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慶應環境情報2016

2016年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問5

方針の立て方
ガウス記号(\left[\qquad\right])の問題はとにかく書き出してみること．書き出していく中で規則性をつかむことができる．(1)の場合にはnが平方数となる前後で\left[\sqrt n\right]の値が1増えることが分かる．そのため，nが平方数となる箇所ごとに数列を区切って，群数列としてみると良い(特にS_{99}を求めるときに，分母が同じものに着目することが重要だと気付くだろう)．同様に，(2)の場合にはnが立方数となる箇所ごとに数列を区切る．

解答例
(70)(71)……27
(72)(73)……80
(74)(75)(76)……714
(77)(78)……46
(79)(80)……20
(81)(82)(83)(84)……2178

解説
(1)
○a_nが整数となるもの((70)と(71)について)
分母の\left[\sqrt n\right]の値で場合分けする．
\left[\sqrt n\right]=1となるのは，1\leqq n\leqq3であり，a_nが整数となるのは，n=1,2,3で3個．
\left[\sqrt n\right]=2となるのは，4\leqq n\leqq8であり，a_nが整数となるのは，n=4,6,8で3個．
\left[\sqrt n\right]=3となるのは，9\leqq n\leqq15であり，a_nが整数となるのは，n=9,12,15で3個．
\left[\sqrt n\right]=4となるのは，16\leqq n\leqq24であり，a_nが整数となるのは，n=16,20,24で3個．
\left[\sqrt n\right]=5となるのは，25\leqq n\leqq35であり，a_nが整数となるのは，n=25,30,35で3個．
\left[\sqrt n\right]=6となるのは，36\leqq n\leqq48であり，a_nが整数となるのは，n=36,42,48で3個．
\left[\sqrt n\right]=7となるのは，49\leqq n\leqq63であり，a_nが整数となるのは，n=49,56,63で3個．
\left[\sqrt n\right]=8となるのは，64\leqq n\leqq80であり，a_nが整数となるのは，n=64,72,80で3個．
\left[\sqrt n\right]=9となるのは，81\leqq n\leqq99であり，a_nが整数となるのは，n=81,90,99で3個．
以上より，求める個数は，3\times9=27個……(答)

○最初にa_n=10となるn((72)と(73)について)
分母の\left[\sqrt n\right]の値で場合分けする．
\left[\sqrt n\right]=1となる項の中で最大の項は，n=3のときで，a_3=3．
\left[\sqrt n\right]=2となる項の中で最大の項は，n=8のときで，a_8=4．
\left[\sqrt n\right]=3となる項の中で最大の項は，n=15のときで，a_{15}=5．
\left[\sqrt n\right]=4となる項の中で最大の項は，n=24のときで，a_{24}=6．
\left[\sqrt n\right]=5となる項の中で最大の項は，n=35のときで，a_{35}=7．
\left[\sqrt n\right]=6となる項の中で最大の項は，n=48のときで，a_{48}=8．
\left[\sqrt n\right]=7となる項の中で最大の項は，n=63のときで，a_{63}=9．
\left[\sqrt n\right]=8となる項の中で最大の項は，n=80のときで，a_{80}=10．
よって，最初にa_n=10となるnはn=80……(答)

○S_{99}((74)～(76)について)
分母の\left[\sqrt n\right]の値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方)．
S_{99}=\sum_{i=1}^{99}a_i=\frac{1+2+3}{1}+\frac{4+5+\cdots\cdots+8}{2}+\frac{9+10+\cdots\cdots+15}{3}+\cdots\cdots+\frac{81+82+\cdots\cdots+99}{9}=\sum_{n=1}^{9}\frac{\sum_{m=n^2}^{\left(n+1\right)^2-1}m}{n}=\sum_{n=1}^{9}\frac{\frac{1}{2}\left(2n+1\right)\left\{n^2+\left(n+1\right)^2-1\right\}}{n}=\sum_{n=1}^{9}\left(2n^2+3n+1\right)=714……(答)

(2)
○b_nが整数となるもの((77)と(78)について)
分母の\left[\sqrt[3]{n}\right]の値で場合分けする．
\left[\sqrt[3]{n}\right]=1となるのは，1\leqq n\leqq7であり，a_nが整数となるのは，n=1,2,3,\cdots\cdots,7で7個．
\left[\sqrt[3]{n}\right]=2となるのは，8\leqq n\leqq26であり，a_nが整数となるのは，n=8,10,12,\cdots\cdots,26で10個．
\left[\sqrt[3]{n}\right]=3となるのは，27\leqq n\leqq63であり，a_nが整数となるのは，n=27,30,33,\cdots\cdots,63で13個．
\left[\sqrt[3]{n}\right]=4となるのは，64\leqq n\leqq124であり，a_nが整数となるのは，n=64,68,72,\cdots\cdots,124で16個．
以上より，求める個数は，7+10+13+16=46個……(答)

○最初にb_n=10となるn((79)と(80)について)
分母の\left[\sqrt[3]{n}\right]の値で場合分けする．
\left[\sqrt[3]{n}\right]=1となる項の中で最大の項は，n=7のときで，b_7=7．
\left[\sqrt[3]{n}\right]=2となる項の中で最大の項は，n=26のときで，b_{26}=13．
よって求めるnは\left[\sqrt[3]{n}\right]=2となる項の中にある．分母が2のため，分子が20になる項が該当する．そしてその項はb_{20}である．
よって，最初にb_n=10となるnはn=20……(答)

○T_{124}((81)～(84)について)
分母の\left[\sqrt[3]{n}\right]の値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方)．
T_{124}=\sum_{i=1}^{124}b_i=\frac{1+2+\cdots\cdots+7}{1}+\frac{8+9+\cdots\cdots+26}{2}+\frac{27+28+\cdots\cdots+63}{3}+\frac{64+65+\cdots\cdots+124}{4}=\sum_{n=1}^{4}\frac{\sum_{m=n^3}^{\left(n+1\right)^3-1}m}{n}=\sum_{n=1}^{4}\frac{\frac{1}{2}\left(3n^2+3n+1\right)\left\{n^3+\left(n+1\right)^3-1\right\}}{n}=\sum_{n=1}^{4}{\frac{1}{2}\left(3n^2+3n+1\right)\left(2n^2+3n+3\right)}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot8+\frac{1}{2}\cdot19\cdot17+\frac{1}{2}\cdot37\cdot30+\frac{1}{2}\cdot61\cdot47=2178……(答)

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