早稲田大学理工過去問徹底研究　2017年大問2

方針の立て方

(1)基本問題であるため特筆事項なし．
(2)絶対値問題の初動捜査である符号の変わり目で場合分け(分割)を行う．
(3)典型的な微分法の最大最小問題であり特筆事項なし．

解答例

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(1)
$f^\prime\left(x\right)=-ae^{-a\left(x-2\right)}-a\left(2-ax\right)e^{-a\left(x-2\right)}=a\left(ax-3\right)e^{-a\left(x-2\right)}$
よって，増減表を描くと，

$x$	$\cdots$	$\frac{3}{a}$	$\cdots$
$f^\prime\left(x\right)$	$-$	$0$	$\mathrm{+}$
$f\left(x\right)$	$\searrow$	$-e^{2a-3}$	$\nearrow$

$\lim_{x\rightarrow-\infty}{f\left(x\right)}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow\infty}{f\left(x\right)}=0$
また， $x=\frac{2}{a}$ で $x$ 軸と交わる．
よって，
(上図が答え)

(2)
$p=\frac{3}{a}$ である． $x=\frac{2}{a}$ で $f\left(x\right)$ が正から負に符号変化することに注意すると，
$S=\int_{0}^{\frac{2}{a}}f\left(x\right)dx+\int_{\frac{2}{a}}^{\frac{3}{a}}\left\{-f\left(x\right)\right\}dx$
ここで，
$\int f\left(x\right)dx=\int{2e^{-a\left(x-2\right)}}dx+\int{\left(-ax\right)e^{-a\left(x-2\right)}}dx\bigm=-\frac{2}{a}e^{-a\left(x-2\right)}+xe^{-a\left(x-2\right)}-\int e^{-a\left(x-2\right)}dx$ (第2項に部分積分) $=-\frac{2}{a}e^{-a\left(x-2\right)}+xe^{-a\left(x-2\right)}+\frac{1}{a}e^{-a\left(x-2\right)}+C\bigm=\left(x-\frac{1}{a}\right)e^{-a\left(x-2\right)}+C$ ( $C$ は積分定数)
$\therefore S=\left[\left(x-\frac{1}{a}\right)e^{-a\left(x-2\right)}\right]_0^{\frac{2}{a}}-\left[\left(x-\frac{1}{a}\right)e^{-a\left(x-2\right)}\right]_{\frac{2}{a}}^{\frac{3}{a}}=\frac{e^{2a}}{a}\left(1+2e^{-2}-2e^{-3}\right)$ ……(答)

(3)
$1+2e^{-2}-2e^{-3}>0$ に注意して， $\frac{e^{2a}}{a}$ の最小値を考える．
$g\left(a\right)=\frac{e^{2a}}{a}$ とする．
$g^\prime\left(a\right)=\frac{\left(2a-1\right)e^{2a}}{a^2}$
増減表を描くと，