極小値をもち,かつ,その2つの符号が正,負(異符号)であれば必要十分.
f^\prime\left(t\right)=6t^2-6pt=6t\left(t-p\right)
\therefore p\neq0かつ,f\left(0\right)f\left(p\right)<0\Leftrightarrow\left(p+q\right)\left(-p^3+p+q\right)<0
p=0のとき,\left(p+q\right)\left(-p^3+p+q\right)=q^2\geqq0より,p\neq0という条件は\left(p+q\right)\left(-p^3+p+q\right)<0に内包される.
\therefore\left(p+q\right)\left(-p^3+p+q\right)<0……(答)

(3)
前問の結果より,図示すべき条件は,
\begin{cases} p+q<0 \\ -p^3+p+q>0 \end{cases}
または
\begin{cases} p+q>0 \\ -p^3+p+q<0 \end{cases}
これを図示すると,下図.
但し境界は含まない.

(上図が答え)

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大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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