早稲田大学理工過去問徹底研究　2017年大問4

方針の立て方

(1)
まずは $p_k\left(t\right)$ の表式を求めることを考える． $p_k\left(t\right)$ は $k$ と $t$ の二文字の式であるが，与えられた関係式(漸化式)が $t$ を固定して $k$ を動かしていることから， $p_k\left(t\right)$ は $k$ についての数列と見て考えるのがよさそうだと気付く．この漸化式は普通に解けるタイプのものではないから，試しに $p_1\left(t\right)$ や $p_2\left(t\right)$ ， $p_3\left(t\right)$ 等を求めると，解法を得られる．数列の問題は代入して解法を得られることが多いため，困ったら代入して計算してみよう．
また，シグマ内のコンビネーションは二項定理で変形することも重要な解法であるためおさえておくこと．

(2)
「 $p_k\left(t\right)$ が確率である」という情報を使っていないことに気付ければ解法が得られる．確率の総和は１であるから，前問の解答と＝にすればよい．
(3)
今度は $k$ を固定して $t$ を動かす．要は， $p_k\left(t\right)$ は $t$ の一変数関数であるから，微分をして求めればよい．

(4)
代入して計算する．やはりシグマ内のコンビネーションが出てくるため，これを二項定理で変形する．

解答例

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(1)
まず， $p_k\left(t\right)=\frac{a^k\cdot n!}{k!\left(n-k\right)!}t^n$ であることを $k$ についての数学的帰納法で示す．
$k=0$ のとき，(右辺) $=\frac{a^0\cdot n!}{0!n!}t^n=t^n$ ．よって，成立．
$k=m$ ( $m$ は $1\leqq m\leqq n-1$ を満たす自然数)のときの成立を仮定．つまり， $p_m\left(t\right)=\frac{a^m\cdot n!}{m!\left(n-m\right)!}t^n$ を仮定する．
すると，
$p_{m+1}\left(t\right)=a\cdot\frac{n-\left(m+1\right)+1}{m+1}\cdot p_m\left(t\right)$ ( $\because$ 漸化式) $=a\cdot\frac{n-\left(m+1\right)+1}{m+1}\cdot\frac{a^m\cdot n!}{m!\left(n-m\right)!}t^n$ ( $\because$ 帰納法の仮定) $=\frac{a^{m+1}\cdot n!}{\left(m+1\right)!\left\{n-\left(m+1\right)\right\}!}t^n$
となり，これは $k=m+1$ での成立を意味する．
以上，数学的帰納法により $p_k\left(t\right)=\frac{a^k\cdot n!}{k!\left(n-k\right)!}t^n={{_n^}C}_ka^kt^n$ であることが示せた．証明終了．
さて，途中で二項定理を用いれば，
$\sum_{k=0}^{n}{p_k\left(t\right)}=\sum_{k=0}^{n}{{{_n^}C}_ka^kt^n}=t^n\sum_{k=0}^{n}{{{_n^}C}_ka^k\cdot1^{n-k}}=t^n\left(a+1\right)^n$ ……(答)

(2)
$k=0,1,2,\cdots\cdots,n$ より， $\sum_{k=0}^{n}{p_k\left(t\right)}$ は全事象の確率の和である．
$\therefore\sum_{k=0}^{n}{p_k\left(t\right)}=1$
$\therefore t^n\left(a+1\right)^n=1$
$t\left(a+1\right)>0$ より， $t\left(a+1\right)=1$
$\therefore a=\frac{1-t}{t}$ ……(答)

(3)
$p_k\left(t\right)={{_n^}\mathrm{C}}_k\left(\frac{1-t}{t}\right)^kt^n={{_n^}\mathrm{C}}_k\left(1-t\right)^kt^{n-k}$
$k\neq0,n$ のとき，
$\frac{d}{dt}p_k\left(t\right)={{_n^}\mathrm{C}}_k\left\{-k\left(1-t\right)^{k-1}t^{n-k}+\left(1-t\right)^k\left(n-k\right)t^{n-k-1}\right\}={{_n^}\mathrm{C}}_k\left(1-t\right)^{k-1}t^{n-k-1}\left(-nt+n-k\right)$
よって， $t=0,\frac{n-k}{n},1のとき，\frac{d}{dt}p_k\left(t\right)=0$
増減表を描くと，

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{n-k}{n}$	$\cdots$	$1$
$\frac{d}{dt}p_k\left(t\right)$	$0$	$\mathrm{+}$	$0$	$-$	$0$
$p_k\left(t\right)$		$\nearrow$	最大	$\searrow$

$\therefore T_k=\frac{n-k}{n}$
$k=0$ のとき， $p_0\left(t\right)=t^n$ より， $T_0=1=\frac{n-k}{n}$
$k=n$ のとき， $p_n\left(t\right)=\left(1-t\right)^n$ より， $T_n=0=\frac{n-k}{n}$
よって，全ての $k$ に対して，
$\therefore T_k=\frac{n-k}{n}$ ……(答)

(4)
$E=\sum_{k=0}^{n}{\frac{n-k}{n}\cdot{{_n^}\mathrm{C}}_k\left(1-t\right)^kt^{n-k}}=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{n-k}{n}\cdot{{_n^}C}_k\left(1-t\right)^kt^{n-k}}=t\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{\left(n-1\right)!}{k!\left(n-1-k\right)!}\left(1-t\right)^kt^{n-1-k}}\bigm=t\sum_{k=0}^{n-1}{{{_n^}C}_k\left(1-t\right)^kt^{n-1-k}}=t\left\{\left(1-t\right)+t\right\}^{n-1}$ (二項定理) $=t$
$\therefore E=t$ ……(答)