方針の立て方
断面を求めるには，交点(頂点)を求めるという典型的な解法に従う． $a$ の値によって，断面の様子が違うことは実際に $a=1$ のときの図形と $a=3$ のときの図形を描いてみると分かる(本問のように，パラメーターの範囲が定められているときは，範囲の両端のときを考えると分かりやすいことが多い)．答えの表式から，場合分けの両方をやらなくても答え自体は求められる．本当は場合分けの両方を検証せねばならないが，穴埋め式の問題のため，本番では片方だけやって，穴を埋めることで時間を節約する．
体積については，基本的な解法で解けるため特筆事項なし．

解答例
(16)(17)…… $\frac{\sqrt3}{2}$
(18)(19)…… $-1$
(20)(21)…… $04$
(22)(23)…… $-2$
(24)(25)(26)(27)…… $\frac{4+\sqrt{10}}{3}$
(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)…… $\frac{28+10\sqrt{10}}{81}$

解説
○断面の面積((16)～(23)について)
平面 $x+y+z=a$ は3点 $\left(a,0,0\right),\left(0,a,0\right),\left(0,0,a\right)$ を通る平面である．この平面と直方体の断面を考えると， $a=2$ の前後で場合分けが生じると分かる．
・ $1<a\leqq2$ のとき，
断面は $\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする五角形である．
$\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-1,0,1\right)\right|^2\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2-\left\{\left(-1,0,1\right)\cdot\left(-a,a-1,1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)$
である．
$\left(a,0,0\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2-\left\{\left(-a,a-1,1\right)\cdot\left(-a,1,a-1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)$
である．
$\left(a,0,0\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2\left|\left(-1,1,0\right)\right|^2-\left\{\left(-a,1,a-1\right)\cdot\left(-1,1,0\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)$
である．
よって，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)+\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$
・ $2\leqq a<3$ のとき
断面は $\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)$ を頂点とする五角形である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,0,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,0,-a+3\right)\cdot\left(a-4,1,-a+3\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)$
である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-4,1,-a+3\right)\cdot\left(a-3,1,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}$
である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2\left|\left(0,a-2,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,1,-a+2\right)\cdot\left(0,a-2,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)$
である．
よって，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$
以上より，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$ ……(答)

○体積((24)～(35)について)
原点 $\mathrm{O}$ と平面 $x+y+z=a$ の距離は，
$\frac{\left|-a\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{a}{\sqrt3}$
$\therefore V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)=\frac{a}{6}\left(-a^2+4a-2\right)$
よって， $\frac{dV}{da}=\frac{1}{6}\left(-3a^2+8a-2\right)$ であり， $\frac{dV}{da}=0$ となるのは， $a=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}$ のとき．増減表を描くと，