慶應環境情報2016 | 【早慶専門対策】個別指導塾ヒロアカ

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問6

2019.09.23

方針の立て方 (1)(2)ともに，ケース1～4のどのケースが適用されるのかが直観的に分からないため，「仮にこのケースが適用されるなら」と考えて，ケース1から順番に代入していく．このような既存の分野にとらわれない新傾向の出題はSFCや商学部で多く見られるが，これら新傾向問題の攻略法は地道に片っ端から試

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方針の立て方
(1)(2)ともに，ケース1～4のどのケースが適用されるのかが直観的に分からないため，「仮にこのケースが適用されるなら」と考えて，ケース1から順番に代入していく．このような既存の分野にとらわれない新傾向の出題はSFCや商学部で多く見られるが，これら新傾向問題の攻略法は地道に片っ端から試してみることにある．そのまま代入したり試行したりすることで答えまで至る今回のような問題もあれば，途中で規則性に気付いて解答する問題もある．どちらにせよ，分からなかったら試してみるということを心がけよう．

解答例
(85)(86)(87)……060
(88)(89)(90)……180
(91)(92)(93)……150
(94)(95)(96)……200
(97)(98)(99)……035
(100)(101)(102)……035
(103)(104)(105)……050
(106)(107)(108)……140

解説
(1)
〇 $A$ の範囲((85)～(90)について)
ケース1が適用されるなら， $A\leqq\frac{2}{2}\cdot60=60$ が必要で， $X_1=30$ となるには， $A=60$ が必要．
ケース2が適用されるなら， $k=1$ となるから， $\frac{1}{2}\cdot240-\frac{1}{2}\cdot120\leqq A\leqq\frac{1}{2}\cdot240-\frac{1}{2}\cdot0\Leftrightarrow60\leqq A\leqq120$ のとき $X_1=\frac{1}{2}B_1=30$ となるため， $60\leqq A\leqq120$ が必要となる．
ケース3が適用されるなら， $k=1$ となるから， $\frac{1}{2}\cdot240+\frac{1}{2}\cdot0\leqq A\leqq\frac{1}{2}\cdot240+\frac{1}{2}\cdot120\Leftrightarrow120\leqq A\leqq180$ のとき $X_1=\frac{1}{2}B_1=30$ となるため， $120\leqq A\leqq180$ が必要となる．
ケース4が適用されるなら， $240-\frac{2}{2}\cdot60\leqq A\Leftrightarrow180\leqq A$ のとき $X_1=60-\frac{1}{2}\left(240-A\right)$ となるため， $X_1=30$ となるには $A=180$ が必要となる．
以上より， $60\leqq A\leqq180$ ……(答)
〇 $X_2$ が $X_1$ の4倍となるとき((91)～(96)について)
ケース1が適用されるなら， $X_1=X_2=\frac{A}{2}$ より，満たす $A$ は存在しない．
ケース2が適用されるなら， $k=1$ であり， $60\leqq A\leqq120$ のもとで， $X_1=30,X_2=\frac{1}{2}\cdot60+\frac{1}{1}\cdot\left(A-\frac{1}{2}\cdot240+\frac{1}{2}\cdot120\right)=-30+A$ より， $X_2=4X_1$ となる $A$ は存在しない( $A=150$ となり， $60\leqq A\leqq120$ に抵触)．
ケース3が適用されるなら， $k=1$ であり， $120\leqq A\leqq180$ のもとで， $X_1=30,X_2=180-\frac{1}{2}\cdot60-\frac{1}{1}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot240+\frac{1}{2}\cdot120-A\right)=-30+A$ より， $X_2=4X_1$ となる $A$ は $A=150$ ．
ケース4が適用されるなら， $180\leqq A$ のもとで， $X_1=\frac{1}{2}A-60,X_2=180-\frac{1}{2}\left(240-A\right)=60+\frac{1}{2}A$ より， $X_2=4X_1$ となる $A$ は $A=200$ ．
以上より， $A=150,200$ ……(答)

(2)
ケース1が適用されるなら， $A\leqq\frac{3}{2}\cdot60\Leftrightarrow A\leqq90$ が必要だが， $A=100$ も $A=220$ もこの範囲にない．
ケース2が適用されるなら，

