理系数学の各分野勉強法

数学はただ闇雲に勉強をしていても成績は上がりません。それぞれの分野でポイントを抑えて勉強を進めていくことが大事です。下記でどのように要点を抑えて勉強をしたら良いのかをお伝えしていきます。

高校数学の流れを考える

数学を苦手になる理由として、次から次へと新しい分野を行っていくために今何を行っているのか？、前の分野で使ったことは使えないのか？という錯覚に陥ってしまいます。なぜならば、学校で習う数学の順番というのは特に意味がなく、昔からこの順番で習うと決まっているから、現在の順番で学んでいるのです。それぞれの数学を学ぶ順番の意味合い、他の分野との関係性を理解していくことが大事です。

特に理系の場合は、数3の微分積分が速く正確にできるようになるということが絶対条件としてあります。この分野までにいかに効率的に行っていくかどうかというのが高速理解のための必須条件となります。数学3の微分積分というのは計算自体は複雑で難しいですが、問題自体のパターンは少なく問題数さえこなせれば得意になることが可能です。得意になるためには問題数をこなしておくという前提条件があります。問題数をこなすためには、いかにして早い段階で数学3まで到達することができるのか？という点がポイントになります。

当塾では、効率的に効率的に指導を行っていくために順番を改変して指導を行っています。数学1A→2B→3という順番に勉強をしていっては数学ができない人にとっては様々な分野が入り交じるため成績を効率的に上げるためにはよくない順番です。

また、各分野についての関係のイメージを持っておくことも大切です。
例えば複素平面で考えてみましょう。下記の図を見てください。
回転と拡大縮小という考え方はイメージがつきづらいですが、三角関数との関係やベクトル的なイメージを持っていると随分考えやすくなります。

数学の勉強というのは、正しく勉強すれば誰でも成績を上げることが可能です。

＜二次関数＞
二次関数単体の問題は少ないのですが、最終的に最大最小の議論を二次関数で行うなど道具としての面が強いです。
軸や範囲による場合分け、解の配置の二つが主にできれば差支えないので、完璧に使えるように演習しておきましょう。

＜不等式＞
単体で不等式が出題されるのは阪大など一部に限られますが、相加相乗平均の不等式、再配列不等式、シュバルツの不等式、チェビシェフの不等式くらいは当たっておいてほしいところです。
もともと不等式の議論というのは、不等式の変形で同値性が崩れやすく、必要十分に気を配りながら解いていく必要があり、極めて難しいです。
不等式は正負も大事になってくるのでよく理解しておきましょう。
また数Ⅲ絡みの出題も多いので、しっかりと演習量を積んでおきましょう。

＜場合の数＞
この分野は問題によっては小学生でも解けますし、これまでの蓄積の面が強いのですが、勉強のしかた次第で難しい問題でも解けないわけではありません。
樹形図、表を駆使して漏れや重複なく数え上げられるように訓練しましょう。
１０００通り前後、例えばさいころ四つ投げた３６×３６＝１２９６通りくらいは手計算で数え上げられるように鍛えましょう。

また有名な対応づけは十分理解し、それを応用できるようにしておくと強いですし、センスが身に付きます。
巧妙な解法は思いつかないから無駄という人がいますが、本番でエレガントな解法を思いつくには普段から巧妙な解法に触れていなければ、無理な話です。
短時間で習得できる分野ではないので長いスパンを設けてじっくりと向き合ってあげてください。

＜確率＞
場合の数とやることは大差ないですが、場合の数と致命的に違うのは、同様に確からしいに気を配る必要があるということです。
あとは条件付き確率ですが、ベン図を使うと理解しやすいので参考にしてみてください。期待値は範囲外ですが面白いので触れてみることをおススメします。
確率漸化式が早慶をはじめ、難関大では多く出題されるので対策が必要です。
すべての確率の和は１になることは忘れやすいのですが、これが鍵になる問題も多いので、頭の片隅にとどめておきましょう。

