方針の立て方
ガウス記号()の問題はとにかく書き出してみること.書き出していく中で規則性をつかむことができる.(1)の場合には
が平方数となる前後で
の値が1増えることが分かる.そのため,
が平方数となる箇所ごとに数列を区切って,群数列としてみると良い(特に
を求めるときに,分母が同じものに着目することが重要だと気付くだろう).同様に,(2)の場合には
が立方数となる箇所ごとに数列を区切る.
解答例
(70)(71)……27
(72)(73)……80
(74)(75)(76)……714
(77)(78)……46
(79)(80)……20
(81)(82)(83)(84)……2178
解説
(1)
○が整数となるもの((70)と(71)について)
分母のの値で場合分けする.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で3個.
以上より,求める個数は,個……(答)
○最初にとなる
((72)と(73)について)
分母のの値で場合分けする.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
よって,最初にとなる
は
……(答)
○((74)~(76)について)
分母のの値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方).
……(答)
(2)
○が整数となるもの((77)と(78)について)
分母のの値で場合分けする.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で7個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で10個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で13個.
となるのは,
であり,
が整数となるのは,
で16個.
以上より,求める個数は,個……(答)
○最初にとなる
((79)と(80)について)
分母のの値で場合分けする.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
となる項の中で最大の項は,
のときで,
.
よって求めるは
となる項の中にある.分母が2のため,分子が20になる項が該当する.そしてその項は
である.
よって,最初にとなる
は
……(答)
○((81)~(84)について)
分母のの値が同じ項をまとめて考える(群数列の考え方).
……(答)
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