が必要となる． $A=100$ は $90\leqq A\leqq120$ の範囲内であるから， $k=1$ とした式が成り立ち，
$X_1=30,X_2=12⋅60+12100-12⋅330+1230+120=35,X3=35$ となる．……(答)
ケース3が適用されるなら， $k=1$ に対して $\frac{1}{2}\cdot330+\frac{1}{2}\cdot90\leqq A\leqq\frac{1}{2}\cdot330+\frac{1}{2}\left(30+120\right)\Leftrightarrow210\leqq A\leqq240$ が必要となる． $A=220$ は $210\leqq A\leqq240$ の範囲内であるから， $k=1$ とした式が成り立ち，
$X_1=30,X_2=90-\frac{1}{2}\cdot60-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2}\cdot330+\frac{1}{2}\left(30+120\right)-220\right\}=50,X_3=180-\frac{1}{2}\cdot60-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2}\cdot330+\frac{1}{2}\left(30+120\right)-220\right\}=140$ ……(答)

2016年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問5

2019.09.23

方針の立て方ガウス記号()の問題はとにかく書き出してみること．書き出していく中で規則性をつかむことができる．(1)の場合にはが平方数となる前後での値が1増えることが分かる．そのため，が平方数となる箇所ごとに数列を区切って，群数列としてみると良い(特にを求めるときに，分母が同じものに着目することが重

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方針の立て方
ガウス記号( $\left[\qquad\right]$ )の問題はとにかく書き出してみること．書き出していく中で規則性をつかむことができる．(1)の場合には $n$ が平方数となる前後で $\left[\sqrt n\right]$ の値が1増えることが分かる．そのため， $n$ が平方数となる箇所ごとに数列を区切って，群数列としてみると良い(特に $S_{99}$ を求めるときに，分母が同じものに着目することが重要だと気付くだろう)．同様に，(2)の場合には $n$ が立方数となる箇所ごとに数列を区切る．

解答例
(70)(71)……27
(72)(73)……80
(74)(75)(76)……714
(77)(78)……46
(79)(80)……20
(81)(82)(83)(84)……2178

解説
(1)
○ $a_n$ が整数となるもの((70)と(71)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt n\right]=1$ となるのは， $1\leqq n\leqq3$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=1,2,3$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=2$ となるのは， $4\leqq n\leqq8$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=4,6,8$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=3$ となるのは， $9\leqq n\leqq15$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=9,12,15$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=4$ となるのは， $16\leqq n\leqq24$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=16,20,24$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=5$ となるのは， $25\leqq n\leqq35$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=25,30,35$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=6$ となるのは， $36\leqq n\leqq48$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=36,42,48$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=7$ となるのは， $49\leqq n\leqq63$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=49,56,63$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=8$ となるのは， $64\leqq n\leqq80$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=64,72,80$ で3個．
$\left[\sqrt n\right]=9$ となるのは， $81\leqq n\leqq99$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=81,90,99$ で3個．
以上より，求める個数は， $3\times9=27$ 個……(答)

○最初に $a_n=10$ となる $n$ ((72)と(73)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt n\right]=1$ となる項の中で最大の項は， $n=3$ のときで， $a_3=3$ ．
$\left[\sqrt n\right]=2$ となる項の中で最大の項は， $n=8$ のときで， $a_8=4$ ．
$\left[\sqrt n\right]=3$ となる項の中で最大の項は， $n=15$ のときで， $a_{15}=5$ ．
$\left[\sqrt n\right]=4$ となる項の中で最大の項は， $n=24$ のときで， $a_{24}=6$ ．
$\left[\sqrt n\right]=5$ となる項の中で最大の項は， $n=35$ のときで， $a_{35}=7$ ．
$\left[\sqrt n\right]=6$ となる項の中で最大の項は， $n=48$ のときで， $a_{48}=8$ ．
$\left[\sqrt n\right]=7$ となる項の中で最大の項は， $n=63$ のときで， $a_{63}=9$ ．
$\left[\sqrt n\right]=8$ となる項の中で最大の項は， $n=80$ のときで， $a_{80}=10$ ．
よって，最初に $a_n=10$ となる $n$ は $n=80$ ……(答)

○ $S_{99}$ ((74)～(76)について)
分母の $\left[\sqrt n\right]$ の値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方)．
$S_{99}=\sum_{i=1}^{99}a_i=\frac{1+2+3}{1}+\frac{4+5+\cdots\cdots+8}{2}+\frac{9+10+\cdots\cdots+15}{3}+\cdots\cdots+\frac{81+82+\cdots\cdots+99}{9}=\sum_{n=1}^{9}\frac{\sum_{m=n^2}^{\left(n+1\right)^2-1}m}{n}=\sum_{n=1}^{9}\frac{\frac{1}{2}\left(2n+1\right)\left\{n^2+\left(n+1\right)^2-1\right\}}{n}=\sum_{n=1}^{9}\left(2n^2+3n+1\right)=714$ ……(答)

