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早稲田理工2017

2017年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問5

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2017年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問5

方針の立て方

(1)
解についての情報しか与えられないため,本問は解を中心に考えていくという方針を得る.すると,(*)の条件を使うことになるが,これを何度も使うことで解を作ることができると考える.結局三回使うと元の解に戻ってしまうため,ここで(*)を使うのは終わり.異なる解の表式が3つ(\alpha,\frac{-1}{\alpha+1},\frac{-\alpha-1}{\alpha})得られたが,これらが相異なるならこれで解探しは終わりになると期待して,これらが相異なることを確認する(具体的には\alpha=\frac{-1}{\alpha+1}\frac{-1}{\alpha+1}=\frac{-\alpha-1}{\alpha}\alpha=\frac{-\alpha-1}{\alpha}を計算して,これを満たす\alphaが存在しないことを示せれば十分である).あとは,求めるものが係数であることから,解と係数を結びつける公式,つまり,解と係数の関係を使えば解答が得られる.

(2)
f\left(x\right)の具体的な表式が得られたため,普通の微分法の問題で解いていけばよい.

(3)
またしても解に着目しているため,x=2\cos{\theta}を出発点として,(1)と同様に(*)を繰り返し用いることで,解を全て出し尽くすことを考える.後は本解答の通り,それらが,2\cos{2\theta}2\cos{3\theta}と一致することを示す.

(4)
\thetaを求めるので,三角方程式を立式する必要があると考える.
さて,(3)では,x=2\cos{\theta}から出発して(*)を繰り返し使ったが,x=2\cos{2\theta}から始めてもいいはずである.それを実際に試してみることで三角方程式を導ける.

解答例

(1)
f\left(x\right)=0は3次方程式のため,少なくとも1つの実数解が存在する.その実数解をx=\alphaとする.
すると,g\left(\alpha\right)=\frac{-1}{\alpha+1}も解であり,よって,g\left(g\left(\alpha\right)\right)=\frac{-1}{g\left(\alpha\right)+1}=\frac{-\alpha-1}{\alpha}も解であり,よって,g\left(g\left(g\left(\alpha\right)\right)\right)=\frac{-1}{g\left(g\left(\alpha\right)\right)+1}=\alphaも解である.
ここで,\alpha=\frac{-1}{\alpha+1}を仮定すると,\alpha^2+\alpha+1=0となり,\alphaは実数とはならないため不適.
\alpha=\frac{-\alpha-1}{\alpha}を仮定すると,\alpha^2+\alpha+1=0となり,\alphaは実数とはならないため不適.
\frac{-1}{\alpha+1}=\frac{-\alpha-1}{\alpha}を仮定すると,\alpha^2+\alpha+1=0となり,\alphaは実数とはならない.
よって,x=\alpha,\frac{-1}{\alpha+1},\frac{-\alpha-1}{\alpha}は互いに相異なる3つの実数解であり,代数学の基本定理より,これがf\left(x\right)=0の解の全てである.
3次方程式の解と係数の関係より,
\begin{cases} \alpha+\frac{-1}{\alpha+1}+\frac{-\alpha-1}{\alpha}=-1 \\ \alpha\cdot\frac{-1}{\alpha+1}+\frac{-1}{\alpha+1}\cdot\frac{-\alpha-1}{\alpha}+\frac{-\alpha-1}{\alpha}\cdot\alpha=p \\ \alpha\cdot\frac{-1}{\alpha+1}\cdot\frac{-\alpha-1}{\alpha}=-q \end{cases}
第三式より,q=-1
第一式より,\alpha^3+\alpha^2-2\alpha-1=0.これと,f\left(\alpha\right)=0\Leftrightarrow\alpha^3+\alpha^2+p\alpha+q=0\Leftrightarrow\alpha^3+\alpha^2+p\alpha-1=0を比較すると,p=-2
\therefore\left(p,q\right)=\left(-2,-1\right)……(答)

(2)
f\left(x\right)=0が3つの実数解をもつことは前問の議論の通り.以下では,その3つの実数解が-2<x<2の範囲にあることを示す.
f\left(x\right)=x^3+x^2-2x-1より,f\left(-2\right)=-10f\left(0\right)=-10である.
f\left(x\right)は連続関数であるから,中間値の定理より,-2<x<-1-1<x<00<x<2のそれぞれの範囲にf\left(x\right)=0となるxが存在する. 証明終了

(3)
2\cos{\theta}f\left(x\right)=0の解であるため,
f\left(2\cos{\theta}\right)=0\Leftrightarrow8{\mathrm{cos}}^3\theta+4{\mathrm{cos}}^2\theta-4\cos{\theta}-1=0…①
が成立する.また,
g\left(2\cos{\theta}\right)=\frac{-1}{2\cos{\theta}+1}も解となる.
ここで,\frac{-1}{2\cos{\theta}+1}=2\cos{2\theta}を示す.
\frac{-1}{2\cos{\theta}+1}=2\cos{2\theta}を示すには,これを変形した8{\mathrm{cos}}^3\theta+4{\mathrm{cos}}^2\theta-4\cos{\theta}-1=0を示せば必要十分だが,これは,①より成立するため,\frac{-1}{2\cos{\theta}+1}=2\cos{2\theta}   証明終了
さて,g\left(g\left(2\mathrm{cos}{\theta}\right)\right)=\frac{-2\cos{\theta}-1}{2\cos{\theta}}も解となる.
ここで,\frac{-2\cos{\theta}-1}{2\cos{\theta}}=2\cos{3\theta}を示す.
\frac{-2\cos{\theta}-1}{2\cos{\theta}}=2\cos{3\theta}を示すには,これを変形した\left(2\cos{\theta}-1\right)\left(8\cos^3\theta+4\cos^2\theta-4\cos{\theta}-1\right)=0を示せば必要十分だが,これは,①より成立するため,\frac{-2\cos{\theta}-1}{2\cos{\theta}}=2\cos{3\theta}   証明終了
まとめると,g\left(2\cos{\theta}\right)=2\cos{2\theta}g\left(g\left(2\cos{\theta}\right)\right)=2\cos{3\theta}であり,g\left(2\mathrm{cos}{\theta}\right)g\left(g\left(2\mathrm{cos}{\theta}\right)\right)f\left(x\right)=0の解であるから,2\cos{2\theta}2\cos{3\theta}f\left(x\right)=0の解である. 証明終了

(4)
前問の議論よりg\left(2\cos{2\theta}\right)=g\left(g\left(2\mathrm{cos}{\theta}\right)\right)=2\cos{3\theta}が成り立つ.
さらに,前問で示したg\left(2\cos{\theta}\right)=2\cos{2\theta}について,\theta\rightarrow2\thetaと置き換えると,g\left(2\cos{2\theta}\right)=2\cos{4\theta}が成り立つ.
\therefore\cos{3\theta}=\cos{4\theta}が成り立つ必要であり,これを解くと,
3\theta=2n\pi\pm4\theta (nは整数)\Leftrightarrow\theta=-2n\pi,\frac{2n\pi}{7}
0<\theta<\piより,\theta=\frac{2}{7}\pi,\frac{4}{7}\pi,\frac{6}{7}\piである必要であると分かる.
\theta=\frac{2}{7}\pi,\frac{4}{7}\pi,\frac{6}{7}\piに対して,x=2\cos{\theta}は相異なる3つの実数となり,これで十分であることも分かる.
よって,\theta=\frac{2}{7}\pi,\frac{4}{7}\pi,\frac{6}{7}\pi……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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