2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究大問4

方針の立て方

(1)
「接線の問題は接点から始める」という基本的な解法から考える．

(2)(3)は典型的な三次関数と接線の問題であり特筆事項なし．

解答例

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(1)
$f^\prime\left(x\right)=3x^2-1$
よって，接点 $\left(t,t^3-t\right)$ での接線は，
$y=\left(3t^2-1\right)x-2t^3$
$\therefore\begin{cases} m=3t^2-1\Leftrightarrow t=\pm\sqrt{\frac{m+1}{3}}\left(m\geqq-1\right) \\ -mp+q=-2t^3 \end{cases}$
$\therefore q=mp\pm2\left(\frac{m+1}{3}\right)^\frac{3}{2} \left(m\geqq-1\right)$ ……(答)

(2)
三次関数に複接線が存在しないことに注意すれば，(1)の接線の方程式に $\left(p,q\right)$ を代入した $t$ についての三次方程式： $q=\left(3t^2-1\right)p-2t^3$ の解が相異なる３つの実数解となれば必要十分．
$f\left(t\right)=2t^3-3pt^2+p+q$ ((右辺)̠ $-$ (左辺))として， $f\left(t\right)$ が極大値と極小値をもち，かつ，その２つの符号が正，負(異符号)であれば必要十分．
$f^\prime\left(t\right)=6t^2-6pt=6t\left(t-p\right)$
$\therefore p\neq0$ かつ， $f\left(0\right)f\left(p\right)<0\Leftrightarrow\left(p+q\right)\left(-p^3+p+q\right)<0$
$p=0$ のとき， $\left(p+q\right)\left(-p^3+p+q\right)=q^2\geqq0$ より， $p\neq0$ という条件は $\left(p+q\right)\left(-p^3+p+q\right)<0$ に内包される．
$\therefore\left(p+q\right)\left(-p^3+p+q\right)<0$ ……(答)

(3)
前問の結果より，図示すべき条件は，
$\begin{cases} p+q<0 \\ -p^3+p+q>0 \end{cases}$
または
$\begin{cases} p+q>0 \\ -p^3+p+q<0 \end{cases}$
これを図示すると，下図．
但し境界は含まない．

(上図が答え)