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早稲田理工2016

2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問1

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2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問1

方針の立て方

(1)
実際にf\left(2,1\right)f\left(3,1\right)f\left(1,2\right)f\left(3,1\right)等を求めることで方針及び解答が得られる.f\left(m,1\right)について考えるときには,f\left(m,1\right)の形を作るために与えられた式にn=1を代入することも見抜きたい.

(2)
前問での考察から,f\left(m,n\right)を数列と見做すと都合がいいことが分かる.そこで,f\left(m,1\right)f\left(1,n\right)がどういう種類の数列なのかを考える.すると方針が得られる.本問はmnの二変数であるが,f\left(1,n\right)からf\left(m,n\right)を考えるという解法は,「nを固定してmを動かす」という考え方であり,一文字固定法の考え方を応用したものである.

(3)
f\left(m,n\right)の具体的な表式が得られているので,\left(2n-1\right)\cdot2^{m-1}が任意の正の整数を取れることを示せばよい.奇数が2n-1で表されること,2^{m-1}が偶数となることから,偶奇で別個に考えると良いという方針が立つ.

解答例

(1)
m\geqq2のとき,n=1とすることで,
f\left(m,1\right)=2f\left(m-1,1\right)
\therefore f\left(m,1\right)=2^{m-1}f\left(1,1\right)=2^{m-1}
f\left(1,1\right)=1=2^{1-1}より,f\left(m,1\right)=2^{m-1}m=1のときも成立.
\therefore f\left(m,1\right)=2^{m-1}……(答)
続いて,f\left(1,n\right)=2n-1を数学的帰納法により示す.
n=1のとき,f\left(1,1\right)=12n-1=1より,成立.
n=2のとき,f\left(1,2\right)=\frac{1}{2}f\left(2,2\right)=32n-1=3より,成立.
n=3のとき,f\left(1,3\right)=\frac{1}{2}f\left(2,3\right)=\frac{1}{2^2}f\left(3,3\right)=52n-1=5より,成立.
次に,n=k,k+1,k+2のときf\left(1,n\right)=2n-1が成り立つことを仮定する.
すると,
f\left(1,k+3\right)=3f\left(1,k+2\right)-3f\left(1,k+1\right)+f\left(1,k\right)\bigm=3\left\{2\left(k+2\right)-1\right\}-3\left\{2\left(k+1\right)-1\right\}+\left(2k+1\right)\bigm=2k+5\bigm=2\left(k+3\right)-1
これは,n=k+3のときの成立を表す.
よって,f\left(1,n\right)=2n-1……(答)

(2)
f\left(1,n\right)=2n-1f\left(m,n\right)=2f\left(m-1,n\right)より,f\left(m,n\right)mについて初項2n-1,公比2の等比数列とみなせるから,
f\left(m,n\right)=\left(2n-1\right)\cdot2^{m-1}
\therefore f\left(6,32\right)=\left(2\cdot32-1\right)\cdot2^{6-1}=2016……(答)

(3)
f\left(m,n\right)=\left(2n-1\right)\cdot2^{m-1}で,m=1とすれば,nを任意に設定することで,任意の奇数を取ることができる.
一方,任意の偶数については,全ての偶数は素因数分解によって,2^x\times(奇数)とすることできるから,m-1=x\Leftrightarrow m=x+1として,nを任意に設定することで,任意の偶数を取ることができる.
証明終了.

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。