2016年早稲田大学理工|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

(1)
$\frac{1}{3}\times$ (立体の表面積) $\times$ (内接球の半径)=(立体の体積)となることを利用する．内接球の半径の問題ではまずこの公式を疑いたい．

(2)
表面積の比については素直に計算すれば解答が得られる．その後の最大値も，単純な微分法の問題である．

(3)
$a$ のみしか使えないため， $b$ を消去することを考えれば良い．前問の結果を用いれば容易に消去できる．

解答例

(1)
線分CDの中点をNとすると， $\triangle$ PMNについて，下図のように，Pから線分MNにおろした垂線の足をHとして，三平方の定理より，

PH $=\sqrt{b^2-a^2}$ であり，これが正四角錐PABCDの高さ．
底面積は，底面が一辺 $2a$ の正方形であることから， $4a^2$
よって，正四角錐PABCDの体積は，
$\frac{1}{3}\times4a^2\times\sqrt{b^2-a^2}=\frac{4a^2\sqrt{b^2-a^2}}{3}$
一方，正四角錐PABCDの表面積は，
$4a^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot2a\cdot b=4a^2+4ab$
よって，求める内接球の半径を $r$ とすると，表面積と体積の関係から，
$\frac{1}{3}\cdot\left(4a^2+4ab\right)\cdot r=\frac{4a^2\sqrt{b^2-a^2}}{3}\Leftrightarrow r=a\sqrt{\frac{b-a}{b+a}}$ ……(答)

(2)
内接する球の表面積は，
$4\pi r^2=4\pi a^2\cdot\frac{b-a}{b+a}=4\pi$ $a^2\cdot\frac{\frac{b}{a}-1}{\frac{b}{a}+1}=4\pi$ $a^2\cdot\frac{x-1}{x+1}$
正四角錐PABCDの表面積は， $4a^2+4ab=4a^2\left(1+\frac{b}{a}\right)=4a^2\left(1+x\right)$
$\therefore\frac{4\pi a^2\cdot\frac{x-1}{x+1}}{4a^2\left(1+x\right)}=\frac{x-1}{\left(x+1\right)^2}\pi$ ……(答)
$f\left(x\right)=\frac{x-1}{\left(x+1\right)^2}\pi$ とおくと， $f^\prime\left(x\right)=\frac{3-x}{\left(x+1\right)^3}\pi$
$x>0$ に注意して増減表を描くと，