2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

(1)
問題で与えられた条件を書き下すのみ．点Pに関する条件は，線分APの長さが２のみであるため，これを書き下す．すると， $a,b$ の式となるため， $a,b$ の条件 $a\geqq0,b\geqq0$ を加えて図示すれば答えとなる．

(2)
立体図形上の点に関する問題であるため，ベクトルで考える．後は自分で置いた文字(本解答の場合には $k$ )を消去すること( $k$ にも条件がついていることに注意!)と，問題で与えられた条件 $a\geqq0,b\geqq0$ を加えれば答えとなる．

(3)
切り口は円であるため，半径を求めればよい．半径は原点と最遠点との距離になる．最遠点は自明に図形 $F$ 上にあるので，図形 $F$ 上の点を文字で表し，その最大値を求めればよい．

(4)
積分するだけ．

解答例

(1)
APの長さが2のため， $3+a^2+b^2=4\Leftrightarrow a^2+b^2=1$ ．
$a\geqq0,b\geqq0$ で図示すると，

(上図が答え)

(2)
AP上の点Qは， $\vec{\mathrm{OQ}}=\vec{\mathrm{OA}}+k\vec{\mathrm{AP}}$ $\left(0\leqq k\leqq1\right)$ を満たす．
$\therefore\left(x,y,z\right)=\left(0,0,\sqrt3\right)+k\left(a,b,-\sqrt3\right)$
$\therefore\begin{cases} x=ka \\ y=kb \\ z=\sqrt3-\sqrt3k \end{cases}$
上二式より， $k=\sqrt{x^2+y^2}$ ． $0\leqq k\leqq1$ より， $0\leqq x^2+y^2\leqq1$ ．また， $a\geqq0,b\geqq0$ より， $x\geqq0,y\geqq0$ ．
$\therefore z=\sqrt3-\sqrt{3\left(x^2+y^2\right)}$ 　( $0\leqq x^2+y^2\leqq1$ かつ $x\geqq0$ かつ $y\geqq0$ )……(答)

(3)
$F$ を $x=t$ で切ったとき，点 $\left(t,0,0\right)$ から最も遠い点を考える．
$F$ と $x=t$ の交線上の点は，
$\left(x,y,z\right)=\left(t,y,\sqrt3-\sqrt{3\left(t^2+y^2\right)}\right)$ 　(ただし， $0\leqq t^2+y^2\leqq1$ かつ $t\geqq0$ かつ $y\geqq0$ )と表せる．
点 $\left(t,0,0\right)$ との距離は， $\sqrt{y^2+3+3\left(t^2+y^2\right)-6\sqrt{t^2+y^2}}=\sqrt{4y^2-6\sqrt{t^2+y^2}+3t^2+3}$
$f\left(y\right)=4y^2-6\sqrt{t^2+y^2}$ とおくと，
$f^\prime\left(y\right)=8y-\frac{6y}{\sqrt{t^2+y^2}}=\frac{2y\left(4\sqrt{t^2+y^2}-3\right)}{\sqrt{t^2+y^2}}$
$\therefore y=\begin{cases} 0\left(\frac{3}{4}\leqq t\leqq1\right) \\ 0,\sqrt{\frac{9}{16}-t^2}\left(0\leqq t\leqq\frac{3}{4}\right) \end{cases}$ で $f^\prime\left(y\right)=0$
$\frac{3}{4}\leqq t\leqq1$ のとき $f^\prime\left(y\right)\geqq0$ となり，距離の最大値は $y=\sqrt{1-t^2}$ のときの $\sqrt{1-t^2}$ となる．
$0\leqq t\leqq\frac{3}{4}$ のとき，増減表を描くと，

$y$	$0$	$\cdots$	$\sqrt{\frac{9}{16}-t^2}$	$\cdots$	$\sqrt{1-t^2}$
$f^\prime\left(y\right)$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$
$f\left(y\right)$		$\searrow$		$\nearrow$

よって，最大値となりうるのは $y=0$ か $y=\sqrt{1-t^2}$ のとき．
$y=0$ のとき，距離は， $\sqrt{3t^2-6t+3}=\sqrt3\left(1-t\right)$ となり， $y=\sqrt{1-t^2}$ のとき，距離は， $\sqrt{1-t^2}$ となる．
$3t^2-6t+3\leqq1-t^2\Leftrightarrow\frac{1}{2}\leqq t\leqq1$ より，距離の最大値は，
$\begin{cases} \sqrt3\left(1-t\right)\ \left(0\leqq t\leqq\frac{1}{2}\right) \\ \sqrt{1-t^2}\ \left(\frac{1}{2}\leqq t\leqq\frac{3}{4}\right) \end{cases}$
$\frac{3}{4}\leqq t\leqq1$ のときの結果と合わせると，距離の最大値は，
$\begin{cases} \sqrt3\left(1-t\right) \left(0\leqq t\leqq\frac{1}{2}\right) \\ \sqrt{1-t^2} \left(\frac{1}{2}\leqq t\leqq1\right) \end{cases}$
$\therefore S\left(t\right)=\begin{cases} \pi\left\{\sqrt3\left(1-t\right)\right\}^2=3\pi\left(1-t\right)^2 \left(0\leqq t\leqq\frac{1}{2}\right) \\ \pi\left(\sqrt{1-t^2}\right)^2=\pi\left(1-t^2\right) \left(\frac{1}{2}\leqq t\leqq1\right) \end{cases}$ ……(答)

(4)
$V=\int_{0}^{1}S\left(t\right)dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{3\pi\left(1-t\right)^2}dt+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\pi\left(1-t^2\right)dt=\left[-\pi\left(1-t\right)^3\right]_0^{\frac{1}{2}}+\left[\pi\left(t-\frac{1}{3}t^3\right)\right]_{\frac{1}{2}}^1=\frac{13}{12}\pi$ ……(答)