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慶應環境情報2016

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問3

方針の立て方
接線については「曲線が接する」の定義通り，接線が一致することを利用する．そのため，接線を求めていく．後は基本的な解法に従えばよいため，特筆事項なし．

解答例
(36)……1
(37)(38)……\frac{1}{4}
(39)(40)……\frac{1}{2}
(41)……1
(42)(43)……\frac{1}{2}
(44)(45)……\frac{4}{3}
(46)……2
(47)……1
(48)(49)……\frac{1}{6}

解説
○p((36)～(38)について)
C_1とC_2の接点を\left(x_0,y_0\right)とする．
C_1\colon x^2+\left(y-p\right)^2=r^2より，点\left(x_0,y_0\right)での接線は，x_0x+\left(y_0-p\right)\left(y-p\right)=r^2\Longleftrightarrow y=-\frac{x_0}{y_0-p}x+\frac{r^2}{y_0-p}+pである．
C_2\colon y=x^2より，点\left(x_0,y_0\right)での接線は，y=2x_0x-2{x_0}^2+y_0である．
これらが一致するので，
\begin{cases} -\frac{x_0}{y_0-p}=2x_0 \\ \frac{r^2}{y_0-p}+p=-2{x_0}^2+y_0 \end{cases}
また，点\left(x_0,y_0\right)はC_2上の点のため，y_0={x_0}^2が成り立つ．これらより，x_0とy_0を消去すると，
p=r^2+\frac{1}{4}……(答)

○rの範囲((39)と(40)について)
まず，r<pより，
r<r^2+\frac{1}{4}\Leftrightarrow0<\left(r-\frac{1}{2}\right)^2\Leftrightarrow r\neq\frac{1}{2}
次に，接点のy座標について，
y_0=p-\frac{1}{2}=r^2-\frac{1}{4}
であり，これは正でなくてはならないから，
0<r^2-\frac{1}{4}
0<rに注意して解くと，
\frac{1}{2}<r……(答)

○C_2とlの交点のx座標((41)～(43)について)
\begin{cases} y=x^2 \\ y=q=p+r \end{cases}\Rightarrow x^2=p+r=r^2+r+\frac{1}{4}=\left(r+\frac{1}{2}\right)^2
\therefore x=\pm\left(r+\frac{1}{2}\right)……(答)

○領域の面積((44)～(49)について)
\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left(q-x^2\right)dx=\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left\{\left(r+\frac{1}{2}\right)^2-x^2\right\}dx=\left[\left(r+\frac{1}{2}\right)^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}r^3+2r^2+r+\frac{1}{6}……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。