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早稲田理工2017

2017年早稲田大学理工|過去問徹底研究 大問1

早稲田大学理工過去問徹底研究 2017年 大問1

方針の立て方

(1)
消すべき文字はz,\bar{z},\bar{\beta}であるが,z,\bar{z}はPQ上の点を代入することで消滅するため,実質消去すべき文字は\bar{\beta}のみである.そのため,二点を代入して,連立方程式として解けばよいことが分かる.

(2)
z\rightarrow wへの変換であるため,zwの式に書き直せばよい.

(3)
\trianglePQRの内部を求める問題であるが,\trianglePQRの辺(領域の境界)について考え,その内部と考えればよい.複素共役は複素数平面では実軸対称性を持つことに注意すると,余計な計算をしないで済む.

解答例

ronin
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(1)
z=1を通るので,\beta+\bar{\beta}+1=0
z=\alphaを通るので,\beta\alpha+\bar{\beta}\bar{\alpha}+1=0
二式から\bar{\beta}を削除して,
\beta=\frac{1-\bar{\alpha}}{\bar{\alpha}-\alpha}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6}i\right)}{\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6}i\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{6}i\right)}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i……(答)

(2)
z=\frac{1}{w}であるから,(1)のPQの式に代入して,
\frac{\beta}{w}+\frac{\bar{\beta}}{\bar{w}}+1=0\Leftrightarrow\left(\bar{w}+\bar{\beta}\right)\left(w+\beta\right)=\beta\bar{\beta}\Leftrightarrow\left|w+\beta\right|^2=1\left(\because\beta\bar{\beta}=1\right)
よって,-\betaを中心とする半径1の円……(答)

(3)
直線QRを表す式は,\frac{z+\bar{z}}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow z+\bar{z}=1である.
z=\frac{1}{w}を代入すると,
\frac{1}{w}+\frac{1}{\bar{w}}=1\Leftrightarrow\left(\bar{w}-1\right)\left(w-1\right)=1\Leftrightarrow\left|w-1\right|^2=1
よって,直線QR上を点wが動くときの軌跡は,1を中心とする半径1の円.
直線PR上を動くときは,直線PRが直線PQの複素共役であることを考えると,-\bar{\beta}を中心とする半径1の円.
求める範囲は,(2)の円と,上記の2円の計3円で囲まれた領域であり,図示すると,

また,面積については,

上図のように考えれば,求める面積は,中心角\frac{2}{3}\piの扇形から,正三角形を取り除いた中心角\frac{1}{3}\piの扇形を2つ引いた面積と等しくなる(扇形の半径はどれも1)ため,
\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\frac{2}{3}\pi-2\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot\frac{1}{3}\pi-\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin{\frac{\pi}{3}}\right)=\frac{\sqrt3}{2}……(答)

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大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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