(2)
○ $b_n$ が整数となるもの((77)と(78)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=1$ となるのは， $1\leqq n\leqq7$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=1,2,3,\cdots\cdots,7$ で7個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となるのは， $8\leqq n\leqq26$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=8,10,12,\cdots\cdots,26$ で10個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=3$ となるのは， $27\leqq n\leqq63$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=27,30,33,\cdots\cdots,63$ で13個．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=4$ となるのは， $64\leqq n\leqq124$ であり， $a_n$ が整数となるのは， $n=64,68,72,\cdots\cdots,124$ で16個．
以上より，求める個数は， $7+10+13+16=46$ 個……(答)

○最初に $b_n=10$ となる $n$ ((79)と(80)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値で場合分けする．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=1$ となる項の中で最大の項は， $n=7$ のときで， $b_7=7$ ．
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となる項の中で最大の項は， $n=26$ のときで， $b_{26}=13$ ．
よって求める $n$ は $\left[\sqrt[3]{n}\right]=2$ となる項の中にある．分母が2のため，分子が20になる項が該当する．そしてその項は $b_{20}$ である．
よって，最初に $b_n=10$ となる $n$ は $n=20$ ……(答)

○ $T_{124}$ ((81)～(84)について)
分母の $\left[\sqrt[3]{n}\right]$ の値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方)．
$T_{124}=\sum_{i=1}^{124}b_i=\frac{1+2+\cdots\cdots+7}{1}+\frac{8+9+\cdots\cdots+26}{2}+\frac{27+28+\cdots\cdots+63}{3}+\frac{64+65+\cdots\cdots+124}{4}=\sum_{n=1}^{4}\frac{\sum_{m=n^3}^{\left(n+1\right)^3-1}m}{n}=\sum_{n=1}^{4}\frac{\frac{1}{2}\left(3n^2+3n+1\right)\left\{n^3+\left(n+1\right)^3-1\right\}}{n}=\sum_{n=1}^{4}{\frac{1}{2}\left(3n^2+3n+1\right)\left(2n^2+3n+3\right)}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot8+\frac{1}{2}\cdot19\cdot17+\frac{1}{2}\cdot37\cdot30+\frac{1}{2}\cdot61\cdot47=2178$ ……(答)

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問4

2019.09.23

方針の立て方 (1) 頻出問題であるため，原理とともに解法をおさえておきたい．答えとなる点は直線上にあるわけだが，直線は線分の垂直二等分線であるから，直線上の点と点，点との距離は等しくなる．よって，点で考察するのと，点で考察するのは等価となる．これが，この問題(解法)の原理である． (2) 前問で説

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方針の立て方
(1)
頻出問題であるため，原理とともに解法をおさえておきたい．答えとなる点 $\mathrm{P}$ は直線 $l$ 上にあるわけだが，直線 $l$ は線分 $\mathrm{AA}^\prime$ の垂直二等分線であるから，直線 $l$ 上の点と点 $\mathrm{A}$ ，点 $\mathrm{A}^\prime$ との距離は等しくなる．よって，点 $\mathrm{A}$ で考察するのと，点 $\mathrm{A}^\prime$ で考察するのは等価となる．これが，この問題(解法)の原理である．
(2)
前問で説明した原理を応用すればよい．

解答例
(50)(51)(52)(53)…… $\frac{-11}{6}$
(54)(55)(56)(57)…… $\frac{017}{6}$
(58)(59)(60)…… $\frac{-5}{3}$
(61)(62)(63)…… $\frac{08}{3}$
(64)(65)(66)…… $\frac{21}{5}$
(67)(68)(69)…… $\frac{06}{5}$

解説
(1)

上図のように，直線 $l$ に対して点 $\mathrm{A}$ と対称な点を $\mathrm{A}^\prime$ とする．
直線 $\mathrm{AA}^\prime$ (図の破線)の式は $y=x+6$ であるから， $\mathrm{A}^\prime$ の座標は， $\left(-3,3\right)$ と分かる．
よって，直線 $\mathrm{A}^\prime B$ (図の鎖線)の式は $y=-\frac{1}{7}x+\frac{18}{7}$ と分かる．直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}$ と直線 $l$ の交点が点 $\mathrm{P}$ であり，その座標は，
$\left(\frac{-11}{6},\frac{17}{6}\right)$ ……(答)