＜整数＞
この分野は好き嫌いが分かれますが、大学受験レベルだと、因数に注目する、不等式などで範囲を絞る、余り（mod）を考える、の三本柱を組み合わせて解けるので自分の頭でじっくり考えるのが大事です。
ガウス記号やペル方程式、不定方程式など頻出問題には当たっておきましょう。
大学ごとで問題の傾向が分かれるので過去問を見て、似たような問題に当たって鍛えておきましょう。

＜代数、方程式＞
東大、京大などの難関大になると、時々難問で出るのですが、この分野は余裕があればやるくらいで良いと思います。
結構知識の面も強いので、数学でやることなくなった人は趣味程度にやると楽しいです。
チェビシェフの多項式、ラグランジュの補間公式、プラーマグプタの恒等式などは知っていれば便利なので、余裕があれば触れておくと面白いと思います。

＜三角関数＞
ラジアンの理解が甘いひとがときどきいて、sin1がどういうことを意味しているのか分からないというのは困るので定義をちゃんと理解しておきましょう。
またこの分野も他の問題と融合で出るので、加法定理、和積は自由自在に行き来できるようにしましょう。倍角は３倍角くらいまで暗記しておくと便利です。
また最大最小や領域などで最終的に三角関数の処理になることがしばしばあるので計算で間違えることのないように反復練習しておきましょう。

＜対数＞
理系でlogというと底がeのことがおおいのですが、何桁か問われたりすることもたまにあるので底が何でもしっかりと扱えるようにしましょう。

また対数の四則演算は計算演習が甘いと間違えことも多いので無意識でもできるレベルまで計算演習をしておきましょう。

＜数列＞
等差数列、等比数列の一般項や和を理解しているのはもちろんのこと、添え字にその都度気を配ることは大事です。また和をとる＝差を作るということは極めて大事なので、ここでは詳しく説明しませんが、よく考えておきましょう。
難関大では、偶奇で一般項が違かったり、ガウス記号がついていたりと面白い数列が出題されますが数列として特殊な知識を使うことはありません。
整数の見方も大事にしながら理解を深めていきましょう。

＜ベクトル＞
平面、空間上の状態を表現するための新たな道具がベクトルです。
慣れるまではなかなか掴みづらいのですが、大事になるのは一次独立、内積、単位ベクトルくらいなので、そこの概念はしっかりと確認しておきましょう。
平面は解けるけど、空間は解けなくなる人がいますがやることは変わらないので怯えないでください。
座標を置けば頑張れば解けますが、　計算量が大変になることが多いのでベクトルは大事です。

＜座標＞
座標の知識としては、点と直線の距離の公式、傾きはtanでとらえる、束の考え方、順手流・逆手流（通過範囲）が抑えられていれば十分でしょう。
円の考察が絡む問題も少なくないので接線や距離関係などにも一通り当たっておきましょう。
あとは軌跡を求めたり、最大最小の問題ができれば基本は大丈夫でしょう。
また図形的考察やベクトルを駆使して計算量を抑えるなど上手に考えていけるとよいですね。
逆に幾何やベクトルを座標で解くこともできるので計算力の増強は課題となるでしょう。

＜極限＞
定義はもちろんのこと教科書に載っているような極限の公式は理解したうえで、覚えてしまいましょう。
また極限という新しい概念に置いていかれるひとも多いのですが、大雑把に考えることが極めて大事なので問題を解く前に極限の予想ができることも多く、極限の感覚を掴みながら演習していきましょう。
ｎ試行の確率もｎ→∞にして答えの検算を行うこともできますし、使えるようになると便利なので慣れておきたいところです。
また微積を重視するあまり極限を後回しにする人がいるのですが、微分、積分の基礎は極限なので極限→微積という順番で学習しましょう。

<微分＞
数Ⅲの微分はlog、e、sin、cos,…など微分で扱うものの幅が広くなるので、一気にバラエティーが増えます。
しかし、一つ一つ定義に立ち返って微分を理解したうえで、積の微分も含めて高速で微分できる処理能力を身につけましょう。
また定数分離というのは重要な定石の一つでこれを使えば、ほとんどの問題が微分で解決できます。高速処理能力が身につくようにガンガン微分しよう。

