方針の立て方
ガウス記号( $\left[\qquad\right]$ )の問題はとにかく書き出してみること．書き出していく中で規則性をつかむことができる．(1)の場合には $n$ が平方数となる前後で $\left[\sqrt n\right]$ の値が1増えることが分かる．そのため， $n$ が平方数となる箇所ごとに数列を区切って，群数列としてみると良い(特に $S_{99}$ を求めるときに，分母が同じものに着目することが重要だと気付くだろう)．同様に，(2)の場合には $n$ が立方数となる箇所ごとに数列を区切る．

解答例
(70)(71)……27
(72)(73)……80
(74)(75)(76)……714
(77)(78)……46
(79)(80)……20
(81)(82)(83)(84)……2178

解説
(1)
○ $a_n$ が整数となるもの((70)と(71)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt n\right]=1$ となるのは， $1\leqq n\leqq3$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=1,2,3$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=2$ となるのは， $4\leqq n\leqq8$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=4,6,8$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=3$ となるのは， $9\leqq n\leqq15$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=9,12,15$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=4$ となるのは， $16\leqq n\leqq24$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=16,20,24$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=5$ となるのは， $25\leqq n\leqq35$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=25,30,35$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=6$ となるのは， $36\leqq n\leqq48$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=36,42,48$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=7$ となるのは， $49\leqq n\leqq63$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=49,56,63$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=8$ となるのは， $64\leqq n\leqq80$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=64,72,80$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=9$ となるのは， $81\leqq n\leqq99$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=81,90,99$ で3個．
以上より，求める個数は， $3\times9=27$ 個……(答)

○最初に $a_n=10$ となる $n$ ((72)と(73)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt n\right]=1$ となる項の中で最大の項は， $n=3$ のときで， $a_3=3$ ．
$\left[\sqrt n\right]=2$ となる項の中で最大の項は， $n=8$ のときで， $a_8=4$ ．
$\left[\sqrt n\right]=3$ となる項の中で最大の項は， $n=15$ のときで， $a_{15}=5$ ．
$\left[\sqrt n\right]=4$ となる項の中で最大の項は， $n=24$ のときで， $a_{24}=6$ ．
$\left[\sqrt n\right]=5$ となる項の中で最大の項は， $n=35$ のときで， $a_{35}=7$ ．
$\left[\sqrt n\right]=6$ となる項の中で最大の項は， $n=48$ のときで， $a_{48}=8$ ．
$\left[\sqrt n\right]=7$ となる項の中で最大の項は， $n=63$ のときで， $a_{63}=9$ ．
$\left[\sqrt n\right]=8$ となる項の中で最大の項は， $n=80$ のときで， $a_{80}=10$ ．
よって，最初に $a_n=10$ となる $n$ は $n=80$ ……(答)

○ $S_{99}$ ((74)～(76)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方)．
$S_{99}=\sum_{i=1}^{99}a_i=\frac{1+2+3}{1}+\frac{4+5+\cdots\cdots+8}{2}+\frac{9+10+\cdots\cdots+15}{3}+\cdots\cdots+\frac{81+82+\cdots\cdots+99}{9}=\sum_{n=1}^{9}\frac{\sum_{m=n^2}^{\left(n+1\right)^2-1}m}{n}=\sum_{n=1}^{9}\frac{\frac{1}{2}\left(2n+1\right)\left\{n^2+\left(n+1\right)^2-1\right\}}{n}=\sum_{n=1}^{9}\left(2n^2+3n+1\right)=714$ ……(答)

(2)
○ $b_n$ が整数となるもの((77)と(78)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=1$ となるのは， $1\leqq n\leqq7$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=1,2,3,\cdots\cdots,7$ で7個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となるのは， $8\leqq n\leqq26$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=8,10,12,\cdots\cdots,26$ で10個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=3$ となるのは， $27\leqq n\leqq63$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=27,30,33,\cdots\cdots,63$ で13個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=4$ となるのは， $64\leqq n\leqq124$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=64,68,72,\cdots\cdots,124$ で16個．
以上より，求める個数は， $7+10+13+16=46$ 個……(答)

○最初に $b_n=10$ となる $n$ ((79)と(80)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=1$ となる項の中で最大の項は， $n=7$ のときで， $b_7=7$ ．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となる項の中で最大の項は， $n=26$ のときで， $b_{26}=13$ ．
よって求める $n$ は $\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となる項の中にある．分母が2のため，分子が20になる項が該当する．そしてその項は $b_{20}$ である．
よって，最初に $b_n=10$ となる $n$ は $n=20$ ……(答)

○ $T_{124}$ ((81)～(84)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方)．
$T_{124}=\sum_{i=1}^{124}b_i=\frac{1+2+\cdots\cdots+7}{1}+\frac{8+9+\cdots\cdots+26}{2}+\frac{27+28+\cdots\cdots+63}{3}+\frac{64+65+\cdots\cdots+124}{4}=\sum_{n=1}^{4}\frac{\sum_{m=n^3}^{\left(n+1\right)^3-1}m}{n}=\sum_{n=1}^{4}\frac{\frac{1}{2}\left(3n^2+3n+1\right)\left\{n^3+\left(n+1\right)^3-1\right\}}{n}=\sum_{n=1}^{4}{\frac{1}{2}\left(3n^2+3n+1\right)\left(2n^2+3n+3\right)}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot8+\frac{1}{2}\cdot19\cdot17+\frac{1}{2}\cdot37\cdot30+\frac{1}{2}\cdot61\cdot47=2178$ ……(答)