偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應環境情報2016

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
断面を求めるには,交点(頂点)を求めるという典型的な解法に従う.aの値によって,断面の様子が違うことは実際にa=1のときの図形とa=3のときの図形を描いてみると分かる(本問のように,パラメーターの範囲が定められているときは,範囲の両端のときを考えると分かりやすいことが多い).答えの表式から,場合分けの両方をやらなくても答え自体は求められる.本当は場合分けの両方を検証せねばならないが,穴埋め式の問題のため,本番では片方だけやって,穴を埋めることで時間を節約する.
体積については,基本的な解法で解けるため特筆事項なし.

解答例
(16)(17)……\frac{\sqrt3}{2}
(18)(19)……-1
(20)(21)……04
(22)(23)……-2
(24)(25)(26)(27)……\frac{4+\sqrt{10}}{3}
(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)……\frac{28+10\sqrt{10}}{81}

解説
○断面の面積((16)~(23)について)
平面x+y+z=aは3点\left(a,0,0\right),\left(0,a,0\right),\left(0,0,a\right)を通る平面である.この平面と直方体の断面を考えると,a=2の前後で場合分けが生じると分かる.
1<a\leqq2のとき,
断面は\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)を頂点とする五角形である.
\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right)を頂点とする三角形の面積は,空間ベクトルによる三角形の面積公式より,
\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-1,0,1\right)\right|^2\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2-\left\{\left(-1,0,1\right)\cdot\left(-a,a-1,1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)
である.
\left(a,0,0\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right)を頂点とする三角形の面積は,空間ベクトルによる三角形の面積公式より,
\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2-\left\{\left(-a,a-1,1\right)\cdot\left(-a,1,a-1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)
である.
\left(a,0,0\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)を頂点とする三角形の面積は,空間ベクトルによる三角形の面積公式より,
\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2\left|\left(-1,1,0\right)\right|^2-\left\{\left(-a,1,a-1\right)\cdot\left(-1,1,0\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)
である.
よって,
S=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)+\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)
2\leqq a<3のとき
断面は\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)を頂点とする五角形である.
\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right)を頂点とする三角形の面積は,空間ベクトルによる三角形の面積公式より,
\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,0,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,0,-a+3\right)\cdot\left(a-4,1,-a+3\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)
である.
\left(2,0,a-2\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right)を頂点とする三角形の面積は,空間ベクトルによる三角形の面積公式より,
\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-4,1,-a+3\right)\cdot\left(a-3,1,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}
である.
\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)を頂点とする三角形の面積は,空間ベクトルによる三角形の面積公式より,
\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2\left|\left(0,a-2,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,1,-a+2\right)\cdot\left(0,a-2,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)
である.
よって,
S=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)
以上より,
S=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)……(答)

○体積((24)~(35)について)
原点\mathrm{O}と平面x+y+z=aの距離は,
\frac{\left|-a\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{a}{\sqrt3}
\therefore V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)=\frac{a}{6}\left(-a^2+4a-2\right)
よって,\frac{dV}{da}=\frac{1}{6}\left(-3a^2+8a-2\right)であり,\frac{dV}{da}=0となるのは,a=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}のとき.増減表を描くと,

a 1 \cdots \frac{4+\sqrt{10}}{3} \cdots 3
\frac{dV}{da} + + 0 - -
V \nearrow \nearrow \frac{28+10\sqrt{10}}{81} \searrow \searrow

よって,角錐の体積Vは,a=\frac{4+\sqrt{10}}{3}のときに最大となり,このとき,V=\frac{28+10\sqrt{10}}{81}である……(答)

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