早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年大問4

方針の立て方

(1)
素直に微分すればよい．

(2)
(ⅰ)通常の極値問題と同様に微分して考えればよい．
(ⅱ)これも典型的な回転体の体積の問題であるため特筆事項なし．
(ⅲ)実際に $\sum_{n=1}^{\infty}V_n$ をはじめの数項を書き出してみれば，数列の和の問題だと分かる．

解答例

(1)
積の微分法則を使えば，
$f^\prime\left(x\right)=e^x\left(\cos{x}+\sin{x}\right)+e^x\left(-\sin{x}+\cos{x}\right)=2e^x\cos{x}$ ……(答)

(2)
(ⅰ)
積の微分法則と三角関数の合成を用いれば，
$g^\prime\left(x\right)=-\pi e^{-\pi x}\sin{\pi x}+\pi e^{-\pi x}\cos{\pi x}=\pi e^{-\pi x}\left(\cos{\pi x}-\sin{\pi x}\right)=\sqrt2\pi e^{-\pi x}\sin{\left(\pi x+\frac{3}{4}\pi\right)}$
よって， $g^\prime\left(x\right)=0$ となるのは， $\pi x+\frac{3}{4}\pi=n\pi\Leftrightarrow x=n-\frac{3}{4}$ ( $n$ は任意の整数)のとき．
$n$ が偶数のとき，その前後で $g^\prime\left(x\right)$ の符号は負から正となる．故に極小値は， $g\left(n-\frac{3}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}e^{-\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi}$
$n$ が奇数のとき，その前後で $g^\prime\left(x\right)$ の符号は正から負となる．故に極大値は， $g\left(n-\frac{3}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}e^{-\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi}$
よって， $m$ を任意の整数として，
極大値は $22e-2m+14\pi$ ……(答)
極小値は $-22e-2m-34\pi$ ……(答)
(ⅱ)
$V_n=\int_{n-1}^{n}{\pi\left\{g\left(x\right)\right\}^2}dx=\int_{n-1}^{n}{\pi e^{-2\pi x}{\mathrm{sin}}^2\pi x}dx=\int_{n-1}^{n}{\pi e^{-2\pi x}\cdot\frac{1-\mathrm{cos} {2\pi x}}{2}}dx=\int_{n-1}^{n}{\frac{1}{2}\pi e^{-2\pi x}}dx-\frac{1}{2}\int_{n-1}^{n}{\pi e^{-2\pi x}\mathrm{cos} {\left(-2\pi x\right)}}dx$
ここで，
$\int_{n-1}^{n}{\frac{1}{2}\pi e^{-2\pi x}}dx=\left[-\frac{1}{4}e^{-2\pi x}\right]_{n-1}^n=-\frac{1}{4}e^{-2n\pi}+\frac{1}{4}e^{-2\left(n-1\right)\pi}$
更に $-2\pi x=y$ として置換積分を行えば，
$\int_{n-1}^{n}{\pi e^{-2\pi x}\cos{\left(-2\pi x\right)}}dx=-\frac{1}{2}\int_{-2\left(n-1\right)\pi}^{-2n\pi}{e^y\cos{y}}dy\bigm=-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}e^y\left(\cos{y}+\sin{y}\right)\right]_{-2\left(n-1\right)\pi}^{-2n\pi}\bigm=-\frac{1}{4}\left(e^{-2n\pi}-e^{-2\left(n-1\right)\pi}\right)$
である．
$\therefore V_n=-\frac{1}{4}e^{-2n\pi}+\frac{1}{4}e^{-2\left(n-1\right)\pi}-\frac{1}{2}\left\{-\frac{1}{4}\left(e^{-2n\pi}-e^{-2\left(n-1\right)\pi}\right)\right\}=\frac{1}{8}\left(e^{-2\left(n-1\right)\pi}-e^{-2n\pi}\right)$ ……(答)
(ⅲ)
$\sum_{n=1}^{\infty}V_n=\frac{1}{8}\left(e^{-2\cdot0\cdot\pi}-e^{-2\cdot1\cdot\pi}\right)+\frac{1}{8}\left(e^{-2\cdot1\cdot\pi}-e^{-2\cdot2\cdot\pi}\right)+\frac{1}{8}\left(e^{-2\cdot2\cdot\pi}-e^{-2\cdot3\cdot\pi}\right)+\cdots\cdots=\frac{1}{8}e^{-2\cdot0\cdot\pi}-\lim_{n\rightarrow\infty}{e^{-2n\pi}}=\frac{1}{8}$ ……(答)
(※無限等比級数の第２項と第３項，第４項と第５項，第６項と第７項，……が相殺される)
(別解)
$V_n=\frac{1}{8}\left(e^{-2\left(n-1\right)\pi}-e^{-2n\pi}\right)=\frac{1}{8}\left(1-e^{-2\pi}\right)e^{-2\left(n-1\right)\pi}=\frac{1}{8}1-e-2\pi\cdote-2\pin-1$ は，初項 $\frac{1}{8}\left(1-e^{-2\pi}\right)$ ，公比 $e^{-2\pi}$ の等比数列 (なお， $0<e^{-2\pi}<1$ である)．
$\therefore\sum_{n=1}^{\infty}V_n=\frac{\frac{1}{8}\left(1-e^{-2\pi}\right)}{1-e^{-2\pi}}=\frac{1}{8}$ ……(答)