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早稲田理工2016

2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問3

方針の立て方

(1)
f\left(f^{n-1}\left(z\right)\right)がもっと具体的に書き下せることから具体的に書き下してみる.するとf^n\left(z\right)の与えられ方が数列の漸化式と同じ形式であることが見抜けて解法が得られる.

(2)
\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|f^n\left(z\right)-\delta\right|}=0\Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{f^n\left(z\right)}=\deltaという重要な性質から考える.(※極限値が分かっていてその証明をしたい場合には\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|f^n\left(z\right)-\delta\right|}=0を利用する方が証明がしやすいことも併せておさえておこう.)

(3)
複素数の円の問題であることと,\left|\alpha\right|の形を作り出したいというところから,\left|f^n\left(z\right)-\frac{\beta}{1-\alpha}\right|を考えることが思いつく.

解答例

(1)
f^n\left(z\right)=f\left(f^{n-1}\left(z\right)\right)=\alpha f^{n-1}\left(z\right)+\beta\Leftrightarrowf^n\left(z\right)-\frac{\beta}{1-\alpha}=\alpha\left(f^{n-1}\left(z\right)-\frac{\beta}{1-\alpha}\right)
\therefore f^n\left(z\right)-\frac{\beta}{1-\alpha}=\left(f^1\left(z\right)-\frac{\beta}{1-\alpha}\right)\alpha^{n-1}=\left(f\left(z\right)-\frac{\beta}{1-\alpha}\right)\alpha^{n-1}=\left(z-\frac{\beta}{1-\alpha}\right)\alpha^n
\therefore f^n\left(z\right)=\left(z-\frac{\beta}{1-\alpha}\right)\alpha^n+\frac{\beta}{1-\alpha}……(答)

(2)
\left|a\right|<1より,\lim_{n\rightarrow\infty}{\alpha^n}=0
\therefore\lim_{n\rightarrow\infty}{f^n\left(z\right)}=\left(z-\frac{\beta}{1-\alpha}\right)\lim_{n\rightarrow\infty}{\alpha^n}+\frac{\beta}{1-\alpha}=\frac{\beta}{1-\alpha}
\therefore{\mathrm{lim}}_{n\rightarrow\infty}{\left|f^n\left(z\right)-\frac{\beta}{1-\alpha}\right|}=0
\therefore\delta=\frac{\beta}{1-\alpha}……(答)

(3)
\left|f^n\left(z\right)-\frac{\beta}{1-\alpha}\right|=\left|z-\frac{\beta}{1-\alpha}\right|\cdot\left|\alpha^n\right|=\left|z-\frac{\beta}{1-\alpha}\right|
よって,\frac{\beta}{1-\alpha}を中心とする半径\left|z-\frac{\beta}{1-\alpha}\right|の円……(答)

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大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。