＜積分＞
これも微分同様に一気に扱う積分が増え、これに堪え切れず、文転する人が後を絶ちません。
微分と違って、部分積分、置換積分、ペアとなる積分を持ち出す、etc…などテクニックを駆使して積分できる形に変形するのが積分の難しさです。
こればかりは卓球の来た球を瞬時に打ち返す練習と同じで、ガンガン反射的に積分するしかないです。
本番まで毎日１５分は積分計算タイムを設けて下さい。
理系は積分が満足にできないような人は大学に必要とされません。それくらい大事です。
また漸化式絡みの積分も頻出ですが、これは部分積分すればほとんど解決します。
ウォリス積分の問題には触れておいて損はないでしょう。

＜複素平面＞
実軸、虚軸に複素数を対応させた文字通りの内容で、課程が変わった年を境に、旧帝大、早慶、上位医学部での出題頻度が非常に高く、出題者お気に入りの分野です。
極形式などか確実に抑えたうえで、直線、円の方程式は複素数で表せるようにしておきましょう。
また複素数の式変形にはしっかりと慣れておきましょう。
一文字で状態を表せる複素平面の方が座標より使いやすいと感じてくればokです。

＜二次曲線・楕円＞
これはそれぞれの関数ごと定義が大事で、焦点と絡めて基礎を押さえておけば十分だと思います。
あとは巷に出回っている問題集をやって入試問題の雰囲気を知っておきましょう。
円と楕円の位置関係などときどき出題されますが、方程式や含有条件に帰着されることがほとんどなのでまずは定義をしっかりと整理して、自分の中に落とし込んでください。

Q＆Ａ

ここでは基礎的な数学部分について当塾に寄せられる質問をQ＆A形式でお答えします。
解答はプラトン先生にお答えいただきます。

質問1

学校で皆がチャート式を使って勉強しています。僕も真似して使っているのですが、正直答えを見ても理解できず、ただ暗記しているような気がします。これでも大丈夫ですか

プラトン先生

暗記をしているだけでは、数学をその場しのぎの問題に対処することはできますが、圧倒的に得意にすることはできません。得意にするためには、概念を理解して上述したように数学を理解していく必要があります。特にチャート式は網羅系といわれるくらい問題数が多く、日本語での説明は皆無です。ある程度理解した段階で抜け漏れがないかの確認、問題数を稼ぐという意味合いで使用するのであればチャート式でも使いこなすことができます。ですが、数学が苦手でかつよく理解できてない段階でチャート式を使用するのはよくないです。情報量が多すぎます。

質問2

数学ができません。私は文系脳なのでしょうか？　また数学的センスが無いのでしょうか？どれだけ学校でもらったワークを覚えてもテストの最中に忘れてしまったり、全然できません。このまえはテストの点数は一桁でした。現代文や社会は学年でもトップクラスでできるのですが、、、どうしたら良いのでしょうか？

プラトン先生

まずは落ち着いてください。数学にセンスは必要ありません。現在数学ができてないというのは様々な原因が考えられますが、ワークをやってもできてないということはワークの内容が自身の言葉で噛み砕けてない可能性があります。数学は数を扱う科目ですが、根幹は日本語で理解ができるかどうかという点に絞られてきます。数式を見て、数式で理解をするのではなくて、日本語でどういう意味でいっているのか？、座標でイメージするとどういう意味になるのか？という点を理解していきましょう。またそれができないというのであれば現在行っていることの前提条件が抜けている可能性があります。特に、中学は数学ができたけど高校になったら数学ができなくなった・・という子は、中学は覚えるだけで対応していたという場合が多いです。これでは数学はできるようにはなりません。中学レベルの内容から日本語で噛み砕けるように勉強してみてください。数学は正しく勉強すれば誰でもできる科目です。がんばって下さいね。