2016年慶應義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問3

方針の立て方
接線については「曲線が接する」の定義通り，接線が一致することを利用する．そのため，接線を求めていく．後は基本的な解法に従えばよいため，特筆事項なし．

解答例
(36)…… $1$
(37)(38)…… $\frac{1}{4}$
(39)(40)…… $\frac{1}{2}$
(41)…… $1$
(42)(43)…… $\frac{1}{2}$
(44)(45)…… $\frac{4}{3}$
(46)…… $2$
(47)…… $1$
(48)(49)…… $\frac{1}{6}$

解説
○ $p$ ((36)～(38)について)
$C_1$ と $C_2$ の接点を $\left(x_0,y_0\right)$ とする．
$C_1\colon x^2+\left(y-p\right)^2=r^2$ より，点 $\left(x_0,y_0\right)$ での接線は， $x_0x+\left(y_0-p\right)\left(y-p\right)=r^2\Longleftrightarrow y=-\frac{x_0}{y_0-p}x+\frac{r^2}{y_0-p}+p$ である．
$C_2\colon y=x^2$ より，点 $\left(x_0,y_0\right)$ での接線は， $y=2x_0x-2{x_0}^2+y_0$ である．
これらが一致するので，
$\begin{cases} -\frac{x_0}{y_0-p}=2x_0 \\ \frac{r^2}{y_0-p}+p=-2{x_0}^2+y_0 \end{cases}$
また，点 $\left(x_0,y_0\right)$ は $C_2$ 上の点のため， $y_0={x_0}^2$ が成り立つ．これらより， $x_0$ と $y_0$ を消去すると，
$p=r^2+\frac{1}{4}$ ……(答)

○ $r$ の範囲((39)と(40)について)
まず， $r<p$ より，
$r<r^2+\frac{1}{4}\Leftrightarrow0<\left(r-\frac{1}{2}\right)^2\Leftrightarrow r\neq\frac{1}{2}$
次に，接点の $y$ 座標について，
$y_0=p-\frac{1}{2}=r^2-\frac{1}{4}$
であり，これは正でなくてはならないから，
$0<r^2-\frac{1}{4}$
$0<r$ に注意して解くと，
$\frac{1}{2}<r$ ……(答)

○ $C_2$ と $l$ の交点のx座標((41)～(43)について)
$\begin{cases} y=x^2 \\ y=q=p+r \end{cases}\Rightarrow x^2=p+r=r^2+r+\frac{1}{4}=\left(r+\frac{1}{2}\right)^2$
$\therefore x=\pm\left(r+\frac{1}{2}\right)$ ……(答)

○領域の面積((44)～(49)について)
$\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left(q-x^2\right)dx=\int_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}\left\{\left(r+\frac{1}{2}\right)^2-x^2\right\}dx=\left[\left(r+\frac{1}{2}\right)^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-\left(r+\frac{1}{2}\right)}^{r+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}r^3+2r^2+r+\frac{1}{6}$ ……(答)

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