(2)

直線 $m$ に対して点 $\mathrm{B}$ と対称な点を $\mathrm{B}^\prime$ とする．前問と同様に点 $\mathrm{B}^\prime$ の座標を求めると， $\left(5,1\right)$ となる．
よって，直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$ (図の鎖線)の式は $y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}$ と分かる．直線 $\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$ と直線 $l,m$ の交点が点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ であり，その座標は， $\mathrm{P}\left(-\frac{5}{3},\frac{8}{3}\right),\mathrm{Q}\left(\frac{21}{5},\frac{6}{5}\right)$ ……(答)

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問3

2019.09.23

方針の立て方接線については「曲線が接する」の定義通り，接線が一致することを利用する．そのため，接線を求めていく．後は基本的な解法に従えばよいため，特筆事項なし．解答例 (36)…… (37)(38)…… (39)(40)…… (41)…… (42)(43)…… (44)(45)…… (46)……

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方針の立て方
接線については「曲線が接する」の定義通り，接線が一致することを利用する．そのため，接線を求めていく．後は基本的な解法に従えばよいため，特筆事項なし．

解答例
(36)…… $1$
(37)(38)…… $\frac{1}{4}$
(39)(40)…… $\frac{1}{2}$
(41)…… $1$
(42)(43)…… $\frac{1}{2}$
(44)(45)…… $\frac{4}{3}$
(46)…… $2$
(47)…… $1$
(48)(49)…… $\frac{1}{6}$

解説
○ $p$ ((36)～(38)について)
$C_1$ と $C_2$ の接点を $\left(x_0,y_0\right)$ とする．
$C_1\colon x^2+\left(y-p\right)^2=r^2$ より，点 $\left(x_0,y_0\right)$ での接線は， $x_0x+\left(y_0-p\right)\left(y-p\right)=r^2\Longleftrightarrow y=-\frac{x_0}{y_0-p}x+\frac{r^2}{y_0-p}+p$ である．
$C_2\colon y=x^2$ より，点 $\left(x_0,y_0\right)$ での接線は， $y=2x_0x-2{x_0}^2+y_0$ である．
これらが一致するので，
$\begin{cases} -\frac{x_0}{y_0-p}=2x_0 \\ \frac{r^2}{y_0-p}+p=-2{x_0}^2+y_0 \end{cases}$
また，点 $\left(x_0,y_0\right)$ は $C_2$ 上の点のため， $y_0={x_0}^2$ が成り立つ．これらより， $x_0$ と $y_0$ を消去すると，
$p=r^2+\frac{1}{4}$ ……(答)

○ $r$ の範囲((39)と(40)について)
まず， $r<p$ より，
$r<r^2+\frac{1}{4}\Leftrightarrow0<\left(r-\frac{1}{2}\right)^2\Leftrightarrow r\neq\frac{1}{2}$
次に，接点の $y$ 座標について，
$y_0=p-\frac{1}{2}=r^2-\frac{1}{4}$
であり，これは正でなくてはならないから，
$0<r^2-\frac{1}{4}$
$0<r$ に注意して解くと，
$\frac{1}{2}<r$ ……(答)

○ $C_2$ と $l$ の交点のx座標((41)～(43)について)
$\begin{cases} y=x^2 \\ y=q=p+r \end{cases}\Rightarrow x^2=p+r=r^2+r+\frac{1}{4}=\left(r+\frac{1}{2}\right)^2$
$\therefore x=\pm\left(r+\frac{1}{2}\right)$ ……(答)

○領域の面積((44)～(49)について)
$\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left(q-x^2\right)dx=\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left\{\left(r+\frac{1}{2}\right)^2-x^2\right\}dx=\left[\left(r+\frac{1}{2}\right)^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}r^3+2r^2+r+\frac{1}{6}$ ……(答)

2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問2

2019.09.23

方針の立て方断面を求めるには，交点(頂点)を求めるという典型的な解法に従う．の値によって，断面の様子が違うことは実際にのときの図形とのときの図形を描いてみると分かる(本問のように，パラメーターの範囲が定められているときは，範囲の両端のときを考えると分かりやすいことが多い)．答えの表式から，場合分け

