偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

  • 資料請求
  • 資料請求
  • カウンセリング
  • お電話
早稲田理工2017

2017年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

早稲田大学理工過去問徹底研究 2017年 大問2

方針の立て方

(1)基本問題であるため特筆事項なし.
(2)絶対値問題の初動捜査である符号の変わり目で場合分け(分割)を行う.
(3)典型的な微分法の最大最小問題であり特筆事項なし.

解答例

(1)
f^\prime\left(x\right)=-ae^{-a\left(x-2\right)}-a\left(2-ax\right)e^{-a\left(x-2\right)}=a\left(ax-3\right)e^{-a\left(x-2\right)}
よって,増減表を描くと,

x \cdots \frac{3}{a} \cdots
f^\prime\left(x\right) - 0 \mathrm{+}
f\left(x\right) \searrow -e^{2a-3} \nearrow

\lim_{x\rightarrow-\infty}{f\left(x\right)}=\infty
\lim_{x\rightarrow\infty}{f\left(x\right)}=0
また,x=\frac{2}{a}x軸と交わる.
よって,
(上図が答え)

(2)
p=\frac{3}{a}である.x=\frac{2}{a}f\left(x\right)が正から負に符号変化することに注意すると,
S=\int_{0}^{\frac{2}{a}}f\left(x\right)dx+\int_{\frac{2}{a}}^{\frac{3}{a}}\left\{-f\left(x\right)\right\}dx
ここで,
\int f\left(x\right)dx=\int{2e^{-a\left(x-2\right)}}dx+\int{\left(-ax\right)e^{-a\left(x-2\right)}}dx\bigm=-\frac{2}{a}e^{-a\left(x-2\right)}+xe^{-a\left(x-2\right)}-\int e^{-a\left(x-2\right)}dx(第2項に部分積分)=-\frac{2}{a}e^{-a\left(x-2\right)}+xe^{-a\left(x-2\right)}+\frac{1}{a}e^{-a\left(x-2\right)}+C\bigm=\left(x-\frac{1}{a}\right)e^{-a\left(x-2\right)}+C(Cは積分定数)
\therefore S=\left[\left(x-\frac{1}{a}\right)e^{-a\left(x-2\right)}\right]_0^{\frac{2}{a}}-\left[\left(x-\frac{1}{a}\right)e^{-a\left(x-2\right)}\right]_{\frac{2}{a}}^{\frac{3}{a}}=\frac{e^{2a}}{a}\left(1+2e^{-2}-2e^{-3}\right)……(答)

(3)
1+2e^{-2}-2e^{-3}>0に注意して,\frac{e^{2a}}{a}の最小値を考える.
g\left(a\right)=\frac{e^{2a}}{a}とする.
g^\prime\left(a\right)=\frac{\left(2a-1\right)e^{2a}}{a^2}
増減表を描くと,

a \cdots \frac{1}{2} \cdots
g^\prime\left(a\right) - 0 \mathrm{+}
g\left(a\right) \searrow 最小 \nearrow

よって,Sを最小にするaの値は,a=\frac{1}{2}……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

早慶の過去問を解いてみてまったくわからない・・どのように勉強をしたら良いのか知りたい方はお気軽にこちらからご連絡ください。

LINE公式アカウント開始

LINE公式アカウントのみでの限定情報もお伝えします。ぜひご登録ください。

Published by

早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。