早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年大問3

方針の立て方

(1)
典型的な背理法の問題であるため特筆事項なし．

(2)
$\sqrt[3]{p}$ をかけるだけである． $ap$ の形を作り出そうと考えると，この解法が思いつく．

(3)
導くべき式に $\left(\sqrt[3]{p}\right)^2$ がないことから， $\left(\sqrt[3]{p}\right)^2$ を削除すればよいと判断する．使える式は $a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0$ と $ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0$ であるから，この２式を連立して消去する．

(4)
前問でわざわざ $\sqrt[3]{p}$ でまとめたこと，(1)で $\sqrt[3]{p}$ を無理数と証明したことから解法を得る．

解答例

(1)
背理法で示す．
$\sqrt[3]{p}$ が有理数だと仮定して， $\sqrt[3]{p}=\frac{b}{a}$ ( $a,b$ は互いに素な整数で $a>0$ )とする．
両辺を３乗して， $p=\frac{b^3}{a^3}\Leftrightarrow pa^3=b^3$
ここで， $b^3$ は $p$ の倍数である必要があるが， $p$ が素数であることから， $b$ が $p$ の倍数である必要がある．
そこで， $b=np$ ( $n$ は整数)とおく．
すると， $pa^3=n^3p^3\Leftrightarrow a^3=n^3p^2$ となる．
よって， $a^3$ は $p$ の倍数となるが，上記と同様に考えると $a$ が $p$ の倍数となる．
よって， $a$ も $b$ も $p$ の倍数となるが，これは， $a,b$ が互いに素な整数であることに反する．
この矛盾は， $\sqrt[3]{p}$ を有理数だとした当初の仮定に起因する．よって， $\sqrt[3]{p}$ は無理数である．
証明終了．

(2)
$a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0$ の両辺に $\sqrt[3]{p}$ を掛けることで，
$a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0\Rightarrow ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0$
証明終了．

(3)
前問の結果より，
$ap+b\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+c\sqrt[3]{p}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{p}\right)^2=-\frac{ap+c\sqrt[3]{p}}{b}$ が成り立つ．
これを $a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0$ に代入すると，
$a\left(-\frac{ap+c\sqrt[3]{p}}{b}\right)+b\sqrt[3]{p}+c=0\Leftrightarrow bc-a^2p+\left(b^2-ac\right)\sqrt[3]{p}=0$
証明終了．

(4)
前問の結果より，
$bc-a^2p+\left(b^2-ac\right)\sqrt[3]{p}=0$
が成り立つ．
(1)より， $\sqrt[3]{p}$ は無理数のため，上式が成り立つためには，
$\begin{cases} bc-a^2p=0 \\ b^2-ac=0 \end{cases}$
が成り立てば必要十分．
仮に $a\neq0$ だとすると，
$b^2-ac=0\Leftrightarrow c=\frac{b^2}{a}$ であり，故に $bc-a^2p=b\cdot\frac{b^2}{a}-a^2p=0\Leftrightarrow b^3=a^3p$
$\therefore b=a\sqrt[3]{p}$ となるが， $\sqrt[3]{p}$ が無理数で $a,b$ は整数であるから矛盾．よって， $a=0$ ．
$\therefore b^2-ac=0\Leftrightarrow b=0$
$\therefore a\left(\sqrt[3]{p}\right)^2+b\sqrt[3]{p}+c=0\Leftrightarrow c=0$
以上より， $a=b=c=0$
証明終了．