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方針の立て方
断面を求めるには，交点(頂点)を求めるという典型的な解法に従う． $a$

の値によって，断面の様子が違うことは実際に $a=1$

のときの図形と $a=3$

のときの図形を描いてみると分かる(本問のように，パラメーターの範囲が定められているときは，範囲の両端のときを考えると分かりやすいことが多い)．答えの表式から，場合分けの両方をやらなくても答え自体は求められる．本当は場合分けの両方を検証せねばならないが，穴埋め式の問題のため，本番では片方だけやって，穴を埋めることで時間を節約する．
体積については，基本的な解法で解けるため特筆事項なし．

解答例
(16)(17)…… $\frac{\sqrt3}{2}$
(18)(19)…… $-1$
(20)(21)…… $04$
(22)(23)…… $-2$
(24)(25)(26)(27)…… $\frac{4+\sqrt{10}}{3}$
(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)…… $\frac{28+10\sqrt{10}}{81}$

解説
○断面の面積((16)～(23)について)
平面 $x+y+z=a$ は3点 $\left(a,0,0\right),\left(0,a,0\right),\left(0,0,a\right)$ を通る平面である．この平面と直方体の断面を考えると， $a=2$ の前後で場合分けが生じると分かる．
・ $1<a\leqq2$ のとき，
断面は $\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする五角形である．
$\left(a,0,0\right),\left(a-1,0,1\right),\left(0,a-1,1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-1,0,1\right)\right|^2\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2-\left\{\left(-1,0,1\right)\cdot\left(-a,a-1,1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)$
である．
$\left(a,0,0\right),\left(0,a-1,1\right),\left(0,1,a-1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,a-1,1\right)\right|^2\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2-\left\{\left(-a,a-1,1\right)\cdot\left(-a,1,a-1\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)$
である．
$\left(a,0,0\right),\left(0,1,a-1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(-a,1,a-1\right)\right|^2\left|\left(-1,1,0\right)\right|^2-\left\{\left(-a,1,a-1\right)\cdot\left(-1,1,0\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)$
である．
よって，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)+\frac{\sqrt3}{2}a\left(2-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-1\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$
・ $2\leqq a<3$ のとき
断面は $\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)$ を頂点とする五角形である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,0,1\right),\left(a-2,1,1\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,0,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,0,-a+3\right)\cdot\left(a-4,1,-a+3\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)$
である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-2,1,1\right),\left(a-1,1,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-4,1,-a+3\right)\right|^2\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-4,1,-a+3\right)\cdot\left(a-3,1,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}$
である．
$\left(2,0,a-2\right),\left(a-1,1,0\right),\left(2,a-2,0\right)$ を頂点とする三角形の面積は，空間ベクトルによる三角形の面積公式より，
$\frac{1}{2}\sqrt{\left|\left(a-3,1,-a+2\right)\right|^2\left|\left(0,a-2,-a+2\right)\right|^2-\left\{\left(a-3,1,-a+2\right)\cdot\left(0,a-2,-a+2\right)\right\}^2}=\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)$
である．
よって，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(3-a\right)+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\left(a-2\right)\left(3-a\right)=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$
以上より，
$S=\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)$ ……(答)

○体積((24)～(35)について)
原点 $\mathrm{O}$ と平面 $x+y+z=a$ の距離は，
$\frac{\left|-a\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{a}{\sqrt3}$
$\therefore V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(-a^2+4a-2\right)=\frac{a}{6}\left(-a^2+4a-2\right)$
よって， $\frac{dV}{da}=\frac{1}{6}\left(-3a^2+8a-2\right)$ であり， $\frac{dV}{da}=0$ となるのは， $a=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}$ のとき．増減表を描くと，

$a$	$1$	$\cdots$	$\frac{4+\sqrt{10}}{3}$	$\cdots$	$3$
$\frac{dV}{da}$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$
$V$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\frac{28+10\sqrt{10}}{81}$	$\searrow$	$\searrow$

よって，角錐の体積 $V$ は， $a=\frac{4+\sqrt{10}}{3}$ のときに最大となり，このとき， $V=\frac{28+10\sqrt{10}}{81}$ である……(答)

2016年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問1

2019.09.23

方針の立て方 (1) Aの箱に他の箱からのボールの追加をするわけだが，それぞれの箱(AとA以外)で黒ボールと白ボールの割合が違う．これこそがこの問題の難所である．数学においては「難所がある場合にはそれを分割する」ことが基本的な考え方である．そのため，Aにそもそも入っていたボールと，後からAに入ってき

