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早稲田理工2016

2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問5

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問5

方針の立て方

(1)
問題で与えられた条件を書き下すのみ.点Pに関する条件は,線分APの長さが2のみであるため,これを書き下す.すると,a,bの式となるため,a,bの条件a\geqq0,b\geqq0を加えて図示すれば答えとなる.

(2)
立体図形上の点に関する問題であるため,ベクトルで考える.後は自分で置いた文字(本解答の場合にはk)を消去すること(kにも条件がついていることに注意!)と,問題で与えられた条件a\geqq0,b\geqq0を加えれば答えとなる.

(3)
切り口は円であるため,半径を求めればよい.半径は原点と最遠点との距離になる.最遠点は自明に図形F上にあるので,図形F上の点を文字で表し,その最大値を求めればよい.

(4)
積分するだけ.

解答例

(1)
APの長さが2のため,3+a^2+b^2=4\Leftrightarrow a^2+b^2=1
a\geqq0,b\geqq0で図示すると,

(上図が答え)

(2)
AP上の点Qは,\vec{\mathrm{OQ}}=\vec{\mathrm{OA}}+k\vec{\mathrm{AP}} \left(0\leqq k\leqq1\right)を満たす.
\therefore\left(x,y,z\right)=\left(0,0,\sqrt3\right)+k\left(a,b,-\sqrt3\right)
\therefore\begin{cases} x=ka \\ y=kb \\ z=\sqrt3-\sqrt3k \end{cases}
上二式より,k=\sqrt{x^2+y^2}0\leqq k\leqq1より,0\leqq x^2+y^2\leqq1.また,a\geqq0,b\geqq0より,x\geqq0,y\geqq0
\therefore z=\sqrt3-\sqrt{3\left(x^2+y^2\right)} (0\leqq x^2+y^2\leqq1かつx\geqq0かつy\geqq0)……(答)

(3)
Fx=tで切ったとき,点\left(t,0,0\right)から最も遠い点を考える.
Fx=tの交線上の点は,
\left(x,y,z\right)=\left(t,y,\sqrt3-\sqrt{3\left(t^2+y^2\right)}\right) (ただし,0\leqq t^2+y^2\leqq1かつt\geqq0かつy\geqq0)と表せる.
\left(t,0,0\right)との距離は,\sqrt{y^2+3+3\left(t^2+y^2\right)-6\sqrt{t^2+y^2}}=\sqrt{4y^2-6\sqrt{t^2+y^2}+3t^2+3}
f\left(y\right)=4y^2-6\sqrt{t^2+y^2}とおくと,
f^\prime\left(y\right)=8y-\frac{6y}{\sqrt{t^2+y^2}}=\frac{2y\left(4\sqrt{t^2+y^2}-3\right)}{\sqrt{t^2+y^2}}
\therefore y=\begin{cases} 0\left(\frac{3}{4}\leqq t\leqq1\right) \\ 0,\sqrt{\frac{9}{16}-t^2}\left(0\leqq t\leqq\frac{3}{4}\right) \end{cases}f^\prime\left(y\right)=0
\frac{3}{4}\leqq t\leqq1のときf^\prime\left(y\right)\geqq0となり,距離の最大値はy=\sqrt{1-t^2}のときの\sqrt{1-t^2}となる.
0\leqq t\leqq\frac{3}{4}のとき,増減表を描くと,

y 0 \cdots \sqrt{\frac{9}{16}-t^2} \cdots \sqrt{1-t^2}
f^\prime\left(y\right) 0 - 0 + +
f\left(y\right) \searrow \nearrow

よって,最大値となりうるのはy=0y=\sqrt{1-t^2}のとき.
y=0のとき,距離は,\sqrt{3t^2-6t+3}=\sqrt3\left(1-t\right)となり,y=\sqrt{1-t^2}のとき,距離は,\sqrt{1-t^2}となる.
3t^2-6t+3\leqq1-t^2\Leftrightarrow\frac{1}{2}\leqq t\leqq1より,距離の最大値は,
\begin{cases} \sqrt3\left(1-t\right)\ \left(0\leqq t\leqq\frac{1}{2}\right) \\ \sqrt{1-t^2}\ \left(\frac{1}{2}\leqq t\leqq\frac{3}{4}\right) \end{cases}
\frac{3}{4}\leqq t\leqq1のときの結果と合わせると,距離の最大値は,
\begin{cases} \sqrt3\left(1-t\right) \left(0\leqq t\leqq\frac{1}{2}\right) \\ \sqrt{1-t^2} \left(\frac{1}{2}\leqq t\leqq1\right) \end{cases}
\therefore S\left(t\right)=\begin{cases} \pi\left\{\sqrt3\left(1-t\right)\right\}^2=3\pi\left(1-t\right)^2 \left(0\leqq t\leqq\frac{1}{2}\right) \\ \pi\left(\sqrt{1-t^2}\right)^2=\pi\left(1-t^2\right) \left(\frac{1}{2}\leqq t\leqq1\right) \end{cases}……(答)

(4)
V=\int_{0}^{1}S\left(t\right)dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{3\pi\left(1-t\right)^2}dt+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\pi\left(1-t^2\right)dt=\left[-\pi\left(1-t\right)^3\right]_0^{\frac{1}{2}}+\left[\pi\left(t-\frac{1}{3}t^3\right)\right]_{\frac{1}{2}}^1=\frac{13}{12}\pi……(答)

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大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。