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方針の立て方
(1)
Aの箱に他の箱からのボールの追加をするわけだが，それぞれの箱(AとA以外)で黒ボールと白ボールの割合が違う．これこそがこの問題の難所である．数学においては「難所がある場合にはそれを分割する」ことが基本的な考え方である．そのため，Aにそもそも入っていたボールと，後からAに入ってきたボールとて分割して考えるという方針を立てる．

(2)
前問と同様それぞれの箱で黒ボールと白ボールの割合が違うことから，これらを分割して考える必要があると判断する．ただし，本問の場合には交換の度に箱E内の割合が変わってしまうことに注意．ここも分割することになる．よって，本解答のような，交換の度に確率を考えるという方針になる．

解答例
(1)(2)(3)(4)…… $\frac{07}{19}$
(5)(6)(7)(8)…… $\frac{09}{19}$
(9)(10)(11)(12)…… $2401$
(13)(14)(15)(16)…… $657$

解説
(1)
最終的に計19個のボールがAに入っている．最初にAに入っていた黒ボールを取り出す確率と，後から加えられた黒ボールを取り出す確率を求める．
・最初にAに入っていた黒ボールを取り出す確率
19個のボールの中から最初に入っていた7個の黒ボールのどれかを取り出す確率のため $\frac{7}{19}$
・後から加えられた黒ボールを取り出す確率
19個あるボールの中から後から加えられたボールを取り出す確率が $\frac{9}{19}$ であり，後から加えられたボールの中から1個のボールを取り出したときに，それが黒ボールである確率は $\alpha$ である．これらは独立であるため，後から加えられた黒ボールを取り出す確率は， $\frac{9}{19}\alpha$ となる．
よって，求める確率は，
$\frac{7}{19}+\frac{9}{19}\alpha$ ……(答)

(2)
EとFの箱の交換の後で，Eの箱から1個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は，前問と同様に場合分けして考えると，
・最初からEに入っていた黒ボールを取り出す確率
10個あるボールの中から最初からEに入っていたボールを取り出す確率が $\frac{7}{10}$ であり，最初からEに入っていたボールの中から1個のボールを取り出したときに，それが黒ボールである確率は $\frac{7}{10}$ である．これらは独立であるため，最初からEに入っていた黒ボールを取り出す確率は， $\frac{7}{10}\cdot\frac{7}{10}=\frac{49}{100}$ となる．
・交換によってEに入ってきた黒ボールを取り出す確率
10個あるボールの中から交換によってEに入ってきたボールを取り出す確率が $\frac{3}{10}$ であり，交換によってEに入ってきたボールの中から1個のボールを取り出したときに，それが黒ボールである確率は $\alpha$ である．これらは独立であるため，最初からEに入っていた黒ボールを取り出す確率は， $\frac{3}{10}\alpha$ となる．
よって，EとFの箱の交換の後で，Eの箱から1個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率は $\frac{49}{100}+\frac{3}{10}\alpha$ である．この確率を $f$ とおく．
次に，EとGの箱の交換の後で，Eの箱から1個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率を求める．この交換の前にEに入っていた黒ボールを取り出す確率と交換によってEに入ってきた黒ボールを取り出す確率を場合分けして考えて，それらの確率を足し合わせると，
$\frac{7}{10}f+\frac{3}{10}\alpha$
となる．この確率を $g$ とおく．
次に，EとHの箱の交換の後で，Eの箱から1個のボールを無作為に取り出したときにそれが黒ボールである確率を求める．この交換の前にEに入っていた黒ボールを取り出す確率と交換によってEに入ってきた黒ボールを取り出す確率を場合分けして考えて，それらの確率を足し合わせると，
$\frac{7}{10}g+\frac{3}{10}\alpha$
となる．この確率を $h$ とおく． $h$ こそが求める確率である． $g$ と $f$ を代入すれば，
$h=\frac{7}{10}\left(\frac{7}{10}f+\frac{3}{10}\alpha\right)+\frac{3}{10}\alpha=\frac{7}{10}\left\{\frac{7}{10}\left(\frac{49}{100}+\frac{3}{10}\alpha\right)+\frac{3}{10}\alpha\right\}+\frac{3}{10}\alpha=\frac{2401}{10000}+\frac{657}{1000}\alpha$